Angenommen wir starten mit einem blauen Dreieck in der obigen Abbildung. Wenn Sie die Strecke $\overline{ZC}$ mit einem Faktor $k=2$ multiplizieren, kriegen Sie die neue rote Strecke $\overline{ZC’}$. Werden die Strecken $\overline{ZA}$ und $\overline{ZB}$ mit dem gleichen Faktor $k$ multipliziert, kriegen Sie entsprechend $\overline{ZA’}$ und $\overline{ZB’}$. Auf diese Weise erhalten Sie das neue rote Dreieck $A’B’C’$.

\[ \overline{ZA’} = k \cdot \overline{ZA}, \qquad \overline{ZB’} = k \cdot \overline{ZB}, \qquad \overline{ZC’} = k \cdot \overline{ZC} \]

Da wir auf jedem Strahl mit dem gleichen Faktor multipliziert haben, gilt die Umkehrung des Ersten Strahlensatzes: Die Seiten $a, b$ und $c$ des blauen Dreiecks sind parallel zu den Seiten des neuen roten Dreiecks $a’, b’$ und $c’$. Somit sind alle Winkel gleich. Aus dem Zweiten Strahlensatz folgt zudem, dass die Seiten des roten Dreiecks, wie die Strecken auf den Strahlen mit dem Faktor $k=2$ gestreckt worden sind. Das rote Dreieck ist doppelt so gross wie das blaue Dreieck. Beachten Sie, dass die Fläche des neuen Dreiecks mit dem Faktor $k^2$ multipliziert worden ist, d.h. die Fläche ist 4-fach.

Was passiert, wenn man mit einem kleinen Faktor multipliziert, z.B. $k=\frac{1}{2}$ ? Jede Strecke auf dem Strahl wird halbiert und es entsteht ein halb so grosses grünes Dreieck, mit einer Fläche, die $k^2=\bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2$-mal so gross ist, also 4-fach kleiner ist.

Durch die zentrische Streckung mit einem Streckfaktor $\boldsymbol{k}$ wird eine Figur um diesen Faktor vergrössert oder verkleinert.

  • $k>1 \qquad$ Vergrössung um den Faktor $k$
  • $k=1 \qquad$ Abbildung auf die gleiche Grösse, keine Veränderung
  • $k<1 \qquad$ Verkleinerung durch den Faktor $\frac{1}{k}$ (z.B. $k=\frac{1}{2}$ verkleinert durch den Faktor 2)

Beachte, dass die Fläche der Figur sich um den Faktor $k^2$ und dass das Volumen der Figur sich um den Faktor $k^3$ verändern.

Eigenschaften der zentrischen Streckung:

  • Die Punkte liegen auf den Strahlen
  • Die Winkel bleiben gleich
  • Die Geraden bleiben parallel

Wenn der Streckungsfaktor negativ $(k<0)$ ist, werden die Strecken auf den Strahlen auf die andere Seite des Zentrums gespiegelt und es entsteht ein punktsymmetrisch gespiegeltes Bild (oranges Dreieck).

Aufgabensammlung

  • Zentrische Streckung (5013) – Aufg. 1

  • Zentrische Streckung (5013) – Aufg. 2

  • Zentrische Streckung (5013) – Aufg. 3

  • Zentrische Streckung (5013) – Aufg. 4

  • Zentrische Streckung (5013) – Aufg. 5

  • Zentrische Streckung (5013) – Aufg. 6

  • Zentrische Streckung (5013) – Aufg. 7