Du wirst hier verstehen, wie einfach mit dem Skalarprodukt Winkel berechnet werden können. Genauso einfach können wir bestimmen, ob zwei Vektoren senkrecht (orthogonal) zueinander sind. Das Skalarprodukt ist ein sehr praktisches Werkzeug. Wir werden seine Definition, typische Anwendungen und seine geometrische Bedeutung in der analytischen Geometrie (Vektorgeometrie) anschauen.

Das Wichtigste in Kürze

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren, wird berechnet, indem die $x$-Komponenten der beiden Vektoren miteinander multipliziert und mit dem Produkt der $y$-Komponenten addiert werden. Das Ergebnis ist eine Zahl (Skalar).

\[ \vec{a} = \begin{pmatrix}a_x \\ a_y\end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix}b_x \\ b_y\end{pmatrix} \]

\[ \rightarrow \quad \vec{a} \cdot \vec{b} \;\; = \;\; a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \]

In drei Dimensionen:

\[ \vec{a} = \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix}b_x \\ b_y \\ b_z\end{pmatrix} \]

\[ \rightarrow \quad \vec{a} \cdot \vec{b} \;\; = \;\; a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \]

Mit dem Skalarprodukt Winkel $\varphi$ berechnen: Das Skalarprodukt enthält das Produkt der beiden Vektorlängen $|\vec{a}|$ und $|\vec{b}|$ und den Kosinus des Zwischenwinkels $\varphi$, der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossen ist:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} \;\; = \;\; |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\varphi) \]

Aufgelöst nach dem Zwischenwinkel erhalten wir:

\[ \varphi = \arccos\Big({\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\Big) \]

Da der Kosinus von 90° verschwindet ($\cos(90^\circ) = 0$), haben wir ein Skalarprodukt null wenn beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen:

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \vec{a} \perp \vec{b} \]

Video

In zwei Videos wird die Theorie erklärt und mit Beispielen illustriert.

    ***

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    Häufigste Fragen

    Beim Skalarprodukt werden zwei Vektoren miteinander multipliziert (Produkt) und es entsteht eine Zahl, die in der Mathematik oft auch Skalar genannt wird.

    Das Skalarprodukt ist für die folgenden Berechnungen nützlich:

    • Untersuchen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen
    • Berechnung des Zwischenwinkels zwischen zwei Vektoren

    Das Skalarprodukt enthält die Längen der Vektoren, wie auch den Kosinus des Zwischenwinkels.

    Haben beide Vektoren die gleiche Richtung, entspricht das Skalarprodukt dem Produkt der Längen.

    Wenn beide Vektoren senkrecht sind, ist das Skalarprodukt null (unabhängig von den Längen).

    Da ein Vektor nur eine Richtung haben kann, ist beim Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst, der Zwischenwinkel 0°.

    \[ \cos(0^\circ)=1 \]

    In diesem Fall entspricht das Skalarprodukt dem Quadrat der beiden Vektorlängen $a$:

    \[ \vec{a} \cdot \vec{a} \;\; = \;\; |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \;\; = \;\; a^2 \]

    Das Skalarprodukt ist null, wenn mindestens einer der beiden ein Nullvektor ist oder wenn die Vektoren einen Zwischenwinkel von 90° haben, d.h. senkrecht stehen.

    Ja, denn das Skalarprodukt zweier Vektoren enthält die Vektorlängen und den Kosinus ihres Zwischenwinkels $\varphi$.

    Mit dem Arkuskosinus (Umkehrfunktion des Kosinus’) kann aus dem Skalarprodukt und den beiden Längen der Zwischenwinkel berechnet werden:

    \[ \varphi = \arccos\Big({\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\Big) \]

    Warum heisst es ‘Skalarprodukt’?

    Das Skalarprodukt ist ein Produkt von zwei Vektoren, d.h. zwei Vektoren werden durch eine mathematische Operation miteinander verknüpft, die einer Multiplikation ähnelt.

