Komplanare Vektoren

Warum reden wir hier von drei Vektoren? Ganz einfach: Zwei Vektoren sind immer komplanar. Wir könnten deshalb keine Bedingung aufstellen. Bei drei Vektoren ist das anders. Zwei Vektoren spannen eine gemeinsame Ebene auf. Es ist aber nicht unbedingt so, dass ein dritter Vektor automatisch in der gleichen Ebene liegt. Nur ein komplanarer Vektor tut das. Die Bezeichnung komplanar besteht aus den Teilen kom(mit) und planar (eben). Ein komplanarer Vektor ist mit den anderen beiden Vektoren in der gleichen Ebene.

Können zwei Vektoren mehr als nur eine Ebene aufspannen? Ja, zwei kollineare Vektoren liegen auf einer gemeinsamen Gerade. Sie können keine Ebene aufspannen. Allerdings sind sie Bestandteil von von unendlich vielen Ebenen, nämlich all jenen, die die Gerade beinhalten und beliebig rotiert sind.

Beispiel

Erkläre, warum der Einheitsvektor in \(x\)-Richtung \(\vec{e}_x\), der Einheitsvektor in \(y\)-Richtung \(\vec{e}_y\) und der Vektor \(\vec{a}=\vec{e}_x + \vec{e}_y\) komplanar sind.

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Es gilt:

\[ \vec{e}_x=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \quad \vec{e}_y=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \]

und

\[ \vec{a} = \vec{e}_x + \vec{e}_y = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\]

Es folgt, dass \(\vec{e}_x\) und \(\vec{e}_y\) in der gleichen Ebene, nämlich der \(x,y\)-Ebene liegen müssen und deshalb komplanar sind.