Prozentrechnen

Prozente als Bruch verstehen

Warum Prozentzahlen?

Welcher von den beiden Brüchen ist grösser?

\[ \frac{3}{4} <\; ? > \frac{4}{5} \]

Wir können die Brüche gleichnamig machen und dann vergleichen oder wir sehen, dass die Differenz zu 1 ein Viertel bzw. ein Fünftel ist…

Andere Möglichkeit: Wir wandeln die beiden Brüche in Prozentzahlen um und vergleichen sie nochmals:

\[ 75 \% <\; ? > 80\% \]

Die Antwort ist jetzt auf einen Blick klar, denn wir vergleichen Gleiches mit Gleichem und 75 davon sind weniger als 80. Das ist der Grund, warum es Prozentzahlen gibt.

Von Prozentzahlen zu Brüchen

Die einfachste Art mit Prozenten umzugehen, ist, sie einfach als Brüche anzusehen. Sie heissen auch schon so: “Prozent” kommt vom lateinischen “pro cent” und heisst nichts anderes als “pro Hundert”, d.h. es sind Brüche mit einem Nenner 100 bzw. Hundertstel. Die Zahl vor dem Prozentzeichen kommt in den Zähler und sagt uns, wie viele Hundertstel wir haben. Beispielsweise sind 25% nichts anderes als \(\frac{25}{100}\) oder 100% sind \(\frac{100}{100}\).

Eine Prozentzahl gibt die Anzahl Hundertstel, d.h. sie entspricht einem Bruch mit 100 als Nenner.

Beispiel

Finde die gekürzten Brüche und Dezimalbrüche für die beiden Prozentzahlen:

\[ \text{a)  5\%} \hspace{1.5cm} \text{b)  12.5\%} \hspace{1.5cm} \]

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Für die erste Teilaufgabe schreiben wir den Bruch mit Hundertstel und kürzen ihn mit dem gemeinsamen Teiler 5:

\[ \require{cancel} 5 \% = \frac{5}{100} = \frac{1 \cdot \cancel{5}}{20 \cdot \cancel{5}} = \underline{\frac{1}{20}} \]

Für die zweite Teilaufgabe gehen wir gleich vor:

\[ 12.5\% = \frac{12.5}{100} = \frac{12.5 \cdot 10}{100 \cdot 10} \]

\[ \require{cancel} = \frac{125}{1000} = \frac{5 \cdot \cancel{25}}{40 \cdot \cancel{25}} = \frac{1 \cdot \cancel{5}}{8 \cdot \cancel{5}} = \underline{\frac{1}{8}} \]

Wichtigste Prozenzzahlen

Es gibt ein paar Prozentzahlen, die wir so oft brauchen, dass wir sie auswendig kennen sollten:

Prozentzahl	Bruch	gekürzter Bruch	Dezimalbruch
\(0\%\)	\(\frac{0}{100}\)	\(\frac{0}{1}\)	\(0.00\)
\(20\%\)	\(\frac{20}{100}\)	\(\frac{1}{5}\)	\(0.20\)
\(25\%\)	\(\frac{25}{100}\)	\(\frac{1}{4}\)	\(0.25\)
\(40\%\)	\(\frac{40}{100}\)	\(\frac{2}{5}\)	\(0.40\)
\(50\%\)	\(\frac{50}{100}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0.50\)
\(60\%\)	\(\frac{60}{100}\)	\(\frac{3}{5}\)	\(0.60\)
\(75\%\)	\(\frac{75}{100}\)	\(\frac{3}{4}\)	\(0.75\)
\(80\%\)	\(\frac{80}{100}\)	\(\frac{4}{5}\)	\(0.80\)
\(100\%\)	\(\frac{100}{100}\)	\(\frac{1}{1}\)	\(1.00\)

Von Brüchen zu Prozentzahlen

Beispiel

Finde die Prozentzahl, die zum Bruch \(\frac{17}{20}\) gehört.

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Wir erkennen, dass der jetzige Nenner mit 5 multipliziert werden muss, damit wir Hundertstel kriegen. Wir erweitern deshalb den ganzen Bruch mi 5:

\[ \frac{17}{20} = \frac{5 \cdot 17}{5 \cdot 20} = \frac{85}{100} = \underline{85\%} \]

Schwierige Brüche

Gewisse Brüche können nicht einfach gekürzt oder erweitert werden, so dass 100 im Nenner steht. In solchen Fällen brauchen wir den Taschenrechner, der uns den Bruch als \textbf{Dezimalbruch} ausgibt.

Beispiel

Wandle den schwierigen Bruch \(\;\frac{16}{17}\;\) in eine Prozentzahl um.

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\[ \frac{16}{17} = 0.94118 = \underline{94.1\%} \]

Formel für das Prozentrechnen

Beispiel

Ein Kuchen kostet 18 Franken. Wie viel kosten \(\frac{1}{2}\) bzw. \(\frac{3}{4}\) des Kuchens?