    Durch diese Operation wird ein Zahlenwert berechnet, der in der Mathematik ‘Skalar’ bezeichnet wird (für mehr Informationen sei auf den Artikel in Wikipedia verwiesen). Für Skalare wird oft das Symbol $\lambda$ verwendet.

    Das Skalarprodukt wird manchmal auch Punktprodukt oder inneres Produkt genannt, um es vom Kreuzprodukt bzw. äusseren Produkt, dem Vektorprodukt zu unterscheiden. Wie der Name sagt, führt das Vektorprodukt aus zwei Vektoren eine Art Multiplikation durch, deren Resultat dieses Mal ein Vektor ist.

    Wie wird das Skalarprodukt berechnet?

    Wir schauen uns ein kleines Beispiel an. Die Erklärung, wie es tatsächlich berechnet wird, folgt gleich. Es soll das Skalarprodukt des Vektors $\vec{a}$ und des Vektors $\vec{b}$ berechnet werden:

    \[ \vec{a} = \begin{pmatrix}1 \\ 4\end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix}3 \\ 5\end{pmatrix} \]

    Zuerst werden die beiden $x$-Komponenten der beiden Vektoren miteinander multipliziert:

    \[ a_x = 1, \quad b_x = 3 \quad \rightarrow \quad a_x \cdot b_x = 1 \cdot 3 \]

    Dann wird das Gleiche mit den beiden $y$-Komponenten gerechnet:

    \[ a_y = 4, \quad b_y = 5 \quad \rightarrow \quad a_y \cdot b_y = 4 \cdot 5 \]

    Schliesslich addieren wir die beiden Produkte:

    \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 4 \cdot 5 \]

    \[ \rightarrow \quad \vec{a} \cdot \vec{b} = \underline{23} \]

    Damit haben wir das Skalarprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnet.

    Skalarprodukt Definition

    In zwei Dimensionen gilt:

    \[ \vec{a} = \begin{pmatrix}a_x \\ a_y\end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix}b_x \\ b_y\end{pmatrix} \]

    \[ \rightarrow \quad \vec{a} \cdot \vec{b} \;\; = \;\; a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y \]

    Im dreidimensionalen Fall kommt noch die dritte Dimension hinzu, d.h. das Produkt der $z$-Komponenten. Das Skalarprodukt kann aber auch in vier Dimensionen bzw. in noch höheren Dimensionen auf die gleiche Art berechnet werden:

    \[ \vec{a} = \begin{pmatrix}a_x \\ a_y \\ a_z\end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix}b_x \\ b_y \\ b_z\end{pmatrix} \]

    \[ \rightarrow \quad \vec{a} \cdot \vec{b} \;\; = \;\; a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y + a_z \cdot b_z \]

    Verallgemeinert auf $n$ Dimensionen erhalten wir:

    \[ \vec{a} \cdot \vec{b} \;\; = \;\; \sum_{k=1}^n \big(a_k \cdot b_k\big) \]

    Die Variable $k$ läuft im Summenzeichen von 1 bis $n$. Von der $k$-ten Komponente des Vektors $\vec{a}$ bzw. $\vec{b}$, d.h. $a_k$ und $b_k$ wird das Produkt $a_k b_k$. All diese Produkte werden schliesslich summiert.

    Zusammenhang zwischen Vektorlängen und Zwischenwinkel

    Für das Skalarprodukt existiert auch eine andere Formel, die etwas komplizierter ist:

    \[ \vec{a} \cdot \vec{b} \;\; = \;\; |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\varphi) \]

    Es ist das Produkt von drei Grössen:

    • Länge (Norm) des Vektors: $|\vec{a}|$
    • Länge (Norm) des Vektors: $|\vec{b}|$
    • Kosinuswert des Zwischenwinkels $\varphi$: $\cos\big(\varphi\big)$
    Mit dem Skalarprodukt den Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren berechnen.
    Mit dem Skalarprodukt den Zwischenwinkel zwischen zwei Vektoren berechnen.

