Gerade und Gerade

Zwei Geraden \(g_1\) und \(g_2\) im Raum können in unterschiedlicher Weise zueinander stehen. Die folgende Abbildung zeigt die drei möglichen Fälle:

Zwei sich kreuzende Geraden

Die Geraden haben ihre Geradengleichung. Der gemeinsame Schnittpunkt \(P\) hat die Koordinaten \((P_x,P_y,P_z)\), die sowohl durch die Gleichung der Geraden \(g_1\), wie auch durch die Gleichung von \(g_2\) beschrieben wird. Wir können deshalb beide Geradengleichungen nehmen und verlangen, dass sie gleich sind:

\[ g_1: \overrightarrow{O A_1} + \lambda_1 \cdot \vec{a_1} \]

\[ g_2: \overrightarrow{O A_2} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \]

\[  \overrightarrow{O A_1} + \lambda_1 \cdot \vec{a_1} = \begin{pmatrix} P_x \\ P_y \\ P_z \end{pmatrix} = \overrightarrow{O A_2} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \]

Wir subtrahieren die linke Seite von der Gleichung und erhalten:

\[ \overrightarrow{O A_2} – \overrightarrow{O A_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} – \lambda_1 \cdot \vec{a_1} \;\; = \;\; \vec{0} \]

Für die Differenz der beiden Ortsvektoren zu den Punkten \(A_1\) und \(A_2\) können wir auch schreiben:

\[ \overrightarrow{A_1 A_2} \;\; = \;\; \overrightarrow{O A_2} – \overrightarrow{O A_1} \]

Die Gleichung vereinfacht sich zu einer Vektorgleichung, die eigentlich einem Gleichungssystem von drei Gleichungen entspricht:

\[ \overrightarrow{A_1 A_2} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} – \lambda_1 \cdot \vec{a_1} \;\; = \;\; \vec{0} \]

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} (A_1 A_2)_x + \lambda_2 \cdot a_{2,x} – \lambda_1 \cdot a_{1,x} \;\; = \;\; 0 \\ (A_1 A_2)_y + \lambda_2 \cdot a_{2,y} – \lambda_1 \cdot a_{1,y} \;\; = \;\; 0 \\ (A_1 A_2)_z + \lambda_2 \cdot a_{2,z} – \lambda_1 \cdot a_{1,z} \;\; = \;\; 0 \end{array} \end{cases} \]

In diesem Gleichungssystem haben wir zwei Unbekannte: \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\). Da wir aber eine Gleichung mehr haben als Unbekannte, gilt dieses Gleichungssystem als überbestimmt, d.h. wir können eine Lösung haben oder nicht. Um die Lösung zu finden, nehmen wir zwei Gleichungen unserer Wahl und bestimmen die beiden Unbekannten. Dann überprüfen wir, ob unsere Lösung für 

\(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) auch die dritte Gleichung erfüllen, denn in einem Gleichungssystem müssen alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt sein. Ist das der Fall, haben wir die Lösung und damit auch den Schnittpunkt \(P\) gefunden. Gibt es aber einen Widerspruch, so sind die Geraden gar nicht in der gleichen Ebene, sondern sie sind windschief.

Beachte, dass die beiden Richtungsvektoren \(\vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\) der Geraden nur dann einen Schnittpunkt haben, wenn sie nicht kollinear sind. Das mathematische Kriterium dafür ist das verschwindende Vektorprodukt, denn wenn das Vektorprodukt der beiden verschwinden sollte, spannen sie kein Parallelogramm auf und somit sind sie parallel oder genau gegenläufig.

Nun könnte es sein, dass die beiden Geraden nicht parallel sind, sich trotzdem aber nicht schneiden, weil sie windschief sind. Mathematisch gesprochen heisst das, dass die Vektoren \(\vec{a_1}\), \(\vec{a_2}\) und der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{A_1 A_2}\) in einer Ebene sein müssen, damit sich die Geraden schneiden. Windschiefe Geraden liegen in zwei unterschiedlichen Ebenen, so dass der Verbindungsvektor \(\overrightarrow{A_1 A_2}\) nicht zusammen mit \(\vec{a_1}\), \(\vec{a_2}\) in einer Ebene liegt.

Um mathematisch zu analysieren, ob die drei Vektoren in der gleichen Ebene, d.h. komplanar sind, nehmen wir das Spatprodukt, denn komplanare Vektoren haben ein verschwindendes Spatprodukt.

Beispiel

Finde den gemeinsamen Schnittpunkt der beiden Geraden \(g_1\) und \(g_2\):

\[ g_1: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \; = \; \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \]

\[ g_2: \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \; = \; \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \\ 15 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \]

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Zuerst bestimmen wir den Verbindungsvektor \(\overrightarrow{A_1 A_2} = \overrightarrow{O A_2} – \overrightarrow{O A_1}\):

\[ \overrightarrow{A_1 A_2} \;\; = \;\; \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \\ 15 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ 15 \end{pmatrix} \]

Die Vektorgleichung gibt uns das Gleichungssystem:

\[ \overrightarrow{A_1 A_2} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} – \lambda_1 \cdot \vec{a_1} \;\; = \;\; \vec{0} \]

