Addition und Subtraktion
Hier geht (fast) nichts! Additionen (und Subtraktionen) in der Wurzel, müssen in der Wurzel bleiben. Genauso müssen Additionen (und Subtraktionen) ausserhalb der Wurzel auch ausserhalb der Wurzel bleiben. Da darf nichts verändert werden:
\[ \sqrt{a} \pm \sqrt{b} \quad \neq \quad \sqrt{a \pm b} \]
Wir dürfen nur genau gleiche Wurzeln addieren und subtrahieren (Stichwort ”Äpfel und Birnen”):
\[ \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{a} = 2\sqrt[n]{a} \]
Beispiel
Vereinfache den folgenden Term:
\[ a \sqrt{5} + b \sqrt{5} + c \sqrt{6} \]
Wir können nur gleiche Wurzeln mit einander addieren, deshalb:
\[ a \sqrt{5} + b \sqrt{5} \;\; + \;\; c \sqrt{6} \]
\[ = \underline{(a+b) \sqrt{5} + c \sqrt{6}} \]
Multiplikation und Division
Multiplikation in die Wurzel hinein oder aus der Wurzel heraus ist erlaubt, aber nur wenn die Wurzeln den gleichen Exponenten \(n\) haben.
Für Wurzeln mit dem gleichen Exponenten \(n\):
Produktregel:
\[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \]
Quotientenregel:
\[ \frac{\quad \sqrt[n]{a} \quad}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{\,a\,}{b}} \]
Wir erinnern uns natürlich daran, dass Wurzeln eigentlich Potenzen sind, d.h. wir können aus den Wurzeln zuerst Potenzen machen und dann das Multiplikationsgesetz für Potenzen mit gleichen Exponenten anwenden:
\[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = a^{\frac{1}{n}} \cdot b^{\frac{1}{n}} \]
\[ = (a \cdot b)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a \cdot b} \]
Beispiel
Bestimme den Wert von \(x\)
\[ 3^{\frac{3}{9}} x = \sqrt[3]{192} \]
Wir können die ganze Gleichung durch \(3^{\frac{3}{9}} = 3^{\frac{1}{3}}\) teilen.
\[ x = \frac{\sqrt[3]{192}}{3^{\frac{1}{3}}} \]
Zähler und Nenner haben den gleichen Exponenten \(\frac{1}{3}\) , d.h. wir können den Bruch in die Wurzeln reinnehmen.
\[ x = \sqrt[3]{\frac{192}{3}} = \sqrt[3]{64} \]
\[ = \sqrt[3]{4^3} = \underline{\;4\;} \]
Beispiel
Vereinfache den folgenden Term:
\[ \sqrt{\frac{\,\,\sqrt{2^5}\,\,}{4} \cdot \sqrt{2}} \]
Wir arbeiten von innen nach aussen: Die beiden Wurzeln können wir miteinander multiplizieren, weil beide Quadratwurzeln sind.
