Punkt auf der Ebene

Mit der folgenden Ebenengleichung erreichen wir alle Punkte $Q$ auf der Ebene $E$. Dazu haben wir zwei “Stellschrauben”, die beiden Parameter $\lambda_1$ und $\lambda_2$, die sämtliche Werte annehmen können:

\[ \overrightarrow{OQ} \;\; = \;\; \overrightarrow{OA} \; + \; \lambda_1 \cdot \vec{a_1} \; + \; \lambda_2 \cdot \vec{a_2}\]

Jetzt möchten wir aber wissen, ob ein ganz bestimmter Punkt $P(P_x,P_y)$ auf der Ebene $E$ ist, oder nicht. Wir nehmen seinen Ortsvektor und setzen ihn mit der Ebenengleichung gleich. Danach lösen wir die Gleichung für $\lambda_1$ und $\lambda_2$:

\[ \overrightarrow{OA} \; + \; \lambda_1 \cdot \vec{a_1} \; + \; \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \; \stackrel{!}{=} \; \overrightarrow{OP} \quad \rightarrow \quad (\lambda_1,\lambda_2) \]

Mit diesen beiden Parameterwerten erreichen wir den Punkt $P$.

Gehört ein Punkt $P$ zur Ebene $E$, gibt es eine ganz bestimmte Einstellung der beiden Parameter $\lambda_1$ und $\lambda_2$, die mit der Ebenengleichung zum Punkt $P$ führt:

\[ \overrightarrow{OA} \; + \; \lambda_1 \cdot \vec{a_1} \; + \; \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \; \stackrel{!}{=} \; \overrightarrow{OP} \]

Diese Vektorgleichung ist ein Gleichungssystem von 3 Gleichungen mit 2 Unbekannten ($\lambda_1$ und $\lambda_2$). Es ist überbestimmt, d.h. zwei Gleichungen reichen für die Bestimmung der Lösung ($\lambda_1$, $\lambda_2$).

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} a_{1,x} \;\lambda_1 + a_{2,x} \;\lambda_2 = OP_x – OA_x \\ a_{1,y} \;\lambda_1 + a_{2,y} \;\lambda_2 = OP_y – OA_y \\ a_{1,z} \;\lambda_1 + a_{2,z} \;\lambda_2 = OP_z – OA_z \end{array} \end{cases} \]

Anschliessend wird die Erfüllung der dritten Gleichung durch die gefundene Lösung ($\lambda_1$, $\lambda_2$) überprüft:

  • Erfüllen ($\lambda_1$, $\lambda_2$) die dritte Gleichung ist $P \in E$
  • Ist die dritte Gleichung durch ($\lambda_1$, $\lambda_2$) nicht erfüllt, gilt $P \notin E$.

Abstand zwischen Punkt und Ebene

Ist der Punkt $P$ nicht in der Ebene $E$, so hat er einen bestimmten Abstand $d$ zur Ebene $E$, den wir berechnen können. Wir schauen uns dazu die beiden Punkte $A \in E$, $P \notin E$ und die Ebene $E$ von der Seite an:

Obwohl es sich um eine räumliche Geschichte handelt, können wir die beiden Punkte $A$ und $P$ in unsere Zeichenebene legen. Zuerst legen wir $P$ in unsere Zeichenebene. Dann legen wir den Normalvektor $\vec{n}$ der Ebene ebenfalls in unsere Zeichenebene. Schliesslich drehen wir um die Achse (in Richtung von $\vec{n}$), bis nun auch der Punkt $A$ in unserer Zeichenebene liegt.

Wenn $P$ und $A$ in der Zeichenebene liegen, dann auch ihr Verbindungsvektor $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$. Beachte, dass der Ursprung nicht unbedingt in der Zeichenebene sein muss.

Nun berechnen wir den Abstand $d$ und schauen uns dazu das rechtwinklige Dreieck mit dem Winkel $\alpha$ an. Wir können die trigonometrische Beziehung zwischen $d$ und der Hypotenuse aufstellen:

\[ \cos(\alpha) = \frac{d}{\Big|\overrightarrow{AP}\Big|} \]

Für den Kosinus von $\alpha$ können wir die Beziehung aus dem Skalarprodukt von $\vec{n}$ und $\overrightarrow{AP}$ benutzen. Er ist ja der Zwischenwinkel, zwischen den beiden Vektoren:

\[ \cos(\alpha) \;\; = \;\; \frac{\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP}}{\big| \vec{n} \big| \cdot \Big|\overrightarrow{AP}\Big|} \]

Wir setzen beides gleich und erhalten eine Gleichung, in welcher wir den einen Betrag weg kürzen können:

\[ \frac{d}{\cancel{\Big|\overrightarrow{AP}\Big|}} \;\; = \;\; \frac{\Big|\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP}\Big|}{\big| \vec{n} \big| \cdot \cancel{\Big|\overrightarrow{AP}\Big|}} \]

Damit haben wir einen Ausdruck für den Abstand $d$ gefunden. Da das Skalarprodukt im Zähler auch negative Werte erzeugen kann, ein negativer Abstand aber keinen Sinn machen würde, haben wir das Skalarprodukt zwischen zwei Betragsstriche gesetzt. 

