Bruchgleichungen

Als Bruchgleichung wird eine Gleichung verstanden, die Bruchterme beinhaltet. Bruchterme sind Brüche mit einer Unbekannten im Nenner. Die Bruchterme können auf einer oder auf beiden Seiten der Gleichung stehen. Nachfolgend zwei Beispiele von Bruchgleichungen mit der Unbekannten \(x\):

\[ \frac{1}{x} = 3 \]

\[ \frac{x+2}{x-1} = \frac{3}{x+2} \]

Definitionsmenge

Bei einer Gleichung suchen wir für die Unbekannte die Werte, mit welchen die Gleichung erfüllt wird. Grundsätzlich kommen alle Werte in Frage, ausser denjenigen, die verboten sind.

Sollten wir einen Lösungswert der Gleichung erhalten, der aber nicht zur Definitionsmenge der zulässigen Werte gehört, so wird dieser Wert auch aus der Lösungsmenge rausgenommen. Ein solcher Wert darf in der Gleichung eben nicht angewendet werden.

Beispiel

Finde die Definitionsmenge für die folgende Bruchgleichung:

\[ \frac{3(a+1)}{(a+1)(a-2)} = \frac{a – 2}{a} \]

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Für die Definitionsmenge fokussieren wir uns auf den Nenner und suchen die Werte von \(a\), die den Nenner zu null machen:

\[ (a+1) = 0 \rightarrow a = -1 \]

\[ (a-2) = 0 \rightarrow a = 2 \]

\[ a = 0 \]

Damit haben wir die verbotenen Werte. Alle anderen Werte in \(\mathbb{R}\) sind erlaubt. Wir schreiben deshalb: \(\mathbb{R}\) ohne diese verbotenen Werte:

\[ \boldsymbol{D} = \underline{\mathbb{R} \big \setminus \big \{ (-1), 0, 2 \big \}} \]

Lösungsmenge / Wertebereich

Beispiel

Was ist die Definitions- und Lösungsmenge der folgenden Bruchgleichung?

\[ \frac{1}{x-2} = \frac{5}{x^2+x-6} \]

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Wir fangen mit der Definitionsmenge an und suchen die Werte der Unbekannten \(x\), die die Nenner zum Verschwinden bringen würden. Links sehen wir sofort, dass \(x=2\) verboten ist:

\[ x-2 = 0 \rightarrow x = 2 \]

Rechts ist die Sache etwas versteckter. Wir müssen den Ausdruck zuerst in seine Teiler zerlegen. Mit dem Klammeransatz erkennen wir, dass der mittlere Term die Summe \(3+(-2)=1\) ist und der letzte Term dem Produkt \(3 \cdot (-2) = -6\) entspricht. Damit gilt:

\[ x^2 + x – 6 = (x+3) \cdot (x-2) = 0 \rightarrow x_1=(-3), x_2=2 \]

Die Definitionsmenge ist demnach:

\[ \boldsymbol{D} = \mathbb{R} \setminus \Bigl \{ (-3), 2 \Bigr \} \]

Wir schreiben die Bruchgleichung nochmals hin, dieses Mal mit den sichtbaren Teilern im Nenner:

\[ \frac{1}{x-2} = \frac{5}{(x+3) \cdot (x-2)} \]

Für die Werte der Lösungsmenge multiplizieren wir die Gleichung auf beiden Seiten mit \((x-2)\) und erhalten:

\[ 1 = \frac{5}{x+3} \]

Wir multiplizieren beidseitig mit \((x+3)\) und erhalten:

\[ x+3 = 5 \]

Dann subtrahieren wir 3 und erhalten die eine Lösung:

\[ x=2 \]

Da dieser Wert aber nicht zulässig ist, ist die Lösungsmenge leer. Wir schreiben deshalb die leere Menge:

\[ \underline{\boldsymbol{L} = \bigl \{ \; \bigr \}} \]

Die Bruchgleichung hat keine Lösung!