Das Wichtigste in Kürze

Im folgenden sind die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke aufgelistet. Dabei werden die Grössen von den zwei Dreiecken $ABC$ und $A’B’C’$ verglichen:

W:W:W-Satz

Zwei Dreiecke mit drei gleichen Winkeln sind geometrisch ähnlich:

\[ \alpha = \alpha’ \quad \text{und} \quad \beta = \beta’ \quad (\text{und} \quad \gamma = \gamma’) \]

S:S:S-Satz

Zwei Dreiecke sind geometrisch ähnlich, wenn die drei Seitenverhältnisse gleich sind:

\[ \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} \]

S:W:S-Satz

Zwei Dreiecke sind geometrisch ähnlich, wenn zwei Seitenverhältnisse gleich sind, sowie der von den betreffenden Seiten eingeschlossene Winkel gleich ist:

\[ \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} \quad \text{und} \quad \alpha = \alpha’ \]

S:S:W-Satz

Zwei Dreiecke sind geometrisch ähnlich, wenn die zwei Seitenverhältnisse und die Winkel gegenüber der jeweils grössten Seite gleich sind:

\[ \frac{b’}{b} = \frac{c’}{c} \quad \text{und} \quad \gamma = \gamma’ \]

Dabei ist mit $c$ die grösste Seite im Dreieck gemeint.

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Häufigste Fragen

Bei der Kongruenz wird die Deckungsgleichheit untersucht. Du kannst zwei kongruente Dreiecke ausschneiden und sie übereinander legen – sie sind absolut deckungsgleich.

Bei der Ähnlichkeit ist das eine Dreieck ein vergrössertes oder verkleinertes Modell des anderen Dreiecks. Es sieht gleich aus, hat die gleichen Winkel und gleichen Proportionen, jedoch sind die beiden Dreiecke nicht gleich gross.

Zwei ähnliche Dreiecke sind im Normalfall nicht kongruent. Sie können aber gleichzeitig ähnlich und kongruent sein, wenn es sich um ein 1:1-Modell handelt, d.h. beide die gleiche Grösse haben. Kongruente Dreiecke sind immer auch geometrisch ähnlich. Kongruenz ist ein strengeres Kriterium, das das schwächere Kriterium Ähnlichkeit miteinschliesst.

Bei der Ähnlichkeit ist das eine Dreieck ein vergrössertes oder verkleinertes Modell des anderen Dreiecks. Es sieht gleich aus, hat die gleichen Winkel und gleichen Proportionen, jedoch sind die beiden Dreiecke nicht gleich gross.

Der Vergrösserungs- oder Verkleinerungs-Faktor $k$, macht aus der Seitenlänge $a$ die Seitenlänge $a’$:

\[ a’ = k \cdot a \]

Bei $k>1$ wird die Seitenlänge $a$ verlängert, bei $k<1$ wird sie verkürzt.

Die Winkel bleiben gleich. Siehe dazu den Artikel zur zentrischen Streckung.

Das “S” steht für Seiten-Verhältnis und das “W” für Winkel.

Damit sind die Sätze W:W:W und S:S:S fast selbsterklärend: Die drei Winkel bzw. die drei Seiten-Verhältnisse sind bei beiden Dreiecken gleich, so dass die beiden Dreiecke als geometrisch ähnlich gelten.

Beim S:W:S-Satz steht das “W” absichtlich zwischen den beiden “S”, was darauf andeutet, dass es sich nicht um irgendeinen Winkel, sondern um den bestimmten Winkel handelt, der von den beiden betrachteten Seiten eingeschlossenen ist.

Beim S:S:W-Satz muss du wissen, dass der Winkel auch nicht irgendein Winkel sein darf, sondern derjenige gemeint ist, der gegenüber der grössten Dreiecksseite ist.

Wir wissen, dass zwei Dreiecke geometrisch ähnlich sind, wenn ihre drei Winkel übereinstimmen und wenn ihre Seiten proportional sind. Oft ist es aber so, dass wir nicht diese ganzen Informationen zur Verfügung haben und wir trotzdem wissen möchten, ob zwei Dreiecke ähnlich sind oder nicht.

