Wir betrachten zuerst den Punkt $P(0,3)$. Er liegt auf der $x$-Achse. Wie kommen wir vom Ursprung zu diesem Punkt mit dem Einheitsvektor $\vec{e}_x$?

\[ k \cdot \vec{e}_x = \overrightarrow{0P} \quad \rightarrow \quad k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} \]

\[ \rightarrow \quad k=3 \]

Wir benutzen den dreifachen Einheitsvektor und sind dann am Ziel. Jetzt wiederholen wir das Prozedere und überlegen uns, wie wir mit dem Einheitsvektor $\vec{e}_y$ vom Ursprung zum Punkt $Q(2,0)$ gelangen.

\[ l \cdot \vec{e}_y = \overrightarrow{0Q} \quad \rightarrow \quad l \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} \]

\[ \rightarrow \quad l=2 \]

Hier brauchen wir einfach den doppelten Einheitsvektor. Wie kommen wir vom Ursprung zum Punkt $A(3,2)$? Mit dem Einheitsvektor $\vec{e}_x$ alleine, können wir uns nur auf der $x$-Achse bewegen. Genauso wäre es nicht möglich, nur mit dem Einheitsvektor $\vec{e}_y$ den Punkt $A$ zu erreichen. Wir müssen die beiden Einheitsvektoren kombinieren.

\[ \overrightarrow{0A} \;\; = \;\; k \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + l \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

\[ = \;\; \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Wir kriegen:

\[ 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \;\; = \;\; \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \]

Wir erreichen den Punkt $A$ mit einer Linearkombination der beiden Einheitsvektoren $\vec{e}_x$ und $\vec{e}_y$:

\[ \overrightarrow{0A} = 3 \cdot \vec{e}_x + 2 \cdot \vec{e}_y \]

Es dürfte klar sein, dass wir beispielsweise den Punkt $B(7,12)$ mit $\overrightarrow{0B} = 7 \cdot \vec{e}_x + 12 \cdot \vec{e}_y$ erreichen können. Wir können sogar jeden Punkt in der $x,y$-Ebene mit Hilfe einer Linearkombination von $\vec{e}_x$ und $\vec{e}_y$ erreichen.

Aus diesem Grund sagt man auch, dass die beiden Vektoren $\vec{e}_x$ und $\vec{e}_y$ die $x,y$-Ebene aufspannen.

Mit Linearkombinationen der zwei Einheitsvektoren $\vec{e}_x$ und $\vec{e}_y$ erreichen wir alle Punkte der $x,y$-Ebene:

\[ P(x,y) \quad \rightarrow \quad \overrightarrow{0P} \;\; = \;\; x \cdot \vec{e}_x + y \cdot \vec{e}_y \]

\[ = \;\; x \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + y \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} \]

Die Vektoren $\vec{e}_x$ und $\vec{e}_y$ spannen die $x,y$-Ebene auf.

Beispiel

Finde die Linearkombination der beiden Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$, die den Ortsvektor $\overrightarrow{0P}$ von $P(3,3)$ bilden.

\[ \vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}, \quad \vec{w}=\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix} \]


Wir setzen die Linearkombination mit den beiden unbekannten Parametern $k$ und $l$ auf:

\[ k \cdot \vec{v} + l \cdot \vec{w} = \overrightarrow{0P} \]

\[ k \cdot \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix} + l \cdot \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 3\end{pmatrix} \]

Jetzt schauen wir einmal nur die erste Zeile für die $x$-Komponente an. Sie gibt uns eine Gleichung mit den beiden Unbekannten $k$ und $l$:

\[ k \cdot 1 + l \cdot 5 = 3 \]

Die zweite Zeile gibt analog:

\[ k \cdot (-1) + l \cdot 1 = 3 \]

Wenn wir in dieser zweiten Gleichung $k$ addieren und $3$ subtrahieren, erhalten wir $k = l-3$. Wir können deshalb statt $k$ auch $(l-3)$ schreiben, weil sie gleich sind. Wir gehen deshalb in die erste Gleichung und ersetzen das $k$ mit $(l-3)$:

\[ (l-3) \cdot 1 + l \cdot 5 = 3 \]