\[ \sqrt{\frac{\sqrt{2^5}\cdot \sqrt{2}}{4}} = \sqrt{\frac{\sqrt{2^6}}{2^2}} \]
\[ = \sqrt{\frac{2^{(6/2)}}{2^2}} = \sqrt{2^{3-2}} = \underline{\sqrt{2}} \]
Potenzieren
Das Potenzieren von Wurzeln ist relativ einfach, weil Wurzeln eigentlich selber schon Potenzen sind. Es reicht aus, die paar Regeln im Umgang mit Potenzen zu beherrschen und schon sind damit auch die Wurzeln abgedeckt. Wir erinnern uns an die Potenzierung von Potenzen:
\[ (a^n)^m = a^{(n \cdot m)} = a^{nm} \]
Jetzt nehmen wir eine allgemeine Wurzel \(\sqrt[k]{a}\), potenzieren sie mit dem Exponenten \(m\) und schreiben die Wurzel als Potenz:
\[ \Bigl (\sqrt[k]{a} \Bigr )^m = \Bigl (a^{\frac{1}{k}} \Bigr )^m \]
Jetzt wenden wir das Gesetz für Potenzen an und erhalten:
\[ \Bigl (a^{\frac{1}{k}} \Bigr )^m = a^{\frac{1}{k} \cdot m} = a^{\frac{m}{k}} \]
Wir können das Produkt im Exponenten auch anders schreiben und damit wieder zu einer Wurzel umwandeln:
\[ a^{\frac{m}{k}} = a^{m \cdot \frac{1}{k}} = \Bigl (a^m \Bigr )^{\frac{1}{k}} = \sqrt[k]{a^m} \]
Damit haben wir das Gesetz für die Potenzierung von Wurzeln gefunden:
Die \(m\)-te Potenz einer \(k\)-ten Wurzel ist gleich der \(k\)-Wurzel einer \(m\)-ten Potenz:
\[ \Bigl (\sqrt[k]{a} \Bigr )^m = a^{\frac{m}{k}} = \sqrt[k]{a^m} \]
Beispiel
Vereinfache den folgenden Term:
\[ \sqrt[3]{\sqrt[4]{p}\,\,q^8} \]
Zuerst schreiben wir alles als Potenz auf und wenden das Gesetz für die Multiplikation von Potenzen an:
\[ \sqrt[3]{\sqrt[4]{p}\,\,q^8} = (\sqrt[4]{p}\,\,q^8)^{\frac{1}{3}} \]
\[ = (p^{\frac{1}{4}}\,\,q^8)^{\frac{1}{3}} = (p^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}} \cdot (q^8)^{\frac{1}{3}} \]
Schliesslich wenden wir das Gesetz über die Potenzierung von Potenzen an:
\[ (p^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}} \cdot (q^8)^{\frac{1}{3}} \]
\[ = p^{\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}} \cdot q^{8\cdot\frac{1}{3}} \]
\[ = \underline{p^{\frac{1}{12}} \cdot q^{\frac{8}{3}}} \]
Verwendung von Wurzeln in Gleichungen
Wurzeln sind die Umkehrung der Potenz. Wir brauchen sie deshalb für die Berechnung von Gleichungen mit Potenzen.
Beispiel
Löse die folgende Gleichung:
\[ (x+1)^4 = 81 \]
Wir können die Zahl 81 mit einer vierten Potenz ersetzen:
\[ (x+1)^4 = 3^4 \]
Jetzt können wir von der ganzen Gleichung die vierte Wurzel ziehen oder wir setzen die ganze Gleichung in eine Potenz mit Exponent 0.25
\[ (x+1) = 3 \]
Aus dieser Gleichung folgt
\[ x=2 \]
Das ist aber nicht die einzige Lösung! Beim Ziehen einer Wurzel mit geradem Exponenten müssen wir immer daran denken, dass es eine zweite Lösung gibt mit anderem Vorzeichen. Es gilt ja:
\[ 3^4 = 81 \quad \text{und} \quad (-3)^4 = 81 \]
Somit kommen wir beim Ziehen der vierten Wurzel zu zwei Möglichkeiten, nämlich \(\pm 3\). Betrachten wir nun diese zweite Lösung:
\[ (x+1) = (-3) \]
Daraus folgt die zweite Lösung für \(x\):
\[ x = -4 \]
Jetzt haben wir die Lösungsmenge mit den beiden Lösungen:
\[ \underline{\mathds{L} = \Big\{ -4, 2 \Big\}} \]
Beispiel
Löse die folgende Gleichung:
\[ \sqrt[4]{x-1} = 2 \]
Wir können die ganze Gleichung potenzieren, mit Exponent 4:
\[ \Big( \sqrt[4]{x-1} \Big)^4 = 2^4 \]
\[ x-1 = 16 \quad \rightarrow \quad \underline{x=17} \]
Potenzieren einer ganzen Gleichung
Ist die Unbekannte einer Gleichung in einer Potenz mit Exponent \(n\), so kann die ganze Gleichung in eine Potenz mit Exponent \(\frac{1}{n}\) bzw. in eine \(n\)-te Wurzel gesetzt werden.
Analog kann eine Unbekannte in einer \(n\)-ten Wurzel durch das Potenzieren mit Exponent \(n\) gefunden werden.
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