Das Wichtigste in Kürze

Addition und Subtraktion von Brüchen

Damit die Zähler von Brüchen addiert oder subtrahiert werden können, müssen die Brüche zuerst gleichnamig gemacht werden:

  • Die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegen

  • Das kgV (kleinste gemeinsame Vielfache) der Nenner ermitteln und dieses als gemeinsamen Nenner wählen

  • Die Brüche erweitern oder kürzen, so dass sie das ermittelte kgV als neuen Nenner haben

Sobald die Brüche gleichnamig sind, kann die Addition/Subtraktion im Zähler ausgeführt werden.

Multiplikation von Brüchen

Einerseits werden die Zähler miteinander multipliziert und andererseits die Nenner miteinander multipliziert.

Das Produkt der Zähler ergibt uns den neuen Zähler. Das Produkt der Nenner liefert den neuen Nenner:

\[ \frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{a_2}{b_2} \;\; = \;\; \frac{a_1 \cdot a_2}{b_1 \cdot b_2} \]

Division von Brüchen / Doppelbrüche

Statt durch einen Bruch zu dividieren, multiplizieren wir mit dem Kehrbruch:

\[ \frac{\;\;\;…\;\;\;}{…} \;:\; \frac{a}{b} \quad = \quad \frac{\;\;\;…\;\;\;}{…} \;\cdot\; \frac{b}{a} \]

Addition und Subtraktion von Brüchen

Im idealen Fall, der leider praktisch nie vorkommt (!) sind die Brüche gleichnamig. Die Addition und Subtraktion ist dann besonders einfach:

Wir fokussieren uns auf den Zähler und betrachten den Nenner, als wäre es ein Wort wie “Apfel” oder “Birne”, z.B.

\[ \frac{2}{7} + \frac{5}{7} – \frac{1}{7} \]

Es geht hier ausschliesslich um “Siebtel”. Die Aufgabe lautet demnach: “Wie viel 2 + 5 – 1 Siebtel?”

Natürlich sind das einfach 6 Siebtel, oder eben:

\[ \frac{2}{7} + \frac{5}{7} – \frac{1}{7} \;\;=\;\; \underline{\;\frac{6}{7}\;} \]

Beispiel

Berechne:

\[ \frac{3}{4} – \frac{7}{4} – \frac{1}{4} \]

\[ \frac{3}{4} – \frac{7}{4} – \frac{1}{4} = 3 \cdot \Big( \frac{1}{4} \Big) – 7 \cdot \Big( \frac{1}{4} \Big) – 1 \cdot \Big( \frac{1}{4} \Big) \]

\[ = (3-7-1) \cdot \Big( \frac{1}{4} \Big) = (-5) \cdot \frac{1}{4} \]

\[ = \underline{\,-\frac{5}{4}\,} \]

Wenn die beiden Brüche aber nicht gleichnamig sind, dürfen wir nicht einfach losrechnen, da wir dann eben “Äpfel” mit “Birnen” durcheinander bringen würden.

Wir müssen alle zuerst mittels Erweitern oder Kürzen gleichnamig machen. Dazu benutzen wir wieder die Methode der Primfaktoren, um das kgV der verschiedenen Nenner zu ermitteln.

Damit die Zähler von Brüchen addiert oder subtrahiert werden können, müssen die Brüche zuerst gleichnamig gemacht werden:

  • Die Nenner in ihre Primfaktoren zerlegen
  • Das kgV (kleinste gemeinsame Vielfache) ermitteln und als gemeinsamen Nenner wählen
  • Die Brüche erweitern oder kürzen, so dass sie den neuen Nenner haben

Sobald die Brüche gleichnamig sind, kann die Addition/Subtraktion ausgeführt werden.

Beispiel

Berechne und kürze das Resultat soweit möglich:

\[ \mathlarger{\frac{2}{14} + \frac{5}{6} – \frac{1}{21}} \]

Die Nenner können in ihre Primfaktoren aufgeteilt werden:

\[ 14 = \underline{\,2\,} \cdot \underline{\,7\,} \]

\[ 6 = 2 \cdot \underline{\,3\,} \]

\[ 21 = 3 \cdot 7 \]

Das kgV der drei Nenner beträgt somit:

\[ \text{kgV} = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 \]

Jetzt erweitern wir die drei Brüche so, dass wir den Nenner 42 haben und sie gleichnamig werden:

\[ \frac{2 \cdot 3}{14 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 7} – \frac{1 \cdot 2}{21 \cdot 2} \]

\[ = \frac{6}{42} + \frac{35}{42} – \frac{2}{42} \]

\[ = \frac{6+35-2}{42} = \frac{39}{42} \]