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Wir multiplizieren einfach den Bruch mit dem Ganzen:

\[ \frac{1}{2} \cdot 18 = \frac{1 \cdot 18}{2} = \underline{9} \]

Für die drei Viertel gehen wir gleich vor:

\[ \frac{3}{4} \cdot 18 = \frac{3 \cdot 18}{4} = \frac{54}{4} = \underline{13.50} \]

”Eine Formel für alles”

In den meisten Lehrbüchern finden wir zahlreiche Formeln und Begriffe, die mehr Verwirrung stiften, als dass sie nützlich wären. Wir werden hier die Sache etwas unkonventionell bezeichnen, weil es so einfacher wird:

Hierzu nehmen wir ein möglichst einfaches Beispiel:

\[ \frac{1}{2} \cdot 18 \; = \; 9 \]

\[ 50\% \cdot 18 \; = \; \frac{50}{100} \cdot 18 \; = \; 9 \]

Falls du das mit den korrekten Bezeichnungen deines Lehrbuches vergleichen möchtest:

• ”Das Ganze” wird meist als Grundwert \(G\) bzw. \(GW\) bezeichnet
• ”Der Bruch” nennt man üblicherweise Prozentsatz \(p\%\) und \(p\) ist die sog. Prozentzahl
• ”Der Bruchteil” wird meistens Prozentwert \(W\) oder \(PW\) genannt

Beachte, dass ich in diesem Kurs für \(p\%\) Prozentzahl statt Prozentsatz sage. Das ist streng genommen nicht ganz korrekt, aber macht die Sache einfacher.

Beispiel

Wie viel sind 5% von 80?

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Wir multiplizieren einfach 5% mit 80:

\[ 5 \% \cdot 80 = \frac{5}{100} \cdot 80 = \frac{400}{100} = \underline{4} \]

Algebra für die Prozentrechnung

Drei Arten von Prozentaufgaben

Wir schreiben die ”Formel für alles” und darunter ein einfaches Beispiel, das wir uns gemerkt haben, hin:

 \[ \text{Prozentzahl } \cdot \text{ Das Ganze} \;\; = \;\; \text{Bruchteil vom Ganzen} \]

\[ 50 \; \% \; \cdot \; 18 \;\; = \;\; 9 \qquad \quad \]

Wir haben drei Grössen in der Gleichung und deshalb gibt es grundsätzlich drei Arten, wie Prozentaufgaben gestellt werden können, je nachdem welche Grösse die Umbekannte ist:

• Die ”Prozentzahl” wird gesucht, d.h. die Aufgabenstellung ist in der Art: ”Wie viele Prozente sind…?”
• Das ”Ganze” wird gesucht, z.B. ”Wie gross ist das Ganze?” oder ”Von wie viel sind…?”
• Der ”Bruchteil” wird gesucht, z.B. ”Wie gross ist der Anteil…?” oder ”Wie viel sind….von?”

Die dritte Variante haben wir schon kennengelernt. Hier wird die Formel eingesetzt, wie sie oben steht.

Für die beiden anderen Arten von Fragestellungen werden wir die Formel mit Algebra leicht umformen.

Für uns ist an dieser Stelle wichtig, dass alle drei Arten von Aufgaben sich einzig auf die eine ”Formel für alles” beziehen.

Prozentzahl gesucht

Beispiel

Wie viele % sind CHF 13.50 von CHF 18 ?

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Wir kennen die Prozentzahl nicht (es ist die Unbekannte). Wir schreiben deshalb einfach \(p\) in unserer ”Formel für alles”:

\[ p \cdot 18 = 13.50 \]

Damit \(p\) auf der linken Seite alleine steht, dividieren wir die ganze Gleichung durch 18:

\[ p = \frac{13.50}{18} = 0.75 = \underline{75\%} \]

Wir können die Prozentzahl direkt aus dem Dezimalbruch herauslesen: 7 Zehntel und 5 Hundertstel oder eben 75 Hundertstel.

Das Ganze gesucht

Beispiel

CHF 13.50 kosten 75%. Wie viel kostet das Ganze?

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Wir schreiben wieder die übliche Formel auf. Dieses Mal schreiben wir \(G\) für das unbekannte ”Ganze”:

\[ 75\% \cdot G = 13.50 \]

Jetzt dividieren wir durch 75%

\[ G = \frac{13.50}{75\%} = \frac{13.50}{0.75} \]

Wir können das in den Taschenrechner eingeben und erhalten dann:

\[ G = \underline{18} \]

Prozentuale Zu- und Abnahmen

Beispiel

Auf einer 500-Gramm-Packung Corn Flakes steht ”+25% gratis”.

Wie viele Gramm enthält die Packung?

