Eine Gerade $g$ wird im allgemeinen Fall die Ebene $E$ durchstossen und somit einen gemeinsamen Punkt $P$ haben. Diesen Punkt erhalten wir, indem wir die Ebenengleichung und die Geradengleichung gleichsetzen. Wir verlangen, dass die Ebenengleichung, die alle Ortsvektoren zu den Punkten $P \in E$ gibt…

\[ E \colon \quad \overrightarrow{OP} \; = \; \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \]

…die gleichen Koordinaten des gleichen Punkts $P$ liefert, wie die Geradengleichung von $g$, die uns alle Ortsvektoren der Punkte $P \in g$ liefert:

\[ g \colon \quad \overrightarrow{OP} \; = \; \overrightarrow{OB} + \lambda \cdot \vec{a} \]

Das Gleichsetzen führt zu einem Gleichungssystem mit drei Gleichungen (je eine Gleichung pro Koordinate) und drei Unbekannten, $\lambda_1$ und $\lambda_2$ in der Ebenengleichung und $\lambda$ in der Geradengleichung. Die Lösung ist die genaue Einstellung dieser drei Parameter, so dass der gemeinsame Punkt $P$ erreicht wird:

\[ \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \;\; \stackrel{!}{=} \;\; \overrightarrow{OB} + \lambda \cdot \vec{a} \]

\[ \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} – \lambda \cdot \vec{a} \;\; = \;\; \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} \]

Für die drei Koordinaten ergibt sich das Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten $\lambda_1$, $\lambda_2$ und $\lambda$:

\[ \begin{cases} \lambda_1 \cdot a_{1,x} + \lambda_2 \cdot a_{2,x} – \lambda \cdot a_x \;\; = \;\; OB_x – OA_x \\ \lambda_1 \cdot a_{1,y} + \lambda_2 \cdot a_{2,y} – \lambda \cdot a_y \;\; = \;\; OB_y – OA_y \\ \lambda_1 \cdot a_{1,z} + \lambda_2 \cdot a_{2,z} – \lambda \cdot a_z \;\; = \;\; OB_z – OA_z \end{cases} \]

Beispiel

Finde den Durchstosspunkt $P$ der Geraden $g$ durch die $(y,z)$-Ebene.

\[ g \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \]


Für die $(y,z)$-Ebene können wir die Parameterform aufstellen, indem wir für die beiden aufspannenden Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ die Einheitsvektoren $\vec{e_y}$ und $\vec{e_z}$ nehmen. Da die $(y,z)$-Ebene den Ursprung enthält, ist die Parameterform:

\[ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Jetzt setzen wir die beiden Gleichungen gleich:

\[ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \]

\[ \stackrel{!}{=} \;\; \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Mit dieser Vektorgleichung etwas anders geschrieben, erhalten wir ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten $\lambda_1$, $\lambda_2$ und $\lambda$:

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} 0 \cdot \lambda_1 + 0 \cdot \lambda_2 – 2 \cdot \lambda \;\; = \;\; -3 \\ 1 \cdot \lambda_1 + 0 \cdot \lambda_2 – 8 \cdot \lambda \;\; = \;\; -3 \\ 0 \cdot \lambda_1 + 1 \cdot \lambda_2 + 2 \cdot \lambda \;\; = \;\; 1 \end{array} \end{cases} \]

\[ \begin{cases} \begin{array}{cc} – 2 \lambda \;\; = \;\; -3 \\ \lambda_1 – 8 \lambda \;\; = \;\; -3 \\ \lambda_2 + 2 \lambda \;\; = \;\; 1 \end{array} \end{cases} \]

Um den Durchstosspunkt $P$ zu finden, braucht es entweder $\lambda_1$ und $\lambda_2$ in der Ebenengleichung oder $\lambda$ in der Geradengleichung. Wir nehmen natürlich $\lambda=\frac{3}{2}$ aus der ersten Gleichung und setzen in die Geradengleichung von $g$ ein:

\[ \begin{pmatrix} P_x \\ P_y \\ P_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{3}{2} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix} -3+3 \\ -3+12 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 9 \\ -2 \end{pmatrix} \]

Die Gerade $g$ durchstösst die $(y,z)$-Ebene bzw. die $(x=0)$-Ebene im Punkt $\underline{P(0,9,-2)}$.

Beispiel

Wie steht die Gerade $g$ im Vergleich zur Ebene $E$? Finde den Durchstosspunkt $Q$ (sofern vorhanden) oder berechne den Abstand $d$, falls $g \parallel E$.

\[ g \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \]

\[ E \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \]


$g$ und $E$ sind parallel, denn der eine aufspannende Vektor von $E$ ist kollinear mit dem Richtungsvektor von $g$:

\[ (-2) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \;\; = \;\; \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \]

Wir können den Abstand berechnen, indem wir irgendeinen Punkt auf $g$ wählen. Warum nicht einfach $P(-3,-2,1)$? Auf der Ebene haben wir den Punkt $A(6,6,-2)$

\[ \overrightarrow{AP} = \begin{pmatrix} -3-6 \\ -2-6 \\ 1-(-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix} \]

Dann bestimmen wir den Normalvektor mit dem Vektorprodukt der beiden, die Ebene aufspannenden Vektoren:

\[ \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \]

\[ \big|\vec{n}\big| = \sqrt{(-2)^2+1^2+0^2} = \sqrt{5} \]

Somit ist der Abstand $d$:

\[ d \;\; = \;\; \frac{\Big| \vec{n} \cdot \overrightarrow{AP} \Big|}{\Big| \vec{n} \Big|} \]

\[ = \frac{\Big|\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -9 \\ -8 \\ 3 \end{pmatrix}\Big|}{\sqrt{5}} \]

\[ = \frac{\big| 18 – 8 + 0 \big|}{\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \underline{2\sqrt{5}} \]

Eine Gerade $g$ durchstösst eine Ebene $E$ in einem Punkt $P$.

\[ g \cap E = \big\{ P \big\} \]

Diesen Durchstosspunkt $P$ erhalten wir durch Gleichsetzen der Geraden- und Ebenengleichung und durch Lösen des Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten:

\[ \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \;\; \stackrel{!}{=} \;\; \overrightarrow{OB} + \lambda \cdot \vec{a} \]

\[ \rightarrow \quad (\lambda_1, \lambda_2, \lambda) \quad \rightarrow \quad P(P_x,P_y,P_z) \]

Sollte die Gerade parallel zur Ebene verlaufen ($g \parallel E$), so können wir irgendeinen Punkt auf der Geraden nehmen und seinen Abstand zur Ebene $d$ berechnen.