Gerade und Ebene

Eine Gerade \(g\) wird im allgemeinen Fall die Ebene \(E\) durchstossen und somit einen gemeinsamen Punkt \(P\) haben. Diesen Punkt erhalten wir, indem wir die Ebenengleichung und die Geradengleichung gleichsetzen. Wir verlangen, dass die Ebenengleichung, die alle Ortsvektoren zu den Punkten \(P \in E\) gibt…

\[ E \colon \quad \overrightarrow{OP} \; = \; \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \]

…die gleichen Koordinaten des gleichen Punkts \(P\) liefert, wie die Geradengleichung von \(g\), die uns alle Ortsvektoren der Punkte \(P \in g\) liefert:

\[ g \colon \quad \overrightarrow{OP} \; = \; \overrightarrow{OB} + \lambda \cdot \vec{a} \]

Das Gleichsetzen führt zu einem Gleichungssystem mit drei Gleichungen (je eine Gleichung pro Koordinate) und drei Unbekannten, \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) in der Ebenengleichung und \(\lambda\) in der Geradengleichung. Die Lösung ist die genaue Einstellung dieser drei Parameter, so dass der gemeinsame Punkt \(P\) erreicht wird:

\[ \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \;\; \stackrel{!}{=} \;\; \overrightarrow{OB} + \lambda \cdot \vec{a} \]

\[ \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} – \lambda \cdot \vec{a} \;\; = \;\; \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} \]

Für die drei Koordinaten ergibt sich das Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) und \(\lambda\):

\[ \begin{cases} \lambda_1 \cdot a_{1,x} + \lambda_2 \cdot a_{2,x} – \lambda \cdot a_x \;\; = \;\; OB_x – OA_x \\ \lambda_1 \cdot a_{1,y} + \lambda_2 \cdot a_{2,y} – \lambda \cdot a_y \;\; = \;\; OB_y – OA_y \\ \lambda_1 \cdot a_{1,z} + \lambda_2 \cdot a_{2,z} – \lambda \cdot a_z \;\; = \;\; OB_z – OA_z \end{cases} \]

Beispiel

Finde den Durchstosspunkt \(P\) der Geraden \(g\) durch die \((y,z)\)-Ebene.

\[ g \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \]

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Für die \((y,z)\)-Ebene können wir die Parameterform aufstellen, indem wir für die beiden aufspannenden Vektoren \(\vec{a_1}\) und \(\vec{a_2}\) die Einheitsvektoren \(\vec{e_y}\) und \(\vec{e_z}\) nehmen. Da die \((y,z)\)-Ebene den Ursprung enthält, ist die Parameterform:

\[ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Jetzt setzen wir die beiden Gleichungen gleich:

\[ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

\[ \stackrel{!}{=} \;\; \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Mit dieser Vektorgleichung etwas anders geschrieben, erhalten wir ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) und \(\lambda\):

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} 0 \cdot \lambda_1 + 0 \cdot \lambda_2 – 2 \cdot \lambda \;\; = \;\; -3 \\ 1 \cdot \lambda_1 + 0 \cdot \lambda_2 – 8 \cdot \lambda \;\; = \;\; -3 \\ 0 \cdot \lambda_1 + 1 \cdot \lambda_2 + 2 \cdot \lambda \;\; = \;\; 1 \end{array} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} – 2 \lambda \;\; = \;\; -3 \\ \lambda_1 – 8 \lambda \;\; = \;\; -3 \\ \lambda_2 + 2 \lambda \;\; = \;\; 1 \end{array} \end{cases} \]

Um den Durchstosspunkt \(P\) zu finden, braucht es entweder \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) in der Ebenengleichung oder \(\lambda\) in der Geradengleichung. Wir nehmen natürlich \(\lambda=\frac{3}{2}\) aus der ersten Gleichung und setzen in die Geradengleichung von \(g\) ein:

\[ \begin{pmatrix} P_x \\ P_y \\ P_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{3}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix} -3+3 \\ -3+12 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Die Gerade \(g\) durchstösst die \((y,z)\)-Ebene bzw. die \((x=0)\)-Ebene im Punkt \(\underline{P(0,9,-2)}\).

Beispiel

Wie steht die Gerade \(g\) im Vergleich zur Ebene \(E\)? Finde den Durchstosspunkt \(Q\) (sofern vorhanden) oder berechne den Abstand \(d\), falls \(g \parallel E\).

\[ g \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \]

\[ E \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \]

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\(g\) und \(E\) sind parallel, denn der eine aufspannende Vektor von \(E\) ist kollinear mit dem Richtungsvektor von \(g\):

\[ (-2) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \;\; = \;\; \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Wir können den Abstand berechnen, indem wir irgendeinen Punkt auf \(g\) wählen. Warum nicht einfach \(P(-3,-2,1)\)? Auf der Ebene haben wir den Punkt \(A(6,6,-2)\)

\[ \overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} -3-6 \\ -2-6 \\ 1-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Dann bestimmen wir den Normalvektor mit dem Vektorprodukt der beiden, die Ebene aufspannenden Vektoren:

\[ \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

\[ \big|\vec{n}\big| = \sqrt{(-2)^2+1^2+0^2} = \sqrt{5} \]

Somit ist der Abstand \(d\):

\[ d \;\; = \;\; \frac{\Big| \vec{n} \cdot \overrightarrow{AP} \Big|}{\Big| \vec{n} \Big|} \]

\[ = \frac{\Big|\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -9 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix}\Big|}{\sqrt{5}} \]

\[ = \frac{\big| 18 – 8 + 0 \big|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \underline{2\sqrt{5}} \]