W:W:W-Satz

Der erste Ähnlichkeitssatz ist nach den drei Winkeln benannt. Eigentlich reicht es, wenn wir nur zwei Winkel kennen. Der dritte Winkel kann ja mit der Winkelsumme von 180° im Dreieck berechnet werden. Trotzdem wird der Satz mit 3 “W”s bezeichnet:

W:W:W-Satz: Die zwei Dreiecke $ABC$ und $A’B’C’$ mit drei gleichen Winkeln sind geometrisch ähnlich:

\[ \alpha = \alpha’ \quad \text{und} \quad \beta = \beta’ \quad (\text{und} \quad \gamma = \gamma’) \]

Beispiel

Zeige mit Hilfe des W:W:W-Satzes, dass die beiden Dreiecke $ABC$ und $A’B’C’$ geometrisch ähnlich sind.

Im linken Dreieck sind die Winkel $\alpha$ und $\alpha’$ Scheitelwinkel und somit sind sie gleich:

\[ \alpha = \alpha’ \]

Wenn die Seiten $a$ und $a’$ parallel zu einander sind, dann schliessen sie mit $c$ bzw. $c’$ den gleichen Winkel $\beta$ bzw. $\beta’$ sein, d.h. es gilt:

\[ \beta = \beta’ \]

Beide Dreiecke haben je zwei Winkel gemeinsam. Aus der Winkelsumme $\alpha + \beta + \gamma = 180\si{\degree}$ folgt, dass auch der dritte Winkel gleich sein muss:

\[ \gamma = \gamma’ \]

Somit haben wir für beide Dreiecke die gleichen drei Winkel. Die beiden Dreiecke sind unterschiedlich gross, aber sie sind geometrisch ähnlich.

S:S:S-Satz

Beim S:S:S-Satz geht es um Seiten-Verhältnisse. Geometrisch ähnliche Dreiecke können verschieden gross sein, d.h. die Seiten müssen nicht gleich gross sein, wie bei den Kongruenzsätzen.

Die Proportionen müssen gleich sein, d.h. die Verhältnisse der Seiten zueinander oder die Verhältnisse der Seiten zwischen den beiden Dreiecken, müssen immer gleich sein, damit zwei Dreiecke ähnlich sind.

S:S:S-Satz: Zwei Dreiecke $ABC$ und $A’B’C’$ sind geometrisch ähnlich, wenn die drei Seitenverhältnisse gleich sind. Wir können die entsprechenden Seiten bei den beiden Dreiecken miteinander verlgleichen…

\[ \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} \]

…oder wir betrachten die Verhältnisse der Seiten im Dreieck selbst:

\[ \frac{a}{b} = \frac{a’}{b’} \qquad \qquad \frac{a}{c} = \frac{a’}{c’} \qquad \qquad \frac{b}{c} = \frac{b’}{c’} \]

Beispiel

Beweise, dass die beiden Dreiecke ähnlich sind.

Wir schauen uns die Verhältnisse der Strecken auf den beiden Strahlen an. Den ersten Bruch erweitern wir mit 10 und kürzen dann mit 8:

\[ \frac{4}{1.6}=\frac{40}{16}=\frac{5}{2}=2.5 \]

Mit dem Zweiten Strahlensatz wissen wir, dass auch

\[ \frac{a’}{a}=2.5 \]

Damit hätten wir mit dem SSS-Satz nachgewiesen, dass die beiden Dreiecke ähnlich sind.

“Wenn wir nur zwei Seitenverhältnisse kennen, brauchen wir noch einen Winkel…aber nicht irgendeinen Winkel!”

S:W:S-Satz

Wenn wir nur zwei Seitenverhältnisse haben, brauchen wir eine dritte Information, um über die Ähnlichkeit von zwei Dreiecken eine Aussage machen zu können.

Haben wir den Winkel zwischen den beiden Seiten, von welchen wir das Seitenverhältnis kennen, dann können wir die Ähnlichkeit mit dem S:W:S-Satz beweisen.

Beachte: Es klappt nicht mit einem anderen Winkel! Hier gibt es mehrere Lösungen, wobei gewisse Scheinlösungen geometrisch nicht ähnlich sind, obwohl die beiden (fälschlicherweise) betrachteten Winkel gleich sind.