    Für die Länge nennt sich auch Norm des Vektors $\vec{a}$ wird die Wurzel der Summe der Quadrate der Vektorkomponenten genommen:

    \[ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \]

    In drei Dimensionen gilt:

    \[ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \]

    Die Längen des Vektors $\vec{b}$ wird analog berechnet.

    Der Zwischenwinkel $\varphi$ ist der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Dabei kommt es nicht darauf an, ob der Winkel spitz oder stumpf ist, denn die Kosinus-Funktion liefert in beiden Fällen den gleichen Wert.

    Beispiel: Skalarprodukt zweier Vektoren mit gleicher Richtung

    Bilde das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$, die die gleiche Richtung haben, aber eine unterschiedliche Länge:

    \[ \vec{u} = \begin{pmatrix}1.2 \\ 1.6\end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix} \]

    Vergleiche das Resultat mit den beiden Längen.

    Wir benutzen die Formel für das Skalarpodukt und multiplizieren die $x$-Komponenten miteinander und die $y$-Komponenten und addieren beide Produkte:

    \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1.2 \cdot 3 + 1.6 \cdot 4 \]

    \[ = 3.6 + 6.4 = \underline{10} \]

    Nun berechnen wir die Längen:

    \[ |\vec{u}| = \sqrt{1.2^2 + 1.6^2} \]

    \[ = \sqrt{\Big(\frac{6}{5}\Big)^2 + \Big(\frac{8}{5}\Big)^2} \]

    \[ = \sqrt{\frac{36+64}{25}} = \frac{10}{5} = 2 \]

    \[ |\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} \]

    \[ = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

    Wenn wir die beiden Längen $|\vec{u}|=2$ und $|\vec{v}|=5$ miteinander multiplizieren, erhalten wir 10 und damit das gleiche Resultat, wie das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

    Da beide Vektoren die gleiche Richtung haben, ist ihr Zwischenwinkel 0° und damit ist der Kosinuswert 1:

    \[ \cos(0^\circ) = 1 \]

    Damit fällt der Einfluss des Zwischenwinkels weg und das Skalarprodukt entspricht dem Produkt der beiden Vektorlängen.

    Beim Skalarprodukt werden zwei Vektoren miteinander multipliziert (Produkt) und es entsteht eine Zahl, die in der Mathematik oft auch Skalar genannt wird.

    Beispiel: Mit dem Skalarprodukt Winkel von 60° nachweisen

    Zeige mit Hilfe des Skalarprodukts, dass die Punkte $A$, $B$ und $C$ ein gleichseitiges Dreieck bilden mit drei Winkeln à 60°.

    \[ A\Big(-\frac{1}{2}, 0\Big), \quad B\Big(0,\frac{\sqrt{3}}{2}\Big), \quad C\Big(\frac{1}{2}, 0\Big) \]

    Wir stellen die Vektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$ auf:

    \[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 0 – (-0.5) \ \sqrt{3}/2 – 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.5 \ \sqrt{3}/2 \end{pmatrix} \]

    \[ \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 0.5 – (-0.5) \ 0 – 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} \]

    Jetzt können wir das Skalarprodukt mit der ersten (einfachen) Formel berechnen:

    \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0.5 \cdot 1 + \cancel{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 0} = 0.5 \]

    Die Längen der beiden Vektoren sind:

    \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{\Big(\frac{1}{2}\Big)^2 + \Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big)^2} \]

    \[ = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1 \]

    \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \]

    Die Seitenlängen des Dreiecks sind offenbar genau 1.

    Jetzt nehmen wir die zweite Formel des Skalarprodukts:

    \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos(\varphi) \]

    Links setzen wir das Resultat des Skalarprodukts ein, das wir mit der einfachen ersten Formel erhalten haben. Rechts können wir die beiden Längen einsetzen:

    \[ 0.5 = 1 \cdot 1 \cdot \cos(\varphi) \quad \rightarrow \quad \cos(\varphi) = 0.5 \]

    Für welchen Winkel ist der Kosinus gleich 0.5? Das ist für $\varphi=60^\circ$ der Fall. Der Zwischenwinkel ist demnach wirklich 60°.

