Temperatur

Definitionen

Abkürzung: \(T\)

Einheit für Temperatur: \([\,T\,] = \text{K}\) (Kelvin)

Einheit für Temperaturdifferenzen: \([\,\Delta T\,] = \text{K}\) (Kelvin) \( = \; ^\circ \text{C}\) (Grad Celsius)

Teilchenbewegung

Das Teilchenmodell sagt uns, wie die Teilchen angeordnet sind und welche Bindungskräfte sie spüren. Es sagt aber nichts darüber aus, wie die Teilchen sich bewegen. Von der Brownschen Bewegung wissen wir, dass Teilchen sich bewegen und sogar so stark, dass sie hundertausendfach grössere Pollenkörner anstossen können. Diese Bewegung ist aber nicht immer gleich stark oder nicht immer gleich schnell. Mit Hilfe der Temperatur haben wir ein Mass für diese Bewegung.

Ein Festkörper ist bei einer höheren Temperatur in der Regel etwas ausgedehnter als bei einer tiefen Temperatur. Der Grund dafür ist die stärkere Bewegung der Teilchen, die dadurch etwas mehr Platz brauchen.

Das gleiche Phänomen beobachten wir bei Flüssigkeiten, was zu einer eigentlich unglaublichen Erfindung geführt hat: Das Flüssigkeitsthermometer.  Mit Hilfe eines Thermometers gelingt es uns die Bewegung der Teilchen zu messen, obwohl die Teilchen ja viel zu klein sind, um gesehen zu werden. 

Das Flüssigkeitsthermometers hat unten ein kleines Reservoir mit eingefärbter Flüssigkeit. Das abgeschlossene Reservoir hat nur einen Ausgang, hin zu einer Kapillare, einem dünnen Glasrohr, in welches sich die Flüssigkeit ausdehnen kann. Bei höherer Temperatur bewegen sich die Teilchen stärker, so dass sie mehr Platz brauchen. Diesen Platz gibt es im Reservoir nicht. Der Druck in der Flüssigkeit steigt kurz an und treibt damit Flüssigkeit in das Glasrohr, wo sie sich ausdehnen kann. Da die Flüssigkeit eingefärbt ist, sehen wir die sehr dünne Flüssigkeitssäule im Glasrohr und können aufgrund ihrer Höhe die Temperatur auf einer Skala ablesen. Beim Quecksilberthermometer ist die Flüssigkeit auch so sichtbar und benötigt keine Färbung.

Amontons Experiment

Der französische Erfinder und Wissenschaftler Guillaume Amontons (1663– 1705) vermutete als Erster den absoluten Nullpunkt mit Hilfe einer Extrapolation. Er machte Experimente, indem er das Volumen und die Menge eines eingeschlossenen Gases konstant hielt. Dann veränderte er die Temperatur des Gases mit kaltem Wasser bis hin zu kochendem Wasser und bemerkte, dass sich der Gasdruck um rund einen Drittel veränderte. Er schloss daraus, dass in umgekehrter Richtung, also mit Hilfe einer weiteren Abkühlung, die für ihn nicht durchführbar war, es irgendwann einen Punkt geben müsste, wo der Druck verschwindet.

Seine Temperaturmessungen waren nicht so genau und seine Schätzung war, dass dieser unterste Punkt bei grob \(T\)=-240 °C liegen müsste. Im nachfolgenden Diagramm ist gezeigt, wie die Messungen auf einer Linie liegen, d.h. die Steigung ist überall gleich. Wenn wir die Steigung zwischen den beiden Messpunkten ermitteln, erhalten wir:

\[ \frac{\Delta p}{\Delta T} = \frac{0.3\;\text{bar}}{80^\circ\text{C}} \]

Für das grosse Steigungsdreieck muss die Temperaturdifferenz also \(\frac{80\text{°C}}{0.3} = 267^\circ\text{C}\) betragen. Von einer Temperatur von \(20^\circ \text{C}\) nach links abgetragen ergibt das:

\[ 20^\circ \text{C} – 267^\circ \text{C} = -247^\circ \text{C} \]

Bei dieser Temperatur müsste der Druck die unterste Grenze null erreichen. Ein negativer Druck würde ja keinen Sinn mehr machen.

