Das Wichtigste in Kürze

Um ein Objekt anzuheben braucht es Hubarbeit, die in ihm als potenzielle Energie gespeichert wird. Je höher wir das Objekt anheben, umso kleiner wird die Gravitationskraft. Dadurch wird es immer leichter, das Objekt noch höher anzuheben. Pro Meter Höhe kommt immer weniger potenzielle Energie hinzu.

Zeichnen wir die Menge an potenzieller Energie als Funktion des Abstandes von der Erde auf, erhalten wir den typischen Verlauf des Gravitationspotenzials, der die Erdoberfläche als den tiefsten Punkt eines Potenzialtopfs sieht.

Mit Hilfe des Potenzialtopfs verstehen wir, warum das Verlassen der Erde eine gewisse Menge an Hubarbeit (also potenzielle Energie) braucht.

Wir verstehen damit auch, warum beim Herunterfallen, Materie aus dem All diese potenzielle Energie an die Erde abgibt, die wir seit der Entstehung der Erde, heute noch im Erdinnern als thermische Energie vorhanden haben.

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Häufigste Fragen

Das Gravitationspotenzial ist der Verlauf der potenziellen Energie in Funktion des Abstands von einer Zentralmasse. Dieser Verlauf hat eine charakteristische Form einer “Vase”.

Der tiefste Stand, aus Sicht der potenziellen Energie, ist auf der Oberfläche der Zentralmasse, z.B. auf der Erdoberfläche. Jeder Abstand zu ihr bedeutet eine erhöhte potenzielle Energie.

Das Gravitationspotenzial ist die potenzielle Energie. Genauer gesagt ist es der Verlauf der potenziellen Energie aufgrund der Gravitationskraft und als Funktion des Abstands zur Zentralmasse.

Der tiefste Stand, aus Sicht der potenziellen Energie, ist auf der Oberfläche der Zentralmasse, z.B. auf der Erdoberfläche. Jeder Abstand zu ihr bedeutet eine erhöhte potenzielle Energie.

Da der Nullpunkt der potenziellen Energie frei gewählt werden kann, wird dieser meistens auf dem Niveau der maximalen potenziellen Energie gesetzt, d.h. für unendlichen Abstand. Die potenzielle Energie ist deshalb im Gravitationspotenzial durchwegs negativ.

Das Gravitationspotenzial hat einen Verlauf, der an eine “Vase” erinnert. Wir sind z.B. auf der Erdoberfläche und haben dadurch die kleinst mögliche potenzielle Energie. Wir sind ganz unten im Topf.

Wenn wir mit einer Rakete uns von der Erde wegbewegen, nimmt unsere potenzielle Energie mit zunehmender Höhe ebenfalls zu. Wir wandern an der einen “Wand” des Potenzialtopfs hoch.

Sind wir genug weit von der Erde weggeflogen, so sind wir ganz aus der Vertiefung des Topfs heraus. Wir spüren keine Gravitaitonskraft mehr und sind frei von der Erdanziehung. Das wäre noch weiter als der Mond, denn er ist ja noch im Potentialtopf, wenn auch nahe zum Rand.

Bedeutung der Hubarbeit im Gravitationsfeld

Wir schauen uns jetzt die potenzielle Energie genauer an. Mit der Hubarbeit ist die physikalische Arbeit beschrieben, die wir aufzuwenden haben, um eine Masse gegen ihre Gewichtskraft auf eine grössere Höhe zu bringen. Bisher haben wir mit einer konstanten Gewichtskraft $F_g$ gerechnet und können deshalb im F,s-Diagramm die Arbeit $W$ als Rechteckfläche darstellen.

Gravitationspotenzial nahe der Erdoberfläche
Gravitationspotenzial nahe der Erdoberfläche

Wenn wir aber in sehr grosse Höhen gehen, dann nimmt die Gravitationskraft immer ein bisschen ab. Die Fläche ist deshalb nicht eine Rechteckfläche, sondern die Fläche unterhalb der Hyperbel, die durch den $\frac{1}{r^2}$-Term entsteht. Sie ist kleiner als das Rechteck. Das macht Sinn, denn wenn die Kraft abnimmt, wird es zusehends leichter, die Masse anzuheben und wir brauchen für das gleiche Resultat weniger Arbeit zu leisten.

Mathematisch wird die Sache etwas komplizierter. Um die Fläche unterhalb der Hyperbel und damit die Arbeit zu bestimmen, brauchen wir ein Integral der Kraft über den Weg, den wir abstreichen.

