Das Wichtigste in Kürze

Der Lotfusspunkt $Q$ ist gewissermassen der senkrechte Schatten auf einer Ebene $E$, der von einem Punkt $P$ ausserhalb einer Ebene geworfen wird.

Der Lotfusspunkt wird als Schnittpunkt der Lotgeraden $l$ mit der Ebene $E$ erhalten. Die Lotgerade $l$ entsteht durch aus dem Punkt $P$ als Stützpunkt und dem Normalvektor $\vec{n}$ auf der Ebene als Richtungsvektor.

Unter dem Lotfusspunkt verstehen wir den Punkt auf einer Ebene, in welchem das Lot auf der Ebene auftrifft. Im dargestellten Beispiel ist geht die Lotgerade $l$ durch den Punkt $P$ und trifft auf die Ebene im Punkt $Q$ auf, d.h. $Q$ ist der Lotfusspunkt von $P$ auf $E$.

Beispiel: Lotfusspunkt bestimmen

Finde den Lotfusspunkt $Q$ von $P(2,3,2)$ auf $E$, d.h. den Punkt, der durch das Lot von $P$ auf $E$ entsteht.

\[ E \colon \;\; 2x – y – 3z = 9 \]

Zuerst brauchen wir die Gleichung der Lotgeraden, d.h. der Geraden, die durch $P$ geht und die Ebene $E$ senkrecht durchstösst. Den Stützpunkt der Geraden haben wir natürlich mit $P$ gegeben, denn der muss ja auf der Lotgeraden sein. Die Richtung der Lotgeraden ist auch einfach zu ermitteln. Sie muss senkrecht zur Ebene $E$ stehen und diese Richtung erhalten wir mit der Normalvektor $\vec{n}$.

Die Koordinatenform der Ebene verrät uns den Normalvektor direkt, denn wir erinnern uns an die Normalform einer Ebene, die war:

\[ E: \quad n_x \cdot (x – A_x) + n_y \cdot (y – A_y) + n_z \cdot (z – A_z) = 0 \]

Wenn wir die Klammern ausmultiplizieren, erhalten wir:

\[ n_x \cdot x + n_y \cdot y + n_z \cdot z \;\; = \;\; n_x A_x + n_y A_y + n_z A_z \]

Die linke Seite zeigt uns, dass die Koeffizienten vor dem $x$, dem $y$ und dem $z$ gleich auch die Vektorkomponenten des Normalvektors sind, d.h. hier:

\[ \vec{n} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Wir haben somit eine Parameterform der Lotgeraden $l$:

\[ l \colon \;\; \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Da die Ebene nicht in Parameterform vorliegt, können wir die beiden Gleichungen nicht gleichsetzen. Wir wählen aber das Einsetzverfahren und setzen die drei Gleichungen für die Komponenten $x$, $y$ und $z$ aus der Lotgeraden in die Ebenengleichung:

\[ \begin{array}{cc} x = 2 + 2s \\ y = 3 – s \\ z = 2 – 3s \end{array} \]

\[ 2x – y – 3z \;\; = \;\; 2 \cdot (2 + 2s) – (3 – s) – 3 \cdot (2 – 3s) \;\; = \;\; 9 \]

\[ 4 + 4s – 3 + s – 6 + 9s \;\; = \;\; 9 \]

Das ist eine einfache Gleichung mit einer Unbekannten $s$. Wir erhalten: $s=1$

Den Lotfusspunkt haben wir damit gefunden. Wir nehmen die Lotgerade und setzen $s=1$:

\[ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2 \\ 3-1 \\ 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Der Punkt auf $l$ mit $s=1$ ist der Lotfusspunkt und seine Koordinaten sind: $\underline{Q(4,2,-1)}$

Der Lotfusspunkt $Q$ eines Punkts $P$, der ausserhalb der Ebene $E$ liegt, ist der Durchstosspunkt der Lotgeraden $l$ durch $E$. Die Lotgerade verläuft durch den Punkt $P$ und hat den Normalvektor von $E$ als Richtungsvektor.

\[ P \in l, \;\; P \notin E, \;\; l \perp E \quad \rightarrow \quad l \cap E = \big\{Q\big\} \]

Lernziele

  • Du kannst von einem Punkt ausserhalb der Ebene, dessen Lotfusspunkt auf der Ebene bestimmen

Mini-Test

(zu diesem Thema gibt es noch keinen Mini-Test)

Weitere Links

Aufgabensammlung

  • Kreise und Kugeln (5051) – Aufg. 6

    1 Aufgabe (pdf/Video-Lösung):
    Schnittkreis einer Ebene mit einer Kugel