Das Wichtigste in Kürze

Bei adiabatischen Zustandsänderungen wird keine Wärme ausgetauscht.

\[ Q=0 \]

Es ändern sich Temperatur, Druck und Volumen gleichzeitig.

Bei einer adiabatischen Kompression nimmt der Druck schneller zu, als bei einer isothermen Kompression, d.h. die Adiabate ist steiler als die Isotherme im $p,V$-Diagramm.

Wir haben adiabatische Prozesse, wenn das betrachtete System wärmeisoliert ist oder wenn die Zustandsänderung so schnell stattfindet, dass noch keine Wärme ausgetauscht worden ist, z.B. bei der adiabatischen Kompression der angesaugten Luft im Diesel-Motor.

\[ p_2 = p_1 \cdot \Big(\frac{V_1}{V_2}\Big)^\kappa \]

\[ T_2 = T_1 \cdot \Big(\frac{V_1}{V_2}\Big)^{\kappa – 1} \]

\[ T_2 = T_1 \cdot \Big(\frac{p_1}{p_2}\Big)^{\frac{1-\kappa}{\kappa}} \]

Dabei ist $\kappa$ der sog. Adiabatenexponent (Isentropenexponent), eine Stoffgrösse, die dem Verhältnis der beiden molaren Wärmekapazitäten bei konstantem Druck $c_p$ und bei konstantem Volumen $c_v$ entspricht:

\[ \kappa = \frac{c_p}{c_v} > 1 \]

Häufigste Fragen

Bei einer adiabatischen Zustandsänderung ändern sich Druck, Temperatur und auch das Volumen. Im $p,V$-Diagramm bewegt sich der Zustandspunkt auf der Adiabaten.

Wäre die adiabatische Zustandsänderung isotherm, müsste die Adiabate auf der Isothermen liegen. Die Adiabate ist zwar ähnlich gekrümmt wie die Isotherme, verläuft aber steiler.

Bei einer adiabatischen Zustandsänderung wird weder Wärme aufgenommen, noch wird Wärme abgegeben.

Bei jedem Wärmestrom fliesst auch Entropie mit.

Wenn bei der adiabatischen Zustandsänderung keine Wärme zum System fliesst oder von ihm weg, dann fällt auch der begleitende Entropiestrom weg. Bei einer adiabatischen Zustandsänderung fliesst deshalb auch keine Entropie zum System oder von ihm weg.

Die Tatsache, dass keine Entropie über die Systemgrenzen fliesst, heisst aber nicht, dass die Entropie im System konstant bleibt, denn im System drin, kann Entropie entstehen. Durch irreversible Prozesse entsteht Entropie und die Zustandsänderung ist nicht isentrop.

Bei einer adiabatischen Zustandsänderung wird weder Wärme aufgenommen, noch wird Wärme abgegeben. Das System nimmt keine Entropie auf und gibt auch keine Entropie ab.

Die adiabatische Zustandsänderung kann reversibel sein (ohne Entstehung von Entropie im System), z.B. können wir ein Gas schnell komprimieren und es dann gleich wieder entspannen lassen. Wir sind danach wieder am gleichen Ort, d.h. alles vollkommen reversibel.

Wir können aber auch einen adiabatischen Prozess haben, der irreversibel ist, z.B. wenn das Gas in einem wärmeisolierenden Gefäss verwirbelt wird, so dass es sich durch innere Reibung erwärmt.

Adiabatische Zustandsänderung

Die adiabatische Zustandsänderung ist dadurch definiert, dass bei ihr keinerlei Wärme ausgetauscht wird:

  • Das betrachtete System nimmt keine Wärme auf, und
  • das betrachtete System gibt auch keine Wärme ab.

Ein System kann ja Energie in Form von Arbeit $W$ aufnehmen oder abgeben, oder in Form von Wärme $Q$. Im Fall einer adiabatischen Zustandsänderung gilt deshalb:

\[ Q = 0 \]

Eine solche Zustandsänderung ist nur theoretisch möglich, da das Fluid sofort Wärme mit seiner Umgebung austauschen kann, insbesondere mit den Wänden seines “Behälters”.

Näherungsweise können aber Zustandsänderungen, die relativ schnell stattfinden, als adiabatisch betrachtet werden. Das Fluid hat nicht genug Zeit um signifikante Mengen von Wärme auszutauschen.