    Die wichtigsten Spezialfälle der Kosinus-Funktion

    Der Kosinus ist eine trigonometrische Funktion für welche wir meistens den Taschenrechner brauchen. Es gibt aber die folgenden drei Spezialfälle, die wir auswendig kennen sollten:

    • Gleich gerichtete Vektoren: Zwischenwinkel $\varphi = 0^\circ$
    • Senkrechte Vektoren: Zwischenwinkel $\varphi = 90^\circ$
    • Genau entgegen gesetzte Vektoren Zwischenwinkel $\varphi = 180^\circ$

    Für diese drei Fälle sind die Werte der Kosinus-Funktion sehr einfach:

    • $\varphi = 0^\circ \quad \rightarrow \quad \cos(0^\circ) = 1$
    • $\varphi = 90^\circ \quad \rightarrow \quad \cos(90^\circ) = 0$
    • $\varphi = 180^\circ \quad \rightarrow \quad \cos(180^\circ) = -1$

    In den beiden Fällen, wo der Kosinus 1 bzw. -1 beträgt, entspricht das Skalarprodukt dem Produkt der beiden Längen (abgesehen vom Vorzeichen). Wenn beide Vektoren senkrecht aufeinander stehen, ist das Skalarprodukt auf jeden Fall null.

    Geometrische Bedeutung des Skalarprodukts

    Um die geometrische Bedeutung ein bisschen einzukreisen, schauen wir uns einen allgemeinen Fall an, in welchem zwei Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ den Zwischenwinkel $\varphi$ einschliessen. Mit der zweiten Formel für das Skalarprodukt erhalten wir:

    \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos(\varphi) \]

    Wir dividieren durch die beiden Vektorlängen und erhalten so einen Ausdruck für den Kosinus von $\varphi$. Für die beiden Vektorlängen benutzen wir die kurze Schreibweise $u=|\vec{u}|$ bzw. $v=|\vec{v}|$.

    \[ \cos(\phi) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{u \cdot v} \]

    Wir können den Bruch auch anders schreiben, nämlich als Produkt von zwei Brüchen:

    \[ \cos(\phi) = \frac{\vec{u}}{u} \cdot \frac{\vec{v}}{v} \]

    Die beiden Brüche sind die Einheitsvektoren der ursprünglichen Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$. Einheitsvektoren entstehen, wenn ein Vektor durch seine eigene Länge geteilt wird:

    \[ \vec{e}_u = \frac{\vec{u}}{u}, \quad \vec{e}_v = \frac{\vec{v}}{v} \]

    Wir schreiben den Ausdruck für den Kosinus damit um:

    \[ \cos(\varphi) = \vec{e}_u \cdot \vec{e}_v \]

    Schau dir das nachfolgende Bild an. Wir nehmen hier den Endpunkt des Vektors $\vec{e}_u$ und projizieren ihn auf $\vec{v}$.

    Skalarprodukt geometrische Bedeutung: Projektion des einen Vektors auf den anderen.
    Skalarprodukt geometrische Bedeutung: Projektion des einen Vektors auf den anderen.

    Dabei entsteht ein kleines rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Länge 1 hat. Die Länge der Projektion auf dem Vektor $\vec{u}$ ist die Ankathete, deren Länge in diesem Fall dem Kosinus von $\varphi$ entspricht.

