Brüche

Zähler und Nenner

Von den vier Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) ist die Division die Schwierigste. Nun gibt es aber ein sehr praktisches Werkzeug zum Knacken dieser Nuss: Es sind die Brüche.

Der Bruch erlaubt uns die Division auf später zu verschieben. Wir können  wichtige Vorbereitungen treffen und dann, wenn wir soweit sind, die Division durchführen, so dass sie auch gelingt.

Der Bruch ist eine Darstellung einer Division der Zahl \(a\) durch die Zahl \(b\) mit einem Bruchstrich:

\[ \frac{a}{b} = a \cdot \Big(\frac{1}{b}\Big) \]

Die Zahl \(a\) über dem Strich heisst Zähler, weil sie die Anzahl angibt. Die Zahl \(b\) unter dem Strich heisst Nenner, weil sie die Natur des Bruchs beschreibt.

In der Schreibweise mit der Multiplikation sehen wir, dass es \(a\) Stück sind, wovon? Von den Dingern \(\frac{1}{b}\), z.B.

\[ \frac{3}{4} = 3 \cdot \Big(\frac{1}{4}\Big) \]

Es sind drei (Anzahl) Viertel (Benennung des Dings).

Der Nenner benennt den Bruch; er sagt uns, von welchem “Ding” wir sprechen. Wenn zwei Brüche den gleichen Nenner haben, nennen wir sie auch gleichnamig.

Beachte auch, dass der Zähler null sein kann, der Nenner aber nicht.

Menge der rationalen Zahlen

Das Resultat eines Bruchs wird oft auch als Quotient bezeichnet.

Die Menge aller möglichen Brüche nennen wir in der Mathematik die Menge der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\). Sie wird mit dem Buchstaben \(\mathbb{Q}\) abgekürzt (Merke dir einfach den Buchstaben für Quotient).

\[ \mathbb{Q} = \Bigl \{ \frac{1}{2},  \frac{1}{3},  \frac{1}{4},  \frac{2}{3},  \frac{5}{3}, … , \frac{17}{29}, … , \frac{11’426}{15’789}, … \Bigr \} \]

Obwohl die Menge \(\mathbb{Q}\) alle erdenklichen Brüche beinhaltet, natürlich unendlich viele, sind damit erstaunlicherweise nicht sämtliche Zahlen abgedeckt.

Es noch die nicht-rationalen Zahlen, die nicht durch einen Bruch dargestellt werden können. Sie gehören zu der noch grösseren Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\).

Darstellung von Brüchen

Einfache Brüche können wir uns als Flächen darstellen, z.B. als Kuchenstücke oder als Rechteckfläche, wie in der nachfolgenden Abbildung.

Wenn wir uns das erste Bild ganz links anschauen, so erkennen wir, dass ein von drei gleichen Rechtecken markiert ist. Die markierte Fläche macht deshalb \(\frac{1}{3}\) von der Fläche des grossen Rechtecks aus.

Ist die Fläche aber mit Hilfe von kleineren Rechtecken unterteilt, wie im zweiten Bild von links, so zählen wir zwei markierte Rechtecke von insgesamt 6 Rechtecken. Wir schreiben deshalb: \(\frac{2}{6}\).

Dieser zweite Bruch sieht zwar anders aus, hat aber den gleichen Wert wie der Erste.

Es folgen die Darstellungen von \(\frac{4}{12}\) und \(\frac{8}{24}\), die alle den gleichen Wert verkörpern. Diese Brüche sind gleichwertig:

\[ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{12} = \frac{8}{24} \]

Wenn wir den ersten Bruch \(\frac{1}{3}\) mit 2 erweitern, erhalten wir den zweiten Bruch \(\frac{2}{6}\). Der umgekehrte Vorgang von \(\frac{2}{6}\) zu \(\frac{1}{3}\) heisst mit 2 kürzen.

Für das Erweitern und Kürzen sei auf den entsprechenden Artikel hingewiesen.

Dezimalbrüche

Dezimalbrüche sind eine Schreibweise von Brüchen ohne Bruchstrich. Wie der Name “Dezimal” schon andeutet: Es geht um Zehntel und weitere Zehnerpotenzen: Hundertstel, Tausendstel, Zehntausendstel etc. Sie werden einfach an der ihrer entsprechenden Stelle nach dem Komma oder Dezimalpunkt geschrieben:

Der Bruch \(\frac{1352}{10’000}\) kann wie folgt als Dezimalbruch geschrieben werden:

Die Ziffern nach dem Komma stehen für Anzahl Zehntel, Hundertstel, Tausendstel, Zehntausendstel etc., also die Zehnerpotenzen \(10^{-1}\), \(10^{-2}\), \(10^{-3}\), \(10^{-4}\) etc.

Prozente

Eine weitere Möglichkeit, Brüche zu schreiben, ist mit Prozenten. Die Anzahl Prozente entsprich der Anzahl Hundertstel und wir mit dem Prozentzeichen geschrieben:

\[ 0.13 = \frac{13}{100} = 13 \% \]

Kehrwert und Kehrbruch

Als Kehrwert einer Zahl \(b \neq 0\) bezeichnen wir den Bruch \(\frac{1}{b}\), z.B.

\[ 2 \quad \rightarrow \quad \frac{1}{2} \]

Die Zahl \(\frac{1}{2}\) bzw. 0.5 ist der Kehrwert der Zahl 2.

Beachte: Der “Kehrwert des Kehrwerts” ist gleich der Zahl selbst.

Für den Kehrbruch gehen wir ähnlich vor. Wir vertauschen einfach Zähler und Nenner:

\[ \frac{a}{b} \quad \rightarrow \quad \frac{b}{a} \]

Beachte: Der Kehrbruch eines Kehrbruchs ist gleich dem ursprünglichen Bruch.

Der Kehrwert ist eigentlich auch ein Kehrbruch, denn wir können \(b\) auch schreiben als \(\frac{b}{1}\). Wenn wir jetzt den Kehrbruch bilden, erhalten wir \(\frac{1}{b}\), was ja der Kehrwert von \(b\) ist.

Doppelbruch

Sind Zähler und Nenner selbst schon Brüche, so spricht man von einem Doppelbruch:

\[ \frac{\quad \frac{a}{b} \quad}{\frac{c}{d}} \]

Doppelbrüche werden zu einfachen Brüchen vereinfacht, indem der Zählerbruch mit dem Kehrbruch des Nennerbruchs multipliziert wird:

\[ \frac{\quad \frac{a}{b} \quad}{\frac{c}{d}} \;\;=\;\; \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \;\;=\;\; \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Gemischter Bruch

Es gibt Brüche, die einen Zähler haben, der grösser ist als der Nenner (z.B. \(\frac{3}{2}\)). Der Wert des Bruchs ist grösser als 1.

Das ist ein sog. unechter Brüche (ich weiss nicht, warum es diesen Begriff gibt…der Bruch ist genauso echt, wie jeder andere Bruch!)

Auf jeden Fall können wir diesen Bruch umschreiben als gemischten Bruch, indem die ganzen Einer separat aufgeführt werden, z.B.

\[ \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} \]

Beachte, dass im gemischten Bruch zwischen der 1 und dem Bruch eine unsichtbare Addition und nicht eine Multiplikation stattfindet!

\[ 1\frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} \]