Jetzt vereinfachen wir die Gleichung und erhalten, lösen sie für $l$ auf und erhalten:

\[ l – 3 + 5l = 3 \quad \rightarrow \quad \underline{l = 1}\]

Nun kennen wir $l$ und wissen, dass $k=l-3$, d.h. $\underline{k=-2}$. Wir kontrollieren die Linearkombination:

\[ (-2) \cdot \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix}(-2) \cdot 1 + 1 \cdot 5 \\ (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 3\end{pmatrix} \]

Das Resultat stimmt tatsächlich. Wir müssen also zwei Mal den Vektor $\vec{v}$ subtrahieren und einmal den Vektor $\vec{w}$ addieren und erhalten so den Ortsvektor $\overrightarrow{0P}$. Grafisch sieht das dann so aus:

Es sieht zwar umständlich aus, aber unsere Erkenntnis aus dem obigen Beispiel ist, dass wir den Punkt $P$ und eigentlich jeden Punkt in der $x,y$-Ebene mit einer Linearkombination von $\vec{v}$ und $\vec{w}$ erreichen können. Somit spannen $\vec{v}$ und $\vec{w}$ die $x,y$-Ebene auf, genauso wie die beiden Einheitsvektoren $\vec{e}_x$ und $\vec{e}_y$.

Beachte noch, dass der grosse Vorteil von $\vec{e}_x$ und $\vec{e}_y$ ist, dass wir die Koeffizienten $k$ und $l$ der Linearkombination einfach aus den Koordinaten des Zielpunkts nehmen können. Wenn wir also den Punkt $P(3,3)$ erreichen möchten, heisst es einfach:

\[ \overrightarrow{0P} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot \vec{e}_x + 3 \cdot \vec{e}_y \]

Mit den beiden Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ ist die Sache weniger praktisch. Niemals hätten wir einfach so raten können, dass aus dem Zahlenpar $(3,3)$ das Zahlenpaar $(-2,1)$ entstehen würde:

\[ \overrightarrow{0P} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \end{pmatrix} = (-2) \cdot \vec{v} + 1 \cdot \vec{w} \]

Wenn die beiden, fast willkürlich gewählten Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$ die $x,y$-Ebene aufspannen, dann könnte man annehmen, dass jedes Paar von zwei Vektoren das tut. Nicht ganz. Es gibt Vektorenpaare, die das nicht schaffen.

Beispiel

Mit welcher Linearkombination von $\vec{v}=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ und $\vec{t}=\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}$ erhalten wir $\overrightarrow{0P} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \end{pmatrix}$?


Wir gehen wieder gleich vor und stellen die Linearkombination mit den beiden Unbekannten $k$ und $l$ auf:

\[ k \cdot \vec{v} + l \cdot \vec{t} = \overrightarrow{0P} \]

\[ k \cdot \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix} + l \cdot \begin{pmatrix}-3 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 3\end{pmatrix} \]

Das gibt uns zwei Gleichungen:

\[ k = 3l + 3 \]

\[ k = 3l – 3 \]

Hier stellt sich ein Problem ein. Es gibt kein $k$ und kein $l$, so dass beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind. Wir können die beiden rechten Seiten gleichsetzen, da sie beide $k$ sind und erhalten die unmögliche Gleichung:

\[ 3l + 3 \stackrel{?}{=} 3l – 3 \]

Es gibt keine Linearkombination und wir erreichen den Punkt $P$ nie mit den beiden Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{t}$!

Grafisch sieht man sofort, dass die beiden Vektoren kollinear sind und wir uns somit vom Ursprung aus nur auf der Geraden $g$ bewegen können. Die Vektoren $\vec{v}$ bzw. $\vec{t}$ für sich, spannen nur die gleiche Gerade auf. Der Punkt $P$ liegt nicht auf der Geraden und ist deshalb nicht erreichbar.

Zwei kollineare Vektoren heissen linear abhängig. Sie spannen keine Ebene auf.

Aufgabensammlung

  • Analysieren und Kombinieren von Vektoren (5034) – Aufg. 3

  • Analysieren und Kombinieren von Vektoren (5034) – Aufg. 4

  • Analysieren und Kombinieren von Vektoren (5034) – Aufg. 5

  • Analysieren und Kombinieren von Vektoren (5034) – Aufg. 6