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Die Packung enthält die üblichen 500g und damit hat sie 100% Inhalt. Darüber hinaus wurden ihr aber noch 25% zugesetzt. Dieser Zusatz ist 25% von 500g. Wir wissen jetzt wie das berechnet wird:

\[ 25\% \cdot 500 \text{g} = \frac{1}{4} \cdot 500 \text{g} = 125 \text{g} \]

Somit enthält die Packung:

\[ 500 \text{g} + 125 \text{g} = \underline{625 \text{g}} \]

Das ist die eine Art der Berechnung. Es gibt aber einen etwas direkteren Weg: Wenn die normale Packung 500g (100%) enthält, dann hat die vergrösserte Packung 625g (125%). Ja, die Prozentzahl ist in so einem Fall grösser als 100% – aber das ist durchaus erlaubt.

Es ist ja logisch, denn die 625g sind grösser als die 500g, für die 100% steht, also muss die Prozentzahl für den Anteil 625g auch grösser als 100% sein.

Wie viel sind 125% von 500g?

\[ 125\% \cdot 500 \text{g} = \frac{125}{100} \cdot 500 \text{g} \]

\[ = 1.25 \cdot 500 \text{g} = \underline{625 \text{g}} \]

Prozentuale Abnahme

Beispiel

Eine Packung Corn Flakes von einem anderen Anbieter steht gleich nebenan. Sie enthält die normalen 500g. Ihr Normalpreis von CHF 4.00 ist aber um 20% reduziert. Wie viel kostet sie?

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Es ist eine prozentuale Reduktion von 20%, d.h. statt 100% zahlen wir nur noch 100%-20% = 80% des Normalpreises. Diesen können wir ausrechnen mit der Frage ‘Wie viel sind 80% von CHF 4.00?’

\[ 80\% \cdot \text{CHF } 4.00 = \frac{4 \cdot 4}{5} = \underline{\text{CHF } 3.20} \]

Wir können aber auch ausrechnen, wie viel die Reduktion von 25% darstellt:

\[ 20\% \cdot \text{CHF } 4.00 = \frac{20}{100} \cdot 4 = \frac{1}{5} \cdot 4 = \text{CHF } 0.80 \]

Der Preist ist um CHF 0.80 reduziert, d.h. wir rechnen jetzt einfach

\[ \text{CHF } 4.00 – \text{CHF } 0.80 = \underline{\text{CHF } 3.20} \]

Paradoxon der Prozentrechnung

Beispiel

Wir starten mit 200 und addieren 10% dazu. Dann nehmen wir wieder 10% vom Resultat weg.

Wie viel haben wir jetzt?

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Der Betrag 200 nimmt um 10% zu

\[ (1 + 0.05) \cdot 200 = 1.10 \cdot 200 = 220 \]

Dieser Betrag nimmt jetzt um 10% ab:

\[ (1 – 0.10) \cdot 220 = 0.90 \cdot 220 = 198 \]

Was ist passiert? Wir sollten doch gleich viel erhalten, wie am Anfang. Einmal 10% dazu und dann wieder 10% weg!

Nein, der Grund für das abweichende Ergebnis liegt darin, dass wir in der zweiten Rechnung ein neues ”Ganzes” hatten. Statt dem Betrag von 200 hatten wir einen Betrag von 220. Ein Abzug von 10% sind bei 200 gewiss 20. Bei 220 sind es aber 22, was erklärt, warum wir jetzt 2 weniger haben als am Anfang. Hätten wir uns immer auf die gleichen 100% (200) bezogen, dann wären wir wieder beim Anfangsbetrag gelandet.

Beachte, dass eine Zunahme um 100% einer Verdoppelung entspricht. Es kommt ja nochmals gleich viel dazu. Wenn also beispielsweise der Betrag 200 um 100% zunimmt, dann erhalten wir

\[ (1+1) \cdot 200 = 2 \cdot 200 = 400 \]

Eine Halbierung ist jetzt nicht eine Abnahme um 100%, denn das wäre ein ‘komplettes Verschwinden’, sondern eine Abnahme um 50%. Es geht ja die Hälfte vom Bestehenden weg:

\[ (1-0.50) \cdot 200 = 0.5 \cdot 200 = 100 \]

Noch klarer wird es mit folgendem Beispiel: Roger gibt die Hälfte (50%) seiner Pizza an Thomas ab. Damit hat er nur noch 50%. Thomas hat aber gar nicht so viel Hunger und gibt ihm deshalb die Hälfte seiner Pizza wieder zurück. Gemeint: Thomas schneidet sein Stück in zwei und gibt die Hälfte an Roger zurück. Dieser hat jetzt nicht eine ganze Pizza, obwohl er eine Hälfte angegeben und dann wieder eine Hälfte zurückbekommen hat. Ist ja klar. Die Hälfte, die Thomas zurückgibt ist von der ursprünglichen Pizza nur noch ein Viertel. Wenn wir in der Geschichte sagen ‘Thomas gibt eine Hälfte zurück’ stellt sich die Frage eine Hälfte wovon?’. Wenn wir unterwegs die Referenzgrösse ändern, dann kriegt Roger nicht mehr das Gleiche zurück.