Wenn der Behälter sehr gut wärmeisolierend ist, dann ist die ausgetauschte Wärme vernachlässigbar klein.

Adiabatische Kompression

Bei einer adiabatischen Kompression wird das Fluid komprimiert, was natürlich nur mit einer Zufuhr von Arbeit $W$ möglich ist, d.h. wenn am Fluid Arbeit verrichtet wird. Deshalb gilt:

\[ W > 0 \]

Da im adiabatischen Fall keine Wärme zu- oder abgeführt wird, muss die innere Energie $U$ zunehmen und damit auch die Temperatur.

\[ \Delta U = W + \cancel{Q} \quad \rightarrow \quad \Delta U > 0 \;\; (W>0) \]

Adiabatische Kompressionen kommen immer dann vor, wenn ein Fluid relativ schnell komprimiert wird, so dass es kaum noch Wärme austauschen kann.

Solche Zustandsänderungen haben wir in den folgenden Beispielen:

  • Schnelles Aufpumpen eines Reifens (Luft im Reifen erwärmt sich)
  • Schnelle Verdichtung von Luft in einem Verdichter
  • Verdichtung der angesaugten Luft in einem Dieselmotor (Die Luft wird so heiss, dass der eingespritzte Dieseltreibstoff im Kontakt mit ihr verbrennt)

Adiabatische Expansion

Wenn das bereits komprimierte Fluid sich schnell entspannen darf, dann haben wir den Fall der adiabatischen Expansion. Das Fluid verrichtet Arbeit, d.h. es gibt Arbeit ab. Die Abgabe berücksichtigen wir mit einem negativen Vorzeichen:

\[ W < 0 \]

Wenn das System Energie in Form von Arbeit abgibt, aber keine Energie in Form von Wärme aufnimmt, dann muss die innere Energie $U$ abnehmen:

\[ \Delta U = W + \cancel{Q} \quad \rightarrow \quad \Delta U < 0 \;\; (W<0) \]

Wenn die innere Energie abnimmt, dann muss auch die Temperatur abnehmen.

Das Gas kühlt sich bei der adiabatischen Expansion ab.

Beispiele für adiabatische Expansion sind:

  • Der Sprühkopf einer Spraydose wird kühl
  • Das Fluid in einer Kältemaschine oder Wärmepumpe wird durch adiabatische Expansion in einem Drosselventil entspannt, so dass es sich plötzlich abkühlt

“Die Adiabate ist im p,V-Diagramm eine steilere Kurve als die Isotherme.”

Adiabate im p,V-Diagramm

Eine adiabatische Kompression verläuft im p,V-Diagramm steiler als eine isothermische Kompression, da nicht nur der Druck zunimmt, sondern mit auch die Temperatur. Der Zustandspunkt geht damit zu einer höheren Isothermen.

Die Zustandspunkte, die zu dieser adiabatischen Kompression gehören, liegen auf der Adiabate. Sie ist ähnlich gekrümmt wie eine Isotherme, nur steiler.

Aus $\Delta U = W$ folgt für die adiabatische Zustandsänderung:

\[ p_1 \cdot V_1^\kappa = p_2 \cdot V_2^\kappa \]

\[ p_2 = p_1 \cdot \Big(\frac{V_1}{V_2}\Big)^\kappa \]

Für die Herleitung sei auf den Wikipedia-Artikel verweisen.

Der Adiabatenexponent $\kappa$ ist eine stoffabhängige Grösse, die dem Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten $c_p$ und $c_v$ entspricht. Manchmal wird diese Grösse auch Isentropenexponent genannt.

\[ \kappa = \frac{c_p}{c_v} \]

Die Grösse $c_p$ ist die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck und analog steht $c_v$ für die molare Wärmekapazität bei konstantem Volumen. Für Luft haben wir einen Adiabatenexponenten von $\kappa = 1.4$.

