Hessesche Normalform

Die nach dem deutschen Mathematiker Otto Hesse (1811-1874) benannte Hessesche Normalform ist eine Normalform mit normiertem Normalvektor:

Unter “normiert” verstehen wir “auf die Länge eins gebracht, d.h. als Einheitsvektor.

Für die Berechnung eines Abstands zu einem Punkt \(P\) von der Ebene \(E\) hatten wir folgende Formel hergeleitet:

\[ d = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP}|}{|\vec{n}|} \]

Dabei ist \(\overrightarrow{AP}\) ein Verbindungsvektor von einem beliebigen Punkt \(A \in E\) zum Punkt \(P\). Die obige Formel können wir aber auch so schreiben:

\[ d \;\;=\;\; \Big| \; \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \cdot \overrightarrow{AP} \; \Big| \]

Der Bruch stellt den Vektor \(\vec{n}\) dar, dividiert durch seine eigene Länge, d.h. wir behalten die Richtung und kriegen einen normierten Vektor mit der Länge 1:

\[ \vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \quad \rightarrow \quad |\vec{n}_0| = 1 \]

Wir ersetzen den Bruch mit \(\vec{n}_0\) und erhalten so:

\[ d \;\;=\;\; \big |\;\vec{n}_0 \cdot \overrightarrow{AP} \; \big | \]

Beispiel

Stelle für die Ebene \(E\) die Hessesche Normalform auf:

\[ E: \;\; x – 4y + 8z +3 = 0 \]

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Wir brauchen den normierten Normalvektor \(\vec{n}_0\). Aus der gegebenen Koordinatenform der Ebene \(E\) lässt sich der nicht normierte Normalvektor einfach ablesen:

\[ \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} \]

Wir berechnen die Norm dieses Vektors:

\[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{1+16+64} = \sqrt{81} = 9 \]

Somit müssen wir den Normalvektor \(\vec{n}\) mit dem Faktor 9 kürzen:

\[ \vec{n}_0 = \frac{1}{9} \cdot \vec{n} = \frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} \]

\[ \vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1/9 \\ -4/9 \\ 8/9 \end{pmatrix} \]

Jetzt brauchen wir noch einen Punkt, der auf der Ebene ist. Wir können z.B. die \(y\)- und \(z\)-Koordinate dieses Punkts auf null setzen und die \(x\)-Koordinate mit der Ebenengleichung bestimmen:

\[ \require{cancel} x – \cancel{4 \cdot 0} + \cancel{8 \cdot 0} + 3 = 0 \]

\[ x + 3 = 0 \quad \rightarrow \quad x = -3 \]

Der Punkt \(A(-3,0,0)\) erfüllt damit die Ebenengleichung und ist somit auf \(E\). Damit erhalten wir den Vektor vom Punkt \(A(-3,0,0)\) zum allgemeinen Punkt \(P(x,y,z)\) auf der Ebene:

\[ \overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} x – (-3) \\ y – 0 \\ z – 0 \end{pmatrix} \]

Jetzt können wir die Hessesche Normalform aufstellen:

\[ \underline{E: \;\; \begin{pmatrix} 1/9 \\ -4/9 \\ 8/9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x + 3 \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0} \]

Beispiel

Berechne den Abstand des Punkts \(P(3,5,3)\) von der Ebene \(E\), die nachfolgend in der Hesseschen Normalform gegeben ist:

\[ E:\;\; \begin{pmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \\ z- 7/2 \end{pmatrix} = 0 \]

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Für die Berechnung des Abstands brauchen den Vektor \(\vec{n}_0\), den wir aus der Ebenengleichung ablesen können (Vektor links) und den Vektor \(\overrightarrow{AP}\). Letzeren kriegen wir als Verbindungsvektor von \(A\) zu \(P\), wobei \(A\) ein Punkt auf der Ebene \(E\) sein muss.

In der Ebenengleichung können wir den Punkt \(A(1,2,\frac{7}{2})\) ablesen. Er ist auf \(E\), denn wenn wir diese Koordinaten in die Ebenengleichung einsetzen, entsteht rechts ein Nullvektor und das Skalarprodukt ist damit automatisch null, d.h. die Ebenengleichung ist erfüllt.

Wir kriegen also \(\overrightarrow{AP}\) wie folgt:

\[ \overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-2 \\ 3-7/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1/2 \end{pmatrix} \]

Jetzt können wir den Abstand berechnen:

\[ d = \Big| \begin{pmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1/2 \end{pmatrix} \Big| \]

\[ =\; \Big| \frac{1}{3} \cdot 2 \;+\; \frac{2}{3} \cdot 3 \;+\; \big(-\frac{2}{3}\big) \cdot \big(-\frac{1}{2}\big) \Big| \]

\[ =\; \Big| \frac{2}{3} + 2 + \frac{1}{3} \Big| \;=\; \underline{\,3\,} \]