Ich finde es erstaunlich, dass Ende des 17. Jahrhunderts eine so fundamentale Vermutung gemacht werden konnte. Natürlich war man damals noch weit weg davon, in die Welt der tiefen Temperaturen vorzudringen und weitere Messungen zu tätigen, denn erst 1845 wurde die Kältemaschine erfunden, die erstmals das künstliche Abkühlen unterhalb der Umgebungstemperatur ermöglichte.

Celsius- und Kelvinskala

Die Thermometer zeigen die Temperatur in Grad Celsius an mit der Abkürzung °C, benannt nach dem schwedischen Astronomen, Anders Celsius (1701 – 1744). In den USA, Belize und Liberia und ein paar Inselstaaten sind noch die Grad Fahrenheit (°F) in Gebrauch, die hier aber nicht weiter diskutiert werden. In der Wissenschaft, allen voran in der Physik, wird die Temperatur mit Kelvin (K) angegeben, benannt nach Lord Kelvin (1824 – 1907) einem irisch-schottischen Physiker und Ingenieur. Beachte, dass man nie “Grad Kelvin” sagt, sondern nur “Kelvin“!

Der Zusammenhang zwischen der Celsius und der Kelvin-Skala ist glücklicherweise sehr einfach. Beide Skalen sind für die Temperaturdifferenzen \(\Delta T\) gleich, d.h. wenn wir um ein Grad Celsius erwärmen, ist das gleichzeitig auch ein Kelvin wärmer. Ich benutze hier die Analogie zu einem Wolkenkratzer in welchem die Stockwerke mit Grad Celsius und mit Kelvin angeschrieben sind. Wenn wir ein Stockwerk hochgehen, erhöhen sich beide Zahlen um eins. Wenn wir zehn Stockwerk aufsteigen, erhöhen sich beide Zahlen um zehn etc.

Temperaturdifferenz	Celsius-Skala	Kelvin-Skala
\)\Delta T\)	+1 °C	+1 K
\)\Delta T\)	+10 °C	+10 K
\)\Delta T\)	-100 °C	-100 K

Absolute Temperaturen \(T\) sind um den Betrag 273.15 verschoben. Auch hier ist die Analogie mit dem Wolkenkratzer hilfreich: Wenn es nicht darum geht, wie viele Stockwerk man hoch oder runter geht, sondern auf welchem Stockwerk man sich effektiv befindet, dann spricht man von einer absoluten Temperatur.

Aus historischen Gründen wurde die Celsiusskala so festgelegt, dass 0 °C dem Schmelzpunkt von Wassereis bei üblichem Umgebungsdruck entspricht. Deshalb gibt es auch Temperaturen unter null. Es ist, als hätten wir den 273. Stock mit null angeschrieben. Alles darunter ist unter null.

Die Kelvinskala hat hier einen anderen Anspruch. Sie ist das Mass für die absolute Temperatur, d.h. ganz unten entspricht dem absoluten Temperatur-Nullpunkt von 0 K. Darunter existiert kein Zustand mehr – unser Wolkenkratzer hat keinen Keller. Wir sind auf dem absoluten Felsen der Physik angelangt. Ebenfalls merken solltest du dir die Temperatur von 300 K. Diese runde Zahl in Kelvin entspricht sommerlichen (300 – 273.15) °C = 26.85 °C.

