Primteiler von Zahlen

Ich habe mir das immer ein bisschen so vorgestellt: Zahlen bestehen aus Primteilern, wie Moleküle aus Atomen bestehen. Die Primteiler sind die Bausteine der Zahl. Sie selber sind nicht weiter teilbar.

Wenn eine Zahl aus nur einem einzigen Primteiler besteht, d.h. selber nicht weiter teilbar ist (wie z.B. Edelgase, die aus Atomen bestehen, nicht aus Molekülen), dann nennen wir eine solche Zahl Primzahl. Wir können sie nur durch sich selbst oder durch 1 dividieren.

Zahlen können als Produkt ihrer Primteiler geschrieben werden. Sie sind deshalb durch ihre Primteiler teilbar.

\[ 30 \;\; = \;\; 2 \cdot 3 \cdot 5 \]

\[ (6a^2+3ab) \;\; = \;\; 3 \cdot a \cdot (2a + b) \]

Zahlen, die aus einem einzigen Primteiler bestehen, sind nur noch durch diesen oder (trivialerweise) durch 1 teilbar. Solche Zahlen nennen wir Primzahlen.

\[ 19 \;\; = \;\; 19 \]

\[ (a+b) \;\; = \;\; (a+b) \]

Wie viel haben zwei Zahlen gemeinsam?

Jetzt, wo wir eine Zahl in ihre Bestandteile auftrennen können, fragen wir uns, ob es aufgrund ihrer Zusammensetzung gewissermassen ”Verwandschaften” zwischen Zahlen gibt. Ein bisschen wir Geschwister, die fast die gleichen Gene besitzen.

Die Zahlen 30 und 12 sind zwei Zahlen, die viel gemeinsam haben. Ihre Primteilerzerlegung sieht folgendermassen aus:

\[ 30 \;\; = \;\; \underline{\;2\;} \cdot \underline{\;3\;} \cdot 5 \]

\[ 12 \;\; = \;\; \underline{\;2\;} \cdot \underline{\;3\;} \cdot 2 \]

Die beiden Primteiler 2 und 3 sind gemeinsam. Die Zahl 30 hat dann noch einen Primteiler 5, den die Zahl 12 nicht hat. Dafür hat die 12 den zweiten Primteiler 2, den die Zahl 30 nicht aufweisen kann.

Wenn wir möglichst viel vom Gemeinsamen zusammennehmen, erhalten wir eine Zahl, die dem grössten gemeinsamen Teiler (ggT) entspricht:

\[ \text{ggT}(30,12) = 2 \cdot 3 = \underline{\;6\;} \]

Beispiel

Vergleiche die Primteiler der Zahl 84 mit denjenigen der Zahl 80 und bestimme daraus den grössten gemeinsamen Teiler.


Da 84 eine gerade Zahl ist, können wir sie durch 2 teilen, d.h. 2 ist ein Teiler von 84. Wir schreiben:

\[ 84 = 2 \cdot 42 \]

Die Zahl 2 ist nicht weiter teilbar, ausser durch 1 und durch sich selbst, da 2 eine Primzahl ist. Wir sagen deshalb, dass 2 ein Primteiler von 84 ist. Der andere Rest, 42, ist noch weiter teilbar. Als gerade Zahl enthält die 42 nochmals die Zahl 2. wir schreiben deshalb:

\[ 84 = 2 \cdot 2 \cdot 21 \]

Der Primteiler 2 ist nicht mehr vorhanden in 21, d.h. jetzt gehen wir in der Liste der Primzahlen hoch zur nächsten Primzahl 3 und können 21 durch 3 dividieren:

\[ 84 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \]

Jetzt ist die Zahl 84 vorständig in Primfaktoren aufgeteilt, die selber nicht weiter aufgeteilt werden können.

Für die Zahl 80 machen wir die Primteilerzerlegung in gleicher Art:

\[ 80 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \]

Wir sehen, dass diese Zahl mehr 2-er-Teiler beinhaltet als 84. Sie enthält weder die 3, noch die 7 in ihren Primteilern, dafür aber die 5. Die beiden Zahlen 84 und 80 haben deshalb folgende Teiler gemeinsam:

\[ 2 \cdot 2 = 4 \quad \Rightarrow \quad \underline{\text{ggT}(84,80)=4} \]

Der grösste gemeinsame Teiler (ggT) von zwei oder mehr Zahlen ist das Produkt aller gemeinsamen Primteiler:

\[ abc = a \cdot \underline{\;b\;} \cdot \underline{\;c\;} \]

\[bcd = \underline{\;b\;} \cdot \underline{\;c\;} \cdot d \]

\[ \rightarrow \quad \text{ggT}(abc,bcd) = (b \cdot c) \]

Beispiel

Finde den ggT der beiden Primzahlen 19 und 83.