Wir erkennen, dass Zähler und Nenner beides Dreierzahlen sind, d.h. wir können kürzen:

\[ = \frac{\not{3} \cdot 13}{\not{3} \cdot 14} \; = \; \underline{\frac{\;13\;}{14}} \]

Beispiel

Wandle die folgende Summe in einen Bruch um:

\[ \frac{1}{a^2b} + \frac{2}{ab^2} \]

Wir ermitteln zuerst den kgV der beiden Nenner. Wir tun das in der gleichen Art und Weise, wie wir das für Zahlen tun würden:

\[ a^2b = \underline{\,a\,} \cdot \underline{\,a\,} \cdot \underline{\,b\,} \]

\[ ab^2 = a \cdot b \cdot \underline{\,b\,} \]

Damit ist das kgV der beiden Nenner:

\[ \text{kgV} = a \cdot a \cdot b \cdot b = a^2b^2 \]

Die Summe wird so zu:

\[ \frac{b}{a^2b^2} + \frac{2a}{a^2b^2} \;=\; \underline{\frac{b+2a}{a^2b^2}} \]

Multiplikation

Multiplikation von Brüchen: Einerseits werden die Zähler miteinander multipliziert und andererseits die Nenner miteinander multipliziert. Das Produkt der Zähler ergibt uns den neuen Zähler. Das Produkt der Nenner liefert den neuen Nenner:

\[ \frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{a_2}{b_2} \;\; = \;\; \frac{a_1 \cdot a_2}{b_1 cdot b_2} \]

Beispiel

Berechne und kürze soweit möglich:

\[ \frac{3a}{4} \cdot \frac{2}{5a} \]

Mit der Regel über die Multiplikation von Brüchen, vereinigen wir die beiden Brüche und multiplizieren die Zähler und die Nenner.

\[ = \frac{3a \cdot 2}{4 \cdot 5a} = \frac{6\not{a}}{20\not{a}} = \underline{\,\frac{3}{10}\,} \]

Division und Doppelbrüche

Wenn wir einen Bruch durch einen anderen Bruch dividieren, schreiben wir als Erstes einmal einen Doppelbruch. Dann multiplizieren wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners:

\[ \frac{a_1}{b_1} : \frac{a_2}{b_2} = \frac{\quad \frac{a_1}{b_1} \quad}{\frac{a_2}{b_2}} \]

\[ = \frac{a_1}{b_1} \cdot \frac{b_2}{a_2} = \frac{a_1 \cdot b_2}{b_1 \cdot a_2} \]

Division durch einen Bruch = Multiplikation mit dem Kehrbruch

\[ \frac{\;\;\;…\;\;\;}{…} \;:\; \frac{a}{b} \quad = \quad \frac{\;\;\;…\;\;\;}{…} \;\cdot\; \frac{b}{a} \]

Beispiel

Berechne den folgenden Doppelbruch:

\[ \mathlarger{\mathlarger{\frac{\quad \frac{3}{4} \quad}{\frac{2}{5}}}} \]

Wir schreiben die Division als Multiplikation mit dem Kehrbruch:

\[ \frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} \]

\[ = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} \; = \; \underline{\frac{15}{8}} \]

Eine andere Art mit Doppelbrüchen umzugehen ist die Folgende: Im obigen Beispiel dividieren Sie die 3 durch 4 und irgendwie ja auch durch 2. Die 5 hingegen ist im Nenner des Nenners und dazu merken wir uns einfach, dass der Nenner im Nenner in den Zähler geht. Somit haben wir:

\[ \frac{3}{4 \cdot 2} \cdot 5 \; = \; \underline{\frac{15}{8}} \]

Aufgabensammlung

  • Rechnen mit Brüchen (5005) – Aufg. 1

    5 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Brüche addieren und subtrahieren

    zur Aufgabe

  • Rechnen mit Brüchen (5005) – Aufg. 2

    4 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Brüche addieren und subtrahieren

    zur Aufgabe

  • Rechnen mit Brüchen (5005) – Aufg. 3

    5 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Brüche multiplizieren

    zur Aufgabe

  • Rechnen mit Brüchen (5005) – Aufg. 4

    1 Aufgabe (pdf/Video-Lösung):
    Rechenmauer mit Bruchtermen vervollständigen

    zur Aufgabe

  • Rechnen mit Brüchen (5005) – Aufg. 5

    6 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Doppelbrüche vereinfachen

    zur Aufgabe

Autor dieses Artikels:

David John Brunner

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