Im vorigen Kapitel haben wir gesehen, wie wir die Faktoren herausfinden können, aus denen Polynome zusammengesetzt sind. Wir werden jetzt sehen, dass wir Polynome auch einfach dividieren können.

Wenn wir eine Zahl durch eine andere Zahl (Divisor) teilen und die Division geht ohne Rest auf, so haben wir mit dem Divisor einen Teiler der Zahl gefunden.

Beispiel

Was sind die Primfaktoren der Zahl 2’070?


Wir sehen, dass 2’070 eine gerade Zahl ist und wissen somit, dass 2 ein Primfaktor ist. Wir dividieren 2’070 durch 2 und erhalten die restliche Zahl:

\[ 2’070 : 2 = 1’035 \]

Das ist sicher eine 5-er-Zahl, aber ist es vielleicht eine 3-er-Zahl? Ja, denn $999+36 = 1035$:

\[ 1’035 : 3 = 333 + 12 = 345 \]

Das ist auch eine 3-er-Zahl:

\[ 345 : 3 = 100 + 15 = 115 \]

OK, jetzt ist es sicher keine 3-er-Zahl mehr und wir gehen weiter rauf in den Primzahlen und lösen jetzt endlich den Teiler 5 heraus:

\[ 115 : 5 = 20+3 = 23 \]

Die Zahl 23 ist selber eine Primzahl. Wir sind fertig:

\[ 2’070 = \underline{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23} \]

Das gleiche Vorgehen werden wir jetzt auch auf Polynome anwenden, allerdings müssen wir uns zuerst noch im klaren sein, wie wir ein Polynom dividieren können. Wir schauen uns dazu die schriftliche Division einer Zahl an:

Beispiel

Wie viel beträgt 7’797 durch 69 ohne Taschenrechner?


Wir starten mit der ersten Ziffer von 7797: Wir können 7 aber nicht durch 69 teilen. Also nehmen wir die nächste Ziffer dazu. Was gibt 77 durch 69? Das gibt 1. Wir schreiben die erste Ziffer rechts hin.

\[ 77 : 69 = 1 \; \text{Rest} … \]

Jetzt multiplizieren wir zurück. $1 \cdot 69 = 69$. Wir schreiben diese Zahl unter die 77 und subtrahieren sie:

\[ 77 – 69 = 8 \]

Dann ziehen wir die nächste Ziffer von oben herab und wir erhalten die nächste Zahl zum dividieren: 89

Was gibt 89 durch 69? Wieder 1 mit Rest. Wir schreiben sie wieder hin und ermitteln den Rest: 20. Jetzt ziehen wir die nächste Ziffer wieder herunter und erhalten die Zahl 207.

Was gibt 207 durch 69? Das geht genau auf und gibt uns 3. Wir schreiben diese Ziffer hin und erhalten so das Resultat der Division:

\[ 7797 : 69 = \underline{113} \]

Beispiel

Führe die folgende Division schriftlich aus:

\[ (2k^3-10k^2+12k) \; : \; (k-2) \]


Was gibt $2k^3$ durch $(k-2)$? Nun, wir schauen uns nur das $k$ im Divisor an, d.h. wir stellen uns die Frage: Was gibt $2k^3$ durch $k$? Das gibt $2k^2$. Wir schreiben dieses erste Teilresultat rechts hin.

Jetzt multiplizieren wir zurück, dieses mal aber mit dem ganzen Divisor $(k-2)$:

\[ 2k^2 \cdot (k-2) = 2k^3 – 4k^2 \]

Um den Rest zu bestimmen, müssen wir subtrahieren. Das tun wir, indem wir alle Vorzeichen ändern und addieren:

\[ 2k^3 -10k^2 \quad -2k^3 +4k^2 = -6k^2 \]

Der Rest beträgt $-6k^2$. Jetzt ziehen wir die $12k$ herunter und erhalten so das nächste Polynom, das wir durch $(k-2)$ teilen müssen: $-6k^2 + 12k$. Wir schauen uns nur $-6k^2$ durch $k$ an und erhalten $-6k$. Dieses zweite Teilresultat schreiben wieder rechts hin und multiplizieren zurück:

\[ (-6k) \cdot (k-2) = -6k^2 + 12k \]

Jetzt ändern wir wieder die Vorzeichen und addieren, um den Rest zu erhalten. Es geht genau auf und der Rest ist null, d.h. $(k-2)$ ist tatsächlich ein Teiler des ursprünglichen Polynoms, was wir natürlich aus dem vorigen Kapitel schon wussten.

Wir fassen das Vorgehen bei der Polynomdivision hier zusammen:

“Kochrezept” für die Division eines Polynoms:

  • Den höchsten Term des zu teilenden Polynoms durch den höchsten Term des Divisors teilen
  • Das Teilresultat (ohne Rest) rechts hinschreiben
  • Das Teilresultat mit dem ganzen Divisor multiplizieren und unter das Polynom schreiben
  • Alle Vorzeichen ändern und addieren: Ergibt den Rest
  • Mit dem erhaltenen Rest-Polynom unter Punkt 1 wieder starten

Die Division ist erfolgreich abgeschlossen, falls im Punkt 4 der Rest null ist.

Beispiel

Berechne den folgenden Bruch mit der Polynomdivision:

\[ \frac{8a^3+1}{2a+1} \]


Wir teilen den ersten Term des Polynoms durch den ersten Term des Divisors:

\[ 8a^3 : 2a = \boldsymbol{4a^2} \]

Das ist unser erste Teilresultat. Jetzt multiplizieren wir zurück:

\[ 4a^2 \cdot (2a + 1) = 8a^3 + 4a^2 \]

Jetzt subtrahieren wir, um den Rest zu erhalten:

\[ 8a^3 \quad -8a^3 – 4a^2 = -4a^2 \]

Wir dividieren wieder und erhalten unser zweites Teilresultat, dann multiplizieren wir das Teilresultat zurück:

\[ -4a^2 : 2a = \boldsymbol{-2a} \qquad (-2a) \cdot (2a + 1) = -4a^2 – 2a \]

Jetzt subtrahieren wir, um den Rest zu erhalten, wobei wir noch die $+1$ von oben herunterziehen:

\[ -4a^2 + 1 \quad +4a^2 + 2a = 2a + 1 \]

Dieser Rest geteilt durch $(2a+1)$ ergibt natürlich genau das letzte Teilresultat +1, ohne Rest, d.h. wir schreiben jetzt noch +1 zu den Teilresultaten hin und kriegen so die fertige Polynomdivision:

\[ \frac{8a^3+1}{2a+1} = \underline{4a^2 – 2a + 1} \]

Aufgabensammlung

  • Divisionsalgorithmus für Polynome (5002) – Aufg. 4

  • Divisionsalgorithmus für Polynome (5002) – Aufg. 5