Da Primzahlen nur sich selbst und 1 als Teiler haben, können wir die beiden Zahlen nicht weiter unterteilen. Sie bilden schon die kleinste Einheit, d.h. 19 ist der einzige Teiler von 19 und 83 ist der einzige Teiler von 83.

Beide Zahlen haben dadurch keinen gemeinsamen Teiler, ausser 1!

\[ \underline{\text{ggT}(19,83) = \;1\;} \]

Kürzen von Brüchen

Wenn wir einen Bruch kürzen, teilen wir den Zähler und den Nenner durch die gleiche Zahl. Diese Division muss aber aufgehen, denn wir möchten keinen Bruch im Zähler oder Nenner erhalten.

Wenn wir beispielsweise den Bruch $\frac{6}{15}$ mit 3 kürzen, geht das folgendermassen:

\[ \frac{6}{15} = \frac{\cancel{3} \cdot 2}{\cancel{3} \cdot 5} \;\; = \;\; \frac{2}{5} \]

Für das Kürzen von Brüchen sind wir deshalb daran interessiert, möglichst viele gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner zu finden. Danach ist der Bruch vollständig gekürzt, denn die verbleibenden Primteiler kommen nur im Zähler oder im Nenner vor, nicht aber oben und unten.

Beispiel

Kürze den folgenden Bruch vollständig:

\[ \frac{57xy}{285y} \]


Wir schreiben den Zähler und den Nenner als ausgeschriebene Produkte ihrer Primteiler:

\[ \frac{57xy}{285y} = \frac{3 \cdot 19 \cdot x \cdot y}{3 \cdot 5 \cdot 19 \cdot y} \]

die gemeinsamen Teiler in Zähler und Nenner können wir gruppieren und dann kürzen:

\[ = \frac{\cancel{(3 \cdot 19 \cdot y)} \cdot x}{\cancel{(3 \cdot 19 \cdot y)} \cdot 5} \;\; = \;\; \frac{x}{5} \]

Ein Bruch kann mit dem ggT von Zähler und Nenner vollständig gekürzt werden.

\[ \text{ggT}(abc,bcd) = (b \cdot c) \]

\[ \rightarrow \quad \frac{abc}{bcd} = \frac{a \cdot \cancel{(b \cdot c)}}{\cancel{(b \cdot c)} \cdot d} \;\; = \;\; \frac{a}{d} \]

ggT von algebraischen Ausdrücken

Wir können unser Wissen zum ggT jetzt auch auf algebraische Ausdrücke anwenden. Auch hier gehen wir gleich vor, d.h. wir versuchen zuerst den Term in seine ”Primteiler” zu zerlegen. Dann schauen wir, ob es gemeinsame Teiler gibt.

Beispiel

Finde den ggT der beiden Terme:

\[ (x^2+2xy+y^2)\;\; \text{und} \;\; (x^3-xy^2) \]


Beim ersten Term können wir nichts ausklammern, aber wir erkennen eine binomische Formel. Wir schreiben deshalb:

\[ (x^2+2xy+y^2) \;\; = \;\; (x+y) \cdot (x+y) \]

Beim zweiten Term erkennen wir, dass $x$ ausgeklammert werden kann:

\[ (x^3-xy^2) \;\; = \;\; x \cdot (x^2 – y^2) \]

Jetzt erkennen wir eine weitere binomische Formel und schreiben deshalb:

\[ (x^3-xy^2) \;\; = \;\; x \cdot (x-y) \cdot (x+y) \]

Somit ist der Teiler $(x+y)$ in beiden Termen vorhanden. Die anderen Teiler $x$ und $(x-y)$, aber auch der zweite $(x+y)$ sind nicht gemeinsam. Der ggT ist damit:

\[ \underline{\text{ggT}\Big((x^2+2xy+y^2), (x^3-xy^2)\Big) \;\; = \;\; (x+y)} \]

Aufgabensammlung

  • Erweitern und Kürzen (5004) – Aufg. 4