Erweitern

Im folgenden Beispiel erhalten wir gleichwertige Brüche, indem wir von links nach rechts den Zähler und den Nenner mit zwei multiplizieren.

\[ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{12} = \frac{8}{24} \]

Dahinter stehen Erweiterungen, die den Wert des Bruchs nicht verändern.

\[ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot \mathbf{2}}{3 \cdot \mathbf{2}} =  \frac{1 \cdot \mathbf{4}}{3 \cdot \mathbf{4}} =  \frac{1 \cdot \mathbf{8}}{3 \cdot \mathbf{8}} \]

Erweitern ist das gleichzeitige Multiplizieren von Zähler und Nenner mit dem gleichen beliebigen Faktor. Durch das Erweitern erhalten wir einen gleichwertigen Bruch.

Beispiel

Drücke den Bruch $\mathlarger{\frac{3}{5}}$ durch geeignete Erweiterung als Dezimalbruch und als Prozentzahl aus.


Damit wir einen Dezimalbruch machen können, brauchen wir eine Zehnerpotenz im Nenner. Die Prozentzahl erfordert 100 im Nenner.

Die Frage ist also: Wie kommen wir vom aktuellen Nenner (5) zum neuen Nenner (100)? Wir erweitern einfach mit 20:

\[ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 20}{5 \cdot 20} = \frac{60}{100} = \underline{0.60 = 60\%} \]

Kürzen

Wenn wir einen Bruch erweitern, so verändern wir ihn, ohne jedoch seinen Wert zu verändern. Nehmen wir wieder die vier Brüche zur Darstellung:

\[ \frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{12} = \frac{8}{24} \]

Hier sind wir durch Erweitern mit dem Faktor 2 von links nach rechts vorgegangen. Wir hätten aber genauso gut von rechts nach links gehen und jeweils Zähler und Nenner mit dem Faktor 2 dividieren können. Wir hätten dann das Erweitern quasi rückgängig gemacht.

Kürzen ist das gleichzeitige Dividieren von Zähler und Nenner mit dem gleichen Faktor. Durch das Kürzen erhalten wir einen gleichwertigen Bruch.

Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns bzw. das Erweitern ist die Umkehrung des Kürzens.

Um herauszufinden, wie wir den Bruch am besten kürzen können, empfiehlt sich das Aufteilen in Primfaktoren. Primfaktoren sind meist kleine Primzahlen, die miteinander multipliziert, eine Zahl ergeben. Sobald Zähler und Nenner als Produkt von Primfaktoren aufgestellt sind, können wir erkennen, mit welchen Faktoren wir kürzen können. Wir werden das am Beispiel des Bruchs $\frac{8}{24}$ demonstrieren:

\[ \frac{8}{24} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \]

Jetzt können wir die Primfaktoren paarweise streichen, falls sie sowohl oben, wie auch unten vorkommen.

\[ \frac{8}{24} = \frac{\not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{2} \cdot \mathbf{1}}{3 \cdot \not{2} \cdot \not{2} \cdot \not{2}} = \frac{1}{3} \]

Beachte, dass der Zähler nicht einfach verschwindet oder gar null wird. Wir haben deshalb die ”unsichtbare” eins einfach wieder sichtbar gemacht. Das dürfen wir übrigens immer und überall tun, da eine Multiplikation mit eins nichts verändert.

Beispiel

Kürze den folgenden Bruch soweit möglich.

\[ \mathlarger{\frac{45x^2}{150x}} \]


Wir schreiben den Zähler und den Nenner als Produkt ihrer ”Primfaktoren” auf.

\[ \frac{45x^2}{150x} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot x \cdot x}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot x} \]

Jetzt kürzen wir die doppelt vorkommenden Faktoren heraus, d.h. wir streichen die Faktoren, die sowohl oben, wie auch unten vorkommen, paarweise heraus:

\[ = \frac{\not{3} \cdot 3 \cdot \not{5} \cdot \not{x} \cdot x}{2 \cdot \not{3} \cdot \not{5} \cdot 5 \cdot \not{x}} \]

Die restlichen Faktoren werden wieder zusammengerechnet und wir haben den vollständig gekürzten Bruch:

\[ = \frac{3 \cdot x}{2 \cdot 5} \; = \; \underline{\frac{\;3x\;}{10}} \]

Aufgabensammlung

  • Divisionsalgorithmus für Polynome (5002) – Aufg. 5

  • Erweitern und Kürzen (5004) – Aufg. 2

  • Erweitern und Kürzen (5004) – Aufg. 3