Das Wichtigste in Kürze Folgen sind eine Ordnung von Folgegliedern bzw. ist eine Folge eine Zuordnung einer natürlichen Zahl (Zähler) zum Zahlenwert : Mit wird der reelle Wert des -ten Glieds verstanden. Jedes Folgeglied hat seine bestimmte Position in der Folge. Diese wird durch den Zähler angegeben. Die ganze Folge wird mit einer Klammer…
Das Wichtigste in Kürze Mit der expliziten Definition wird jedes -te Glied der Folge durch einen mathematischen Ausdruck definiert, d.h. wir können jedes -te Glied direkt berechnen, z.B. Video (zu diesem Thema gibt es noch kein Video) In diesem Video wird die Theorie erklärt und mit Beispielen illustriert. Um das Video anzusehen, musst…
Das Wichtigste in Kürze Mit der rekursiven Definition wird der Zahlenwert eines Folgeglieds mit Hilfe eines vorhergehenden Glieds beschrieben, indem wir das -te Glied durch Einsetzen des Werts des -ten Glieds berechnen, z.B. Damit ist der Schritt von einem Glied zum nächsten beschrieben, was aber noch nicht eindeutig ist. Es braucht noch eine…
Das Wichtigste in Kürze Ist die Folge so definiert, dass von einem Glied zum nächsten, immer die gleiche Zahl addiert wird, so spricht man von einer arithmetischen Folge. Die rekursive Definition der arithmetischen Folge ist: Die explizite Definition der arithmetischen Folge ist: Video (zu diesem Thema gibt es noch kein Video)…
Das Wichtigste in Kürze Ist die Folge so definiert, dass von einem Glied zum nächsten, immer mit dem gleichen Faktor multipliziert wird, so spricht man von einer geometrischen Folge. Die rekursive Definition der geometrischen Folge ist: Die explizite Definition der geometrischen Folge ist: Die geometrische Folge konvergiert, wenn: Video (zu diesem…
Das Wichtigste in Kürze Das Summenzeichen bildet die Summe des Terms für einen Zähler, der vom Anfangswert bis zum Endwert in Einerschritten hochzählt: Die folgenden fünf Eigenschaften erlauben eine algebraische Vereinfachung von Summenzeichen: Video (zu diesem Thema gibt es noch kein Video) In diesem Video wird die Theorie erklärt und mit Beispielen illustriert….
Das Wichtigste in Kürze Die Folge heisst Reihe, weil sie die laufende Summe aller Glieder einer Folge ist, bis zur Stelle : Mit Hilfe eines Summenzeichens lässt sich das Gleiche auch folgendermassen schreiben: Die Reihe bildet selber wieder eine Folge: Die meisten Reihen sind divergent, da die Summe immer…
Das Wichtigste in Kürze Die arithmetische Reihe gehört zur arithmetischen Folge . Die Definition der Reihe folgt aus dem Trick von Gauss: Mit der Differenz statt dem Folgeglied , erhalten wir mit Hilfe der expliziten Definition der arithmetischen Folge: Video (zu diesem Thema gibt es noch kein Video) In diesem Video…
Das Wichtigste in Kürze Die geometrische Reihe gehört zur geometrischen Folge . Der Wert eines Glieds einer endlichen geometrischen Reihe kann aufgrund des Anfangswerts und dem Faktor der darunter liegenden geometrischen Folge berechnet werden: Die Gesamtsumme einer unendlichen geometrischen Reihe kann einen endlichen Wert annehmen, wenn der Faktor der geometrischen Folge und die…
Die harmonische Folge ist definiert als . Mit immer grösser werdendem Zähler werden die Glieder der Folge immer kleiner, wie wir es im Plot sehr schön sehen können. Die zu dieser Folge gehörende harmonische Reihe hat eine erstaunliche Eigenschaft. Die Glieder der Reihe werden immer grösser ohne dass sie sich einem Wert annähern. Sie steigen…
Eine Folge gilt als monoton steigend, wenn sie immer zunimmt oder mindestens gleich bleibt, aber nie abnimmt. Analog gilt eine Folge als monoton fallend, wenn sie immer nur gleich bleibt oder abnimmt, aber nie zunimmt. Unter streng monoton steigend oder fallend, verstehen wir immer steigend oder fallend und schliessen damit den Fall aus, in welchem…
Kann für eine Folge eine obere oder eine untere Grenze festgelegt werden, die von den Folgewerten nie überschritten wird, so spricht man von einer beschränkten Folge. Beispiel Ist die Folge beschränkt? Die Glieder der Folge sind: . Die Differenz von einem Glied zum Nächsten beträgt: Die Differenz ist definitiv positiv, d.h….
Grenzwert einer Folge Von besonderem Interesse sind konvergente Folgen, die sich immer mehr einem Wert annähern. Möglicherweise erreicht die Folge den Wert eigentlich nie oder höchstens in der Unendlichkeit. Ein solcher Wert heisst Grenzwert. Betrachte die Folge im Diagramm. Die Werte der Folge schwanken anfangs ziemlich ziellos hin und her, dann aber scheinen sie sich…
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