    Das Skalarprodukt ist demnach das Produkt der Vektorlängen unter Berücksichtigung der Projektion des einen auf den anderen. Die Reihenfolge ist egal, weil das Skalarprodukt kommutativ ist, d.h. wir können die Reihenfolge vertauschen:

    \[ \vec{u} \cdot \vec{v} \;\; = \;\; \vec{v} \cdot \vec{u} \]

    So finden wir senkrechte Vektoren

    Wir wissen jetzt, dass senkrechte Vektoren einen Zwischenwinkel $\varphi=90^\circ$ haben und dass die Kosinusfunktion für 90° den Wert des Skalarprodukts auf null setzt:

    \[ \cos(90^\circ) = 0 \]

    \[ \rightarrow \quad \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(90^\circ) = 0 \]

    Deshalb können wir mit dem Skalarprodukt sehr einfach überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen. Das funktioniert übrigens auch in drei Dimensionen für räumliche Vektoren!

    Wenn mindestens einer der beiden Vektoren ein Nullvektor ist, d.h. ein Vektor mit lauter Nullen als Komponenten, dann wir das Skalarprodukt auch null sein. Wir können in diesem Fall aber nicht wirklich behaupten, dass die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, denn ein Nullvektor hat keine Richtung.

    In allen anderen Fällen gilt aber zuverlässig:

    \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \vec{a} \perp \vec{b} \]

    Beachte, dass das Skalarprodukt null ist, obwohl beide Vektoren selber nicht null sind! Vektoren verhalten sich offenbar anders als Zahlen. In einem Zahlenprodukt können wir nur null erhalten, wenn mindestens einer der beiden Faktoren null ist. Anders kann ein Zahlenprodukt unmöglich null sein. Bei den Vektoren geht das aber!

    Beispiel: Skalarprodukt von zwei senkrechten Vektoren

    Berechne das Skalarprodukt der beiden senkrecht aufeinander stehenden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$.

    \[ \vec{a} = \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix}-2 \\ 2\end{pmatrix} \]

    Skalarprodukt senkrechter Vektor in der Ebene: Ein Vektor steht senkrecht auf einem anderen Vektor.
    Skalarprodukt senkrechter Vektor in der Ebene: Ein Vektor steht senkrecht auf einem anderen Vektor.

    Diese Vektoren haben die Längen $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ und $|\vec{b}| = 2\sqrt{2}$, denn sie bilden die Diagonale von zwei kleinen Quadraten mit Seitenlänge $1$ bzw. $2$.

    Das Produkt der beiden Längen ist demnach:

    \[ |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| = \sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} \]

    \[ = 2 \cdot 2 = 4 \]

    Jetzt rechnen wir aber das Skalarprodukt aus und erhalten:

    \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) \]

    \[ = 2 – 2 = \underline{0} \]

    Beispiel: Senkrechten Vektor finden in drei Dimensionen

    Wähle die Komponente $b_x$ so, dass $\vec{b}$ senkrecht auf $\vec{a}$ steht. Zeichne beide Vektoren.

    \[ \vec{a} = \begin{pmatrix}-4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix}b_x \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \]

    Wir berechnen das Skalarprodukt mit der Formel für dreidimensionale Vektoren:

    \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix}-4 \ 4 \ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_x \ 0 \ 4 \end{pmatrix} \]

    \[ = -4 \cdot b_x + 4 \cdot 0 + 0 \cdot 4 = -4b_x \]

    Da die beiden Vektoren senkrecht aufeinander stehen, muss das Skalarprodukt null sein. Somit folgt:

    \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = -4b_x \stackrel{!}{=} 0 \quad \rightarrow \quad b_x=0 \]

    Wir erhalten so den Vektor $\vec{b}$:

    \[ \vec{b} = \underline{\begin{pmatrix}0 \ 0 \ 4 \end{pmatrix}} \]

    Suche nach dem senkrechten Vektor: Verschiedene Varianten von Vektoren $\vec{b}$, aber nur einer steht senkrecht auf dem Vektor $\vec{a}$.

    <img src=”https://sogehts.online/wp-content/uploads/skalarprodukt-02.png” alt=”Skalarprodukt senkrechter Vektor: Verschiedene Varianten, aber nur ein Vektor steht senkrecht auf dem anderen Vektor.”