Aus der ersten Gleichung (oben) erhalten wir für die Adiabate:

\[ p \cdot V^\kappa = \text{konstant} \]

Leicht umgeformt, erhalten wir:

\[ p(V) = C \cdot \Big(\frac{1}{V}\Big)^{\kappa} \]

Im $p,V$-Diagramm wäre das eine Hyperbel-Funktion. Für die isothermische Zustandsänderung hatten wir beim Gesetz von Boyle-Mariotte:

\[ p \cdot V = \text{konstant} \quad \rightarrow \quad p(V) = C \cdot \Big(\frac{1}{V}\Big) \]

Im adiabatischen Fall kommt aber ein Exponent $\kappa$ hinzu, der grösser als eins ist $(\kappa > 1)$. Die Funktion verläuft wie eine Hyperbel, nur etwas steiler.

Mit der idealen Gasgleichung erhalten wir für die adiabatische Zustandsänderung noch die folgenden Formeln:

\[ T_2 = T_1 \cdot \Big(\frac{V_1}{V_2}\Big)^{\kappa – 1} \]

\[ T_2 = T_1 \cdot \Big(\frac{p_1}{p_2}\Big)^{\frac{1-\kappa}{\kappa}} \]

Beispiel: Adiabatische Kompression

Auf wie viel Grad Celsius erwärmt sich Umgebungsluft $(\kappa = 1.4)$, wenn sie von Raumtemperatur $T_1 = 20^\circ \text{C}$ adiabatisch auf den 10-fachen Druck von $p_2 = 10\,\text{bar}$ komprimiert wird?

Wir starten mit einem Druck $p_1 = 1\;\text{bar}$ und enden beim Druck $p_2 = 10\;\text{bar}$. Die Anfangstemperatur beträgt:

\[ T_1 = (20+273.15)\;\text{K} = 293.15\;\text{K} \]

Wir brauchen somit eine Gleichung mit den beiden Temperaturen und den beiden Drücken:

\[ T_2 = T_1 \cdot \Big(\frac{p_1}{p_2}\Big)^{\frac{1-\kappa}{\kappa}} \]

Nun können wir unsere Werte einsetzen:

\[ T_2 = 293.15\;\text{K} \cdot \Big(\frac{1}{10}\Big)^{\frac{1-1.4}{1.4}} = 566 \; \text{K} \]

\[ \underline{T_2 = 293^\circ\text{C}} \]

Durch die adiabatische Kompression erreicht die Luft fast 300°!

Beispiel: Adiabatische Expansion

Wir knüpfen an das obige Beispiel an. Wir kühlen die Luft nach der adiabatischen Kompression wieder ab, sorgen aber dafür, dass sie bei 10-fachem Druck bleibt (wir pumpen bei Bedarf ein bisschen nach).

Jetzt lassen wir diese Luft adiabatische expandieren. Auf welche Temperatur in Grad Celsius kühlt sie sich ab?

Wir starten umgekehrt, dieses Mal mit einem Druck $p_1 = 10\;\text{bar}$ und enden beim Druck $p_2 = 1\;\text{bar}$. Die Anfangstemperatur ist gleich der Raumtemperatur $T_1 = 293.15\;\text{K}$.

Wir brauchen wieder die gleiche Gleichung…

\[ T_2 = T_1 \cdot \Big(\frac{p_1}{p_2}\Big)^{\frac{1-\kappa}{\kappa}} \]

…und setzen unsere Werte ein:

\[ T_2 = 293.15\;\text{K} \cdot \Big(\frac{10}{1}\Big)^{\frac{1-1.4}{1.4}} = 152 \; \text{K} \]

\[ \underline{T_2 = -121.3^\circ\text{C}} \]

Aufgabensammlung

p,V-Diagramm von Luft (0130)

6 Teilaufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Ideales Gasgesetz
  • Berechnung des Molvolumens
  • p,V-Diagramm, Isothermen
  • Rechnen mit wissenschaftlicher Notation
  • Berechnung der adiabatischen Kompression
  • Berechnung der Arbeit

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Mini-Test

(zu diesem Thema gibt es noch keinen Mini-Test)

Lernziele

  • Du kannst in eigenen Worten erklären, was eine adiabatische Zustandsänderung ist und unter welchen Voraussetzungen eine solche Zustandsänderung stattfindet
  • Du kannst ebenfalls erklären, was typischerweise bei einer adiabatischen Kompression und was bei einer adiabatischen Expansion eines Gases passiert.

Adiabatische Zustandsänderung (Wikipedia)

Isentropenexponent (Wikipedia)