Wir schauen uns ein Beispiel an und addieren die beiden Vektoren $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec{b} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix}$. Wir addieren dabei die Koeffizienten der gleichen Dimension und erhalten so einen neuen Vektor:

\[ \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} \]

\[ =  \begin{pmatrix} 1+(-3) \\ 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Es wird sofort klar, dass wir auch in der anderen Reihenfolge addieren können und dabei das gleiche Resultat erhalten:

\[ \vec{b} + \vec{a} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]

\[ =  \begin{pmatrix} (-3)+1 \\ 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Nun schauen wir uns die Addition im zweidimensionalen Koordinatensystem an. Der erste Vektor $\vec{a}$ bildet $A$ auf $A’$ ab, der zweite Vektor $b$ bildet $A’$ auf $A”$ ab. Die Summe der beiden Vektoren $(\vec{a}+\vec{b})$ ist somit eine Abbildung von $A$ direkt auf $A”$.

Wir sehen, dass die umgekehrte Reihenfolge der Addition zum gleichen Resultat führen:

\[ (\vec{a}+\vec{b}) = (\vec{b}+\vec{a}) = \overrightarrow{AA”} \]

\[ = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Die Summe zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ergibt selber wieder einen Vektor. Der Summenvektor wird gebildet, indem die einzelnen Komponenten addiert werden.

\[ \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x+b_x \\ a_y+b_y \end{pmatrix} \]

Die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ bilden ein Parallelogramm. Der Summenvektor $(\vec{a} + \vec{b})$ ist die Diagonale des Parallelogramms.

Beispiel

Gegeben sind die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Addiere die beiden Vektoren grafisch.


Wir bilden das Parallelogramm, indem wir z.B. den Vektor $\vec{b}$ parallel verschieben, so dass je eine Linie von $\vec{b}$ durch den Anfang und das Ende von $\vec{a}$ verläuft. Dann ziehen wir die Parallele zu $\vec{a}$ und erhalten so das Parallelogramm.

Sobald wir das Parallelogramm haben, können wir die Diagonale zeichnen. Sie ist die Summe $(\vec{a} + \vec{b})$.

Aufgabensammlung

  • Rechnen mit Vektoren (5031) – Aufg. 3

  • Rechnen mit Vektoren (5031) – Aufg. 4

  • Rechnen mit Vektoren (5031) – Aufg. 5