Um das kgV von zwei Zahlen zu verstehen, müssen wir zuerst den grössten gemeinsamen Teiler (ggT) verstanden haben. Wir nehmen nochmals das Beispiel, das wir beim ggT hatten: Die beiden Zahlen 30 und 12 sind verwandt, weil sie die beiden Teiler 2 und 3 gemeinsam haben.

\[ 30 \;\; = \;\; \underline{\;2\;} \cdot \underline{\;3\;} \cdot 5 \]

\[ 12 \;\; = \;\; \underline{\;2\;} \cdot \underline{\;3\;} \cdot 2 \]

\[ \rightarrow \quad \text{ggT}(30,12)=(2\cdot3) \]

Was ist das gemeinsame Vielfache von diesen beiden Zahlen? Ganz einfach: Die Multiplikation der beiden. Wir nennen es hier einfach mal das plumpe Produkt der beiden Zahlen:

\[ 30 \cdot 12 = 360 \]

Sehr wohl kann ich sagen, dass 360 das 12-fache von 30 ist und dass 360 das 30-fache von 12 ist. Somit ist das plumpe Produkt ein gemeinsames Vielfaches der beiden Zahlen 30 und 12.

Es ist aber nicht das Kleinste! Das kgV ist deshalb kleiner als das plumpe Produkt, weil wir unnötige Multiplikationen vermeiden. Wenn wir das Produkt mit allen Primteilern aufschreiben, erhalten wir:

\[ 30 \cdot 12 \;\; = \;\; (\underline{\;2\;} \cdot \underline{\;3\;} \cdot 5\;) \cdot (\underline{\;2\;} \cdot \underline{\;3\;} \cdot 2\;) \]

Der ggT von 6 wurde zwei mal verwendet und das ist unnötig. Deshalb schreiben wir ihn nur einmal auf und erhalten eine kleinere Zahl:

\[ (\underline{2} \cdot \underline{3}) \cdot 5 \cdot 2 = 60 \]

Ist das ein gemeinsames Vielfaches? Ja, denn die Zahl 60 enthält die Primteiler vder beiden Zahlen. Sie ist quasi ein ”Gen-Mix” beider Zahlen. Alle Primteiler sind da und deshalb kann ich die beiden ursprünglichen Zahlen damit konstruieren. Es hat aber nicht zu viel unnötiges. Der ggT kommt nur einmal vor, weil ich ihn für die Konstruktion von 12 oder 30 nur einmal brauche. Der Primteiler 5 kommt vor, damit ich eine 30 machen kann und der zweite Primteiler 2 kommt vor, damit ich eine 12 machen kann. Mehr brauche ich nicht.

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) von zwei Zahlen ist der vollständige Satz von Primteilern, den es braucht für die ”Konstruktion” beider Zahlen, wobei die gemeinsamen Teiler nur einmal auftreten.

\[ abc \;\; = \;\; a \cdot \underline{\;b\;} \cdot \underline{\;c\;} \]

\[ bcd \;\; = \;\; \underline{\;b\;} \cdot \underline{\;c\;} \cdot d \]

\[ \rightarrow \quad \text{kgV}(abc,bcd) = (b \cdot c) \cdot a \cdot d = (abcd) \]

Beispiel

Bestimme das kgV der Zahlen 80 und 120.


Wir zerlegen die beiden Zahlen in ihre Primteiler:

\[ 80 \;\; \underline{\;2\;} \cdot \underline{\;2\;} \cdot \underline{\;2\;} \cdot 2 \cdot \underline{\;5\;} \]

\[ 120 \;\; \underline{\;2\;} \cdot \underline{\;2\;} \cdot \underline{\;2\;} \cdot 3 \cdot \underline{\;5\;} \]

Wir sehen, dass wir viele gemeinsamen Teiler haben:

\[ \text{ggT}(80,120) = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5) = 40 \]

Das ist richtig! Beide Zahlen sind durch 40 teilbar. Deshalb werden wir für das kgV den Teiler 40 nehmen und noch das, was für die einzelnen Zahlen auch noch benötigt wird: Für die Zahl 80 brauchen wir noch einen vierten Primteiler 2. Für die Zahl 120 braucht es noch den Primteiler 3, damit sie gebaut werden kann. Wir erhalten:

\[ \underline{\text{kgV}(80,120) = 40 \cdot 2 \cdot 3 = 240} \]

Ist es ein gemeinsames Vielfaches der beiden Zahlen? Ja, denn ich kann die Zahl 80 mit 3 multiplizieren und erhalte 240. Ausserdem ist 240 das 2-fache von 120.

Beachte, dass das plumpe Produkt zwar ein gemeinsames Vielfaches der beiden Zahlen ist, es aber viel grösser ist als das kgV:

\[ 80 \cdot 120 = 9’600 \]

Brüche gleichnamig machen

Wenn wir Brüche addieren oder subtrahieren möchten, müssen wir sie zuerst gleichnamig machen. Der gemeinsame Nenner ist das kgV der beiden ursprünglichen Nenner. Natürlich können wir die beiden Brüche auch mit dem plumpen Produkt als Nenner gleichnamig machen, aber das Problem ist, dass wir dann beide Brüche unnötig stark erweitern. Sie sind dann künstlich aufgebläht und wir riskieren Rechenfehler zu machen, weil wir mit zu grossen Zahlen rechnen müssen.

Beispiel

Berechne die folgende Differenz, indem du die beiden Brüche mit dem kgV gleichnamig machst.

\[ \frac{13}{80} – \frac{7}{120} \]


Wir verwenden wieder das kgV von oben:

\[ \text{kgV}(80,120) = 240 \]

Das Ziel ist also die Brüche so zu erweitern, dass sie den gemeinsamen Nenner 240 haben. Für den ersten Bruch müssen wir mit 3 erweitern. Der zweite Bruch wird mit 2 erweitert:

\[ \frac{13\cdot 3}{80 \cdot 3} – \frac{7 \cdot 2}{120 \cdot 2} \]

\[ = \frac{39}{240} – \frac{14}{240} = \frac{39-14}{240} = \frac{25}{240} \]

Jetzt können wir das Resultat noch kürzen:

\[ \frac{25}{240} = \frac{\cancel{5} \cdot 5 }{\cancel{5} \cdot 48} \;\; = \;\; \underline{\frac{5}{48}} \]

Es lohnt sich mit dem kgV zu arbeiten, denn die gleiche Rechnung mit dem plumpen Produkt wäre gewesen:

\[ \frac{1560}{9600} – \frac{560}{9600} = \frac{1000}{9600} \]

Wenn zwei Brüche gleichnamig gemacht werden sollen, empfiehlt es sich den kleinsten gemeinsamen Nenner mit dem kgV der ursprünglichen Nenner zu verwenden:

\[ \text{kgV}(abc,bcd) = (abcd) \]

\[ \frac{1}{abc} + \frac{1}{bcd} \;\; = \;\; \frac{d}{abcd} + \frac{a}{abcd} \]

Aufgabensammlung

  • Erweitern und Kürzen (5004) – Aufg. 4