Vektoren addieren

Wir schauen uns ein Beispiel an und addieren die beiden Vektoren \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) und \(\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Wir addieren dabei die Koeffizienten der gleichen Dimension und erhalten so einen neuen Vektor:

\[ \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \]

\[ =  \begin{pmatrix} 1+(-3) \\ 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Es wird sofort klar, dass wir auch in der anderen Reihenfolge addieren können und dabei das gleiche Resultat erhalten:

\[ \vec{b} + \vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]

\[ =  \begin{pmatrix} (-3)+1 \\ 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Nun schauen wir uns die Addition im zweidimensionalen Koordinatensystem an. Der erste Vektor \(\vec{a}\) bildet \(A\) auf \(A’\) ab, der zweite Vektor \(b\) bildet \(A’\) auf \(A”\) ab. Die Summe der beiden Vektoren \((\vec{a}+\vec{b})\) ist somit eine Abbildung von \(A\) direkt auf \(A”\).

Wir sehen, dass die umgekehrte Reihenfolge der Addition zum gleichen Resultat führen:

\[ (\vec{a}+\vec{b}) = (\vec{b}+\vec{a}) = \overrightarrow{AA”} \]

\[ = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Beispiel

Gegeben sind die beiden Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\). Addiere die beiden Vektoren grafisch.

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Wir bilden das Parallelogramm, indem wir z.B. den Vektor \(\vec{b}\) parallel verschieben, so dass je eine Linie von \(\vec{b}\) durch den Anfang und das Ende von \(\vec{a}\) verläuft. Dann ziehen wir die Parallele zu \(\vec{a}\) und erhalten so das Parallelogramm.

Sobald wir das Parallelogramm haben, können wir die Diagonale zeichnen. Sie ist die Summe \((\vec{a} + \vec{b})\).