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} 9 + \lambda_2 \cdot (-3) – \lambda_1 \cdot 3 \;\; = \;\; 0 \\ 6 + \lambda_2 \cdot 0 – \lambda_1 \cdot 2 \;\; = \;\; 0 \\ 15 + \lambda_2 \cdot 2 – \lambda_1 \cdot 5 \;\; = \;\; 0 \end{array} \end{cases} \]

Wir nehmen die zwei ersten Gleichungen. Es ist grundsätzlich egal, welche zwei Gleichungen wir nehmen, aber hier haben wir die zweite Gleichung, in welche \(\lambda_2\) nicht vorkommt, d.h. es ist eine Gleichung mit nur einer Unbekannten, so dass sie uns sofort \(\lambda_1\) liefert. Diese Gleichung macht es einfacher und wir nehmen sie als Erstes:

\[ \require{cancel} 6 + \cancel{\lambda_2 \cdot 0} – \lambda_1 \cdot 2 \;\; = \;\; 0 \]

\[ \rightarrow \quad \lambda_1 = 3 \]

Nun setzen wir den gefundenen Wert von \(\lambda_1\) in die erste Gleichung ein:

\[ 9 + \lambda_2 \cdot (-3) – 3 \cdot 3 \;\; = \;\; 0 \]

\[ \rightarrow \quad \lambda_2 = 0 \]

Jetzt überprüfen wir, ob die dritte Gleichung mit dem gefundenen Zwei-Tupel \((\lambda_1,\lambda_2)=(3,0)\) erfüllt wird oder nicht:

\[ 15 + 0 \cdot 2 – 3 \cdot 5 \;\; \stackrel{?}{=} \;\; 0 \]

Tatsächlich ist die Gleichung erfüllt. Wir haben also einen Schnittpunkt gefunden. Für die Koordinaten von \(P\) nehmen wir wahlweise die Gleichung von \(g_1\) und setzen \(\lambda_1\) ein:

\[ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 7 \\ 15 \end{pmatrix} \]

Damit ist der Schnittpunkt in \(\underline{P(9,7,15)}\).

Wir können mit unserem Wissen aus der Vektorgeometrie schon sehr einfach den Zwischenwinkel \(\varphi\) berechnen, unter welchem sich die beiden Geraden schneiden. Wir haben ja die beiden Richtungen der Geraden \(\vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\). Vektoren dürfen beliebig verschoben werden, ihre Richtung behalten sie bei, d.h. wir können die beiden in den Schnittpunkt schieben:

Den Zwischenwinkel erhalten wir mit dem Skalarprodukt, oder – wenn du es lieber magst – mit Vektorprodukt:

Beispiel

Im vorigen Beispiel haben wir den Schnittpunkt bestimmt. Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Geraden?

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Wir fangen mit dem Skalarprodukt an:

\[ \vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \]

\[ = \; 3 \cdot (-3) + 2 \cdot 0 + 5 \cdot 2 \; = \; -9 + 0 + 10 \; = \; 1 \]

\[|\vec{a_1}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 5^2} = \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38} \]

\[|\vec{a_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{9+0+4} = \sqrt{13} \]

Nun setzen wir alles ein:

\[ \varphi = \arccos\Big(\frac{\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}}{|\vec{a_1}| \cdot |\vec{a_2}|} \Big) \]

\[ = \arccos\Big(\frac{1}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{13}} \Big) = \underline{87.42^ \circ} \]

Jetzt schauen wir uns die Sache mit dem Vektorprodukt an:

\[ \vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix} 4-0 \\ -15-6 \\ 0-(-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -21 \\ 6 \end{pmatrix} \]

\[ \big| \vec{a_1} \times \vec{a_2} \big| = \sqrt{4^2 + (-21)^2 + 6^2} \]

\[ = \sqrt{493} \]

Jetzt können wir einsetzen:

\[ \varphi = \arcsin\Big(\frac{\big| \vec{a_1} \times \vec{a_2} \big|}{|\vec{a_1}| \cdot |\vec{a_2}|} \Big) \]

\[ = \arcsin\Big(\frac{\sqrt{493}}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{13}} \Big) = \underline{87.42^\circ} \]

Abstand zwischen zwei parallelen Geraden

Wenn wir zwei parallele Geraden haben, dann haben wir zwei Gleichungen mit den zwei Richtungsvektoren \(\vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\). Diese beiden Richtungsvektoren sind kollinear, was zur Folge hat, dass die beiden Geraden parallel sind. Aus den Geradengleichungen haben wir auch die beiden Punkte \(A_1\) und \(A_2\), die bekannterweise auf den jeweiligen Geraden sitzen. Wir können den Abstand der beiden Geraden wieder so berechnen, dass wir den Abstand des Punkts \(A_2\) zur Geraden \(g_1\) oder den Abstand zwischen \(A_1\) und \(g_2\) berechnen.

Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden

Zwei nicht parallele Geraden können sich schneiden, wenn sie in einer gemeinsamen Ebene verlaufen. Sind sie nicht in einer gemeinsamen Ebene und auch nicht parallel, dann verlaufen sie an einander vorbei wie zwei Flugzeuge, die in unterschiedlichen Richtungen und auf unterschiedlicher Höhe fliegen. Zwei solche Geraden heissen windschief. Wir werden auf die Herleitung der Berechnungsformel verzichten.