    “Der Zwischenwinkel kann auch mit dem Vektorprodukt berechnet werden.
    Mit dem Skalarprodukt geht es aber meistens einfacher!”

    Mit dem Skalarprodukt Winkel berechnen

    Wir können beliebige Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen. Wir nehmen die zweite Formel für das Skalarprodukt:

    \[ \vec{a} \cdot \vec{b} \;\; = \;\; |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\varphi) \]

    Nun lösen wir nach dem Zwischenwinkel $\varphi$ auf, indem wir die Gleichung durch die beiden Vektorlängen teilen:

    \[ \cos(\varphi) = {\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]

    Wir ersetzen die rechte Seite mit einer einfachen Variablen $R$. Bei zwei gegebenen Vektoren, könnten wir sie berechnen. Wir bräuchten dazu das Skalarprodukt mit der ersten einfachen Formel und die beiden Vektorlängen. Wir nehmen deshalb an, dass $R$ berechnet worden ist.

    \[ \cos(\varphi) = R \]

    Jetzt such wir den Winkel $\varphi$, der im Kosinus $R$ entspricht. Das erhalten wir mit der Umkehrfunktion des Kosinus: Der Arkuskosinus, der auf dem Taschenrechner meist mit $\cos^{-1}$ angeschrieben ist.

    \[ \cos(\varphi) = R \quad \rightarrow \quad \varphi = \arccos(R) \]

    Damit haben wir die Formel, um mit Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren zu berechnen:

    \[ \varphi = \arccos\Big({\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\Big) \]

    Das Vektorprodukt hat eine ähnliche Formel. Sie ist aber meistens aufwändiger und fehleranfälliger als diese Formel mit dem Skalarprodukt.

    Beispiel: Berechnung des Zwischenwinkels von zwei Vektoren

    Berechne den Zwischenwinkel zwischen den beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$.

    \[ \vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \]

    Wir berechnen das Skalarprodukt $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

    \[ \vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 3 \]

    Die Längen der beiden Vektoren sind einfach ermittelt:

    \[ |\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \]

    \[ |\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6} \]

    Damit haben wir alles, was wir für die Berechnung des Zwischenwinkels $\varphi$ brauchen:

    \[ \varphi = \arccos\Big({\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\Big) = \arccos\Big({\frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}}\Big) \]

    Wir können as im Taschenrechner eingeben, aber es lohnt sich hier ein bisschen aufzuräumen:

    \[ \frac{3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

    \[ \varphi = \arccos\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}\Big) \]

    Der Kosinus ist für $\underline{\varphi=30^\circ}$ genau $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Damit haben wir den Winkel bestimmt.

    Aufgabensammlung

    Skalarprodukt (5035)

    4 Aufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

    • Senkrechte Vektoren finden
    • Rechtwinkliges Dreieck im Koordinatensystem
    • Vektoren mit Zwischenwinkel 30°
    • Diagonalen eines schiefen Quadrats

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    Lernziele

    • Du kannst das Skalarprodukt von zwei Vektoren im zwei- und dreidimensionalen Fall berechnen.
    • Du weisst, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst dem Quadrat seiner Länge entspricht. Ebenso weisst du, dass das Skalarprodukt für zwei gleichgerichtete Vektoren dem Produkt der beiden Längen entspricht.
    • Du weisst, dass das Skalarprodukt zweier senkrecht aufeinander stehender Vektoren verschwindet.
    • Du kannst mit Hilfe des Skalarprodukts den Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.

    Mini-Test

    Prüfe dein Wissen mit Hilfe eines kleinen Tests mit Verständnisfragen und Rechenaufgaben.

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    Weitere Links

    Aufgabensammlung

    • Skalarprodukt (5035) – Aufg. 1

    • Skalarprodukt (5035) – Aufg. 2

    • Skalarprodukt (5035) – Aufg. 3

    • Skalarprodukt (5035) – Aufg. 4