Die nach dem deutschen Mathematiker Otto Hesse (1811-1874) benannte Hessesche Normalform ist eine Normalform mit normiertem Normalvektor:

Die Hessesche Normalform ist gleich wie die Normalform, jedoch mit einem normierten Normalvektor $\vec{n}_0$:

\[ \vec{n}_0 \cdot \Big( \overrightarrow{OP} – \overrightarrow{OA} \Big) = 0 \]

Den normierten Normalvektor $\vec{n}_0$ erhalten wir wie folgt:

\[ \vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \quad \rightarrow \quad |\vec{n}_0| = 1 \]

Unter “normiert” verstehen wir “auf die Länge eins gebracht, d.h. als Einheitsvektor.

Für die Berechnung eines Abstands zu einem Punkt $P$ von der Ebene $E$ hatten wir folgende Formel hergeleitet:

\[ d = \frac{|\vec{n} \cdot \overrightarrow{AP}|}{|\vec{n}|} \]

Dabei ist $\overrightarrow{AP}$ ein Verbindungsvektor von einem beliebigen Punkt $A \in E$ zum Punkt $P$. Die obige Formel können wir aber auch so schreiben:

\[ d \;\;=\;\; \Big| \; \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \cdot \overrightarrow{AP} \; \Big| \]

Der Bruch stellt den Vektor $\vec{n}$ dar, dividiert durch seine eigene Länge, d.h. wir behalten die Richtung und kriegen einen normierten Vektor mit der Länge 1:

\[ \vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} \quad \rightarrow \quad |\vec{n}_0| = 1 \]

Wir ersetzen den Bruch mit $\vec{n}_0$ und erhalten so:

\[ d \;\;=\;\; \big |\;\vec{n}_0 \cdot \overrightarrow{AP} \; \big | \]

Die Berechnung des Abstands eines Punkts $P$ zu einer Ebene ist mit der Hesseschen Normalform besonders einfach:

\[ d \;\;=\;\; \big |\;\vec{n}_0 \cdot \overrightarrow{AP} \; \big | \]

Dabei nehmen wir den normierten Normalvektor $\vec{n}_0$ von $E$ und irgendeinen Punkt $A \in E$.

Beispiel

Stelle für die Ebene $E$ die Hessesche Normalform auf:

\[ E: \;\; x – 4y + 8z +3 = 0 \]


Wir brauchen den normierten Normalvektor $\vec{n}_0$. Aus der gegebenen Koordinatenform der Ebene $E$ lässt sich der nicht normierte Normalvektor einfach ablesen:

\[ \vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} \]

Wir berechnen die Norm dieses Vektors:

\[ |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (-4)^2 + 8^2} = \sqrt{1+16+64} = \sqrt{81} = 9 \]

Somit müssen wir den Normalvektor $\vec{n}$ mit dem Faktor 9 kürzen:

\[ \vec{n}_0 = \frac{1}{9} \cdot \vec{n} = \frac{1}{9} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix} \]

\[ \vec{n}_0 = \begin{pmatrix} 1/9 \\ -4/9 \\ 8/9 \end{pmatrix} \]

Jetzt brauchen wir noch einen Punkt, der auf der Ebene ist. Wir können z.B. die $y$- und $z$-Koordinate dieses Punkts auf null setzen und die $x$-Koordinate mit der Ebenengleichung bestimmen:

\[ x – \cancel{4 \cdot 0} + \cancel{8 \cdot 0} + 3 = 0 \]

\[ x + 3 = 0 \quad \rightarrow \quad x = -3 \]

Der Punkt $A(-3,0,0)$ erfüllt damit die Ebenengleichung und ist somit auf $E$. Damit erhalten wir den Vektor vom Punkt $A(-3,0,0)$ zum allgemeinen Punkt $P(x,y,z)$ auf der Ebene:

\[ \overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} x – (-3) \\ y – 0 \\ z – 0 \end{pmatrix} \]

Jetzt können wir die Hessesche Normalform aufstellen:

\[ \underline{E: \;\; \begin{pmatrix} 1/9 \\ -4/9 \\ 8/9 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x + 3 \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0} \]

Beispiel

Berechne den Abstand des Punkts $P(3,5,3)$ von der Ebene $E$, die nachfolgend in der Hesseschen Normalform gegeben ist:

\[ E:\;\; \begin{pmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x-1 \\ y-2 \\ z- 7/2 \end{pmatrix} = 0 \]


Für die Berechnung des Abstands brauchen den Vektor $\vec{n}_0$, den wir aus der Ebenengleichung ablesen können (Vektor links) und den Vektor $\overrightarrow{AP}$. Letzeren kriegen wir als Verbindungsvektor von $A$ zu $P$, wobei $A$ ein Punkt auf der Ebene $E$ sein muss.

In der Ebenengleichung können wir den Punkt $A(1,2,\frac{7}{2})$ ablesen. Er ist auf $E$, denn wenn wir diese Koordinaten in die Ebenengleichung einsetzen, entsteht rechts ein Nullvektor und das Skalarprodukt ist damit automatisch null, d.h. die Ebenengleichung ist erfüllt.

Wir kriegen also $\overrightarrow{AP}$ wie folgt:

\[ \overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 5-2 \\ 3-7/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1/2 \end{pmatrix} \]

Jetzt können wir den Abstand berechnen:

\[ d = \Big| \begin{pmatrix} 1/3 \\ 2/3 \\ -2/3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -1/2 \end{pmatrix} \Big| \]

\[ =\; \Big| \frac{1}{3} \cdot 2 \;+\; \frac{2}{3} \cdot 3 \;+\; \big(-\frac{2}{3}\big) \cdot \big(-\frac{1}{2}\big) \Big| \]

\[ =\; \Big| \frac{2}{3} + 2 + \frac{1}{3} \Big| \;=\; \underline{\,3\,} \]