Temperatur	Celsius-Skala	Kelvin-Skala
\)T\)	-273.15 °C	0 K
\)T\)	0 °C	273.15 K
\)T\)	300 °C	300 K

Geschwindigkeit der Teilchen

Vielleicht bist du noch nicht so überzeugt davon, dass das Flüssigkeitsthermometer eine unglaubliche Erfindung ist. Ich werde hier deshalb nachdoppeln. Das Thermometer erlaubt uns die Messung der Bewegung der Teilchen. Bewegen sie sich denn alle gleich? Nein! Weder bewegen sie sich gleich stark, noch bewegen sie sich in der gleichen Richtung. Ein paar Gramm einer Flüssigkeit entsprechen grob einem Mol von Teilchen, ob Atome oder Moleküle. Ein Mol ist definiert als \(6.022 \cdot 10^{23}\) Teilchen. Das sind sehr, sehr, sehr viele Geschwindigkeiten und Richtungen, die wir messen müssten! Ausserdem zeigt das Thermometer uns nicht die mittlere Geschwindigkeit an, denn dann wäre die Einheit der Temperatur ja \(\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Der einzige Ausweg führt über die Statistik. Das alles macht das kleine Thermometer für uns.!

Bei einer sommerlichen Raumtemperatur (ca. 27 °C = 300 K) haben wir eine Vielzahl von Geschwindigkeiten, die vorkommen. Es gibt Teilchen mit kleiner Geschwindigkeit bis hin zu Teilchen mit sehr grosser Geschwindigkeit. Die vorkommenden Geschwindigkeiten tragen wir in einem Diagramm ein, indem wir die Wahrscheinlichkeit pro Geschwindigkeit auftragen. Wir nennen dieses Diagramm die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Teilchen-Geschwindigkeiten. Sie ist das Produkt der Arbeit von theoretischen Physikern wie Ludwig Boltzmann, aber auch Albert Einstein, der ja 1905 die theoretische Grundlage für die Brown’sche Bewegung legte.

Die horizontale Achse enthält die Geschwindigkeit der Teilchen. Die Vertikale zeigt an, wie wahrscheinlich es ist, ein solches Teilchen zu finden, das diese Geschwindigkeit hat.

Für die Temperatur von 300 K haben wir den schlanken, hohen Verlauf links. Die Geschwindigkeit, die wir höchstwahrscheinlich vorfinden werden, beträgt etwa \(1.1\cdot 10^3\;\frac{\text{m}}{\text{s}}\). Es gibt aber auch kleinere Geschwindigkeiten, bis hin zu fast null, wenn auch deren Wahrscheinlichkeit immer mehr abnimmt, je näher wir an null herankommen. Höhere Geschwindigkeiten kommen ebenfalls vor, jedoch bis knapp unter \(1.1\cdot 10^3\;\frac{\text{m}}{\text{s}}\).

Wenn wir die Temperatur um 300 °C erhöhen, auf 327 °C = 600 K ist es immer noch so. Wir haben immer noch die kleinen Geschwindigkeiten und es gibt immer noch die grossen Geschwindigkeiten. Allerdings gibt es statistisch gesehen weniger von den kleinen und mehr von den grossen Geschwindigkeiten. Die Geschwindigkeiten von null bis \(1.1\cdot 10^3\;\frac{\text{m}}{\text{s}}\) sind jetzt weniger wahrscheinlich. Die Kurve (der Wahrscheinlichkeit) liegt für diese Werte tiefer. Geschwindigkeiten ab ca. \(1.6\cdot 10^3\;\frac{\text{m}}{\text{s}}\) sind jetzt wahrscheinlicher als vorher. die neue Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt jetzt oberhalb der alten Kurve. Jetzt kommen auch Geschwindigkeiten bis über \(4.0\cdot 10^3\;\frac{\text{m}}{\text{s}}\) vor.

Bei noch höherer Temperatur von von ca. 727 °C = 1000 K flacht die Verteilung noch mehr ab und verschiebt sich immer mehr nach rechts, hin zu grösseren Geschwindigkeiten. Auch hier kommen die kleinen Geschwindigkeit von null bis \(1.1\cdot 10^3\;\frac{\text{m}}{\text{s}}\) immer noch vor. Sie sind jedoch jetzt noch weniger wahrscheinlich.

Ein Temperaturwert, wie eben z.B. 1000 K steht für eine ganze Geschwindigkeitsverteilung. Diese lässt sich berechnen und als Diagramm darstellen. Wir können also aus einer Temperatur auf die Verteilung die Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen von Geschwindigkeiten schliessen. Wir können aber nicht sagen, welche Geschwindigkeiten einzelne Teilchen haben.