Gravitationspotenzial der Erde
Gravitationspotenzial der Erde, Globe, licensed under CC BY-SA 3.0

“Je weiter weg wir von der Erde sind, desto flacher wird das Potenzial und umso leichter ist es, noch weiter zu gehen”

Verlauf des Gravitationspotenzials

Wenn wir für jeden Abstand von der Erde wissen, wieviel Arbeit noch benötigt wird, um  z.B. einen Meter weiter zu kommen, können wir ein virtuelles Gefälle konstruieren, dem sog. Gravitationspotenzial. Der rote Verlauf im Diagramm zeigt das Potenzial. Es ist die potenzielle Energie bei jedem Abstand $r$ von der Erde.

Gravitationspotenzial der Erde
Das Gravitationspotenzial der Erde hat einen Verlauf, der anfänglich sehr steil ist und dann, mit zunehmendem Abstand, immer flacher verläuft.

Wenn wir ein bisschen von Erde wegkommen möchten, braucht das Hubarbeit und die potenzielle Energie nimmt zu. Am Anfang, nahe zur Erde, ist die Gravitationskraft noch gross und wir brauchen für jeden Meter viel Arbeit. Sind wir aber einmal auf einer gewissen Höhe, so ist die Kraft schon viel kleiner, da sie ja mit dem Quadrat des Abstands abnimmt. Jeder Meter braucht jetzt weniger Anstrengung bzw. weniger Hubarbeit. Es ist, als würden wir einen Hügel hoch laufen, der am Anfang steil war, dann aber immer flacher wird.

Gravitationspotenzial der Erde und Umlaufbahnen
Gravitationspotenzial der Erde und Umlaufbahnen
Plot by AllenMcC., licensed under CC BY-SA 3.0, Globe, licensed under CC BY-SA 3.0

“Wer die Energie nicht hat, ist für immer im Topf gefangen!”

Potenzialtopf

Genau so müssen wir uns das Gravitationsfeld der Erde vorstellen. Durch die Gravitationskraft entsteht gewissermassen ein Potenzialtopf mit dem Querschnitt der roten Kurve. Wenn wir aus dem Gravitationsfeld der Erde ausbrechen möchten, müssen wir aus diesem Topf herausklettern und das braucht Hubarbeit bzw. wir brauchen Energie.

Üblicherweise wird das Niveau der potenziellen Energie, das willkürlich festgelegt werden kann, für das Weltraum und die Unendlichkeit auf null gesetzt. Damit ist die potenzielle Energie des Topfs negativ. Die Erde schafft mit ihrer Gravitationskraft gewissermassen eine Absenkung der potenziellen Energie.

Geothermie und Entstehung von Sternen

Beachte, dass Materie, die in den Potenzialtopf hineinfällt, durch die Abnahme der eigenen potenziellen Energie viel kinetische Energie gewinnt, die der Tiefe des Topfs entspricht. Ein Asteroid, der auf die Erde fällt, hat viel kinetische Energie zusätzlich zur kinetischen Energie, die er schon vor dem “Topf” hatte. Beim Aufprall wird die Energie u.a. in Wärme umgewandelt. Bei der Entstehung der Erde hat sich auf diese Art sehr viel Wärme angesammelt, die heute noch im Erdinnern gespeichert ist.

Bei der Entstehung von Sternen ist das genau gleich. Die mit der Gravitationskraft in sich zusammenfallende Materie führt zu einer immer höheren Temperatur, die schliesslich zum “Zünden” der Kernfusion im Kern des Sterns führt.

Beispiel: TITEL

asdf

Aufgabensammlung

Fluchtgeschwindigkeit vom Mond (0056)

1 Aufgabe mit Lösungen (pdf/Video):

  • Diskussion der Fluchtgeschwindigkeit und Betrachtung des Potenzialtopfs
  • Berechnung der Flughtgeschwindigkeit

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Lernziele

  • Du weisst, wie Flughöhe und Bahngeschwindigkeit von einander abhängen und kannst die Flughöhe aufgrund einer bestimmten Periode berechnen (Beispiel: geostationäre Satelliten)
  • Du kannst mit Hilfe der Formel für die potenzielle Energie im Gravitationsfeld, energetische Betrachtungen machen und diesbezügliche Aufgaben lösen, z.B. die Fluchtgeschwindigkeit bestimmen.

Mini-Test

(zu diesem Thema gibt es noch keinen Mini-Test)

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