S:W:S-Satz: Zwei Dreiecke sind geometrisch ähnlich, wenn die zwei Seitenverhältnisse und gleich sind, sowie die von den betreffenden Seiten eingeschlossenen Winkel gleich sind:

\[ \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} \quad \text{und} \quad \alpha = \alpha’ \]

Schauen wir uns nochmals kurz das Bild aus dem vorigen Beispiel an:

Hier haben wir auch nur zwei Seitenverhältnisse gegeben. Allerdings gibt uns die Skizze noch eine zusätzliche Information, nämlich dass der eingeschlossene Winkel zwischen den beiden Strahlen gleich ist. Damit hatten wir eigentlich eine SWS-Aufgabe. ????

Beispiel

Zeige mit einer Skizze, dass nebst den zwei gleichen Seitenverhältnissen, unbedingt der eingeschlossene Winkel gleich sein muss und es bei einem anderen Winkel zu Scheinlösungen kommt, die nicht geometrisch ähnlich sind.

Wir nehmen wieder die beiden Seitenverhältnisse vom obigen Beispiel:

\[ \frac{5}{4}=\frac{7}{5.6}=1.25 \]

Für das grössere Dreieck müssen wir demnach eine Seite mit Länge 5.6 haben und die Seitenverhältnisse sind erfüllt. Allerdings liegen alle möglichen Lösungen des einen Eckpunkts $C’$ auf einem Kreis mit Radius 5.6, solange wir den Winkel $\alpha’$ nicht festlegen.

Für irgendeinen (falschen) Zwischenwinkel $\alpha’$ kriegen wir z.B. den falschen Punkt $C’_3$.

Die richtige Lösung wäre das gestrichelte Dreieck mit dem Punkt $C’_1$. Dieses Dreieck ist geometrisch ähnlich.

Wenn wir statt dem Zwischenwinkel $\alpha$ irgendeinen anderen Winkel, z.B. $\beta$ (beim Eckpunkt $B$) festlegen, haben wir zwar eine zu $a$ parallele Seite $a’$ (gestrichelt), aber sie hat zwei Lösungen $C’_1$ und $C’_2$, d.h. wir kriegen zwar die eine richtige Lösung, aber dazu noch eine (falsche) Scheinlösung.

Deshalb müssen wir den Winkel zwischen den beiden Seiten nehmen (deshalb steht das “W” zwischen den beiden “S”).

S:S:W-Satz

Wenn wir nur zwei Seitenverhältnisse haben, können wir die dritte Information auch vom Winkel kriegen, der gegenüber der grösseren Seite ist.

S:S:W-Satz: Zwei Dreiecke sind geometrisch ähnlich, wenn die zwei Seitenverhältnisse und der Winkel gegenüber der jeweils grössten Seite im Dreieck gleich sind:

\[ \frac{b’}{b} = \frac{c’}{c} \quad \text{und} \quad \gamma = \gamma’ \]

In der nachfolgenden Grafik (links) wird gezeigt, dass ein gleicher Winkel (hier $\beta’$) gegenüber einer kürzeren Seite, zu mehreren Lösungen führt (links). ????

In der Grafik rechts ist der Winkel aber gegenüber der grösseren Seite (hier $\gamma’$). Es gibt nur eine eindeutige Lösung.

Beachte, dass der andere Schnittpunkt des Kreisbogens mit der gestrichelten Linie weiter oben zwar zu einem anderen Dreieck führt, das aber keine gültige Lösung darstellt. Nehmen wir nämlich den anderen Punkt, so wird die mit dem Radius 7 abgetragene Seite nicht zu einer Seite $c’$, sondern zu einer Seite $b’$, für die ein anderes Seitenverhältnis gilt. Sie hat somit nicht die Länge 7.

Aufgabensammlung

(zu diesem Thema gibt es noch keine Aufgaben)

Lernziele

  • Du kennst die vier Ähnlichkeitssätze für Dreiecke (auswendig) und kannst sie in eigenen Worten erklären.
  • Du kannst Dreiecke bezüglich ihrer Ähnlichkeit mit Hilfe der vier Ähnlichkeitssätze analysieren.

Weitere Links

Ähnlichkeitssätze für Dreiecke (Wikipedia)