Der Abstand $d$ eines Punktes $P$ von einer Ebene $E$ (mit Normalvektor $\vec{n}$) kann berechnet werden, wenn ein Punkt der Ebene $A \in E$ bekannt ist:

\[ d \;\; = \;\; \frac{\Big|\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP}\Big|}{\big| \vec{n} \big|} \]

Beispiel

Finde heraus, welcher der beiden Punkte $S(2,0,-1)$ und $T(0,3,6)$ Teil der Ebene $E$ ist und welchen Abstand der andere Punkt von der Ebene hat.

\[ E \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \; = \; \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \]


Wir setzen die Koordinaten von $S$ in die Gleichung der Ebene ein und schauen, ob wir ein bestimmtes Paar $\lambda_1$ und $\lambda_2$ finden, das zum Punkt $S(2,0,-1)$ auf $E$ führt.

\[ \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \;\; \stackrel{!}{=} \;\; \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Wir erhalten das folgende Gleichungssystem:

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} 0 + 2 \;\lambda_1 + 0 \;\lambda_2 = 2 \\ 1 + 0 \;\lambda_1 + 1 \;\lambda_2 = 0 \\ 0 + 1 \;\lambda_1 + 2 \;\lambda_2 = -1 \end{array} \end{cases} \]

Etwas aufgeräumt erkennen wir schon viel mehr:

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} 2 \;\lambda_1 = 2 \\ 1 + \lambda_2 = 0 \\  \lambda_1 + 2 \;\lambda_2 = -1 \end{array} \end{cases} \]

Aus der ersten Gleichung erhalten wir $\lambda_1 = 1$ und aus der zweiten Gleichung $\lambda_2=-1$. Dann schauen wir, ob die dritte Gleichung mit dieser Lösung einverstanden ist:

\[ \lambda_1+2\lambda_2=1+2 \cdot (-1)=-1 \]

Die dritte Gleichung ist erfüllt, d.h. $S \in E$.

Für den zweiten Punkt $T$ wissen wir aus der Aufgabenstellung, dass er nicht in $E$ ist, wenn $S$ schon Teil der Ebene ist, d.h. wir versuchen gar nicht das Gleichungssystem zu lösen, sondern gehen gleich zur Berechnung des Abstands über. Dazu brauchen wir einen Normalvektor $\vec{n}$ zu $E$. Den erhalten wir natürlich, indem wir die beiden die Ebene aufspannenden Vektoren $a_1$ und $a_2$ mit einem Vektorprodukt kombinieren. Beachte, dass die Länge von $\vec{n}$ nicht relevant ist, da die Formel den Einheitsvektor von $\vec{n}$ benutzt (Vektor mit gleicher Richtung, aber Länge 1):

\[ \frac{\vec{n}}{\big|\vec{n}\big|} \]

\[ \vec{n} = \vec{a_1} \times \vec{a_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Dann brauchen wir noch die Länge von $\vec{n}$:

\[ \big| \vec{n} \big| = \sqrt{(-1)^2+(-4)^2+2^2} = \sqrt{1+16+4} = \sqrt{21} \]

Jetzt schauen wir unsere hergeleitete Formel für den Abstand $d$ an. Wir brauchen den Verbindungsvektor zwischen dem Punkt $T$ und dem Punkt $A$ auf der Ebene:

\[ \overrightarrow{OT} = \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 6 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

\[ \overrightarrow{OT} – \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix} 0-0 \\ 3-1 \\ 6-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \]

Damit haben wir alles, was wir brauchen:

\[ d = \frac{\vec{n}}{\big| \vec{n} \big|} \cdot \Big(\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OA}\Big) = \frac{1}{\sqrt{21}} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} \]

\[ d = \frac{1}{\sqrt{21}} \cdot \Big( (-1) \cdot 0 + (-4) \cdot 2 + 2 \cdot 6 \Big) = \frac{4}{\sqrt{21}} \approx \underline{0.873} \]

Aufgabensammlung

  • Ebenen im Raum (5050) – Aufg. 1

    3 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Abstand Punkt zu Ebene u.a.

  • Gleichung einer Ebene (5049) – Aufg. 2

    2 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Ist ein bestimmter Punkt auf der Ebene?

  • Gleichung einer Ebene (5049) – Aufg. 6

    1 Aufgabe (pdf/Video-Lösung):
    Ebenen finden, die zu Punkten einen bestimmten Abstand haben