Folgen

Folgen

Ordnung von Zahlen Die erste Folge, die du je gelernt hast, ist die Folge der natürlichen Zahlen: \[ 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, …. \] Jede Zahl hat ihren ganz bestimmten Platz. Wir können jederzeit auch sagen, welche Zahl an 27. Stelle steht. Bei dieser Folge ist es einfach: natürlich…

Explizite Definition

Folgeglieder können auf zwei Arten mathematisch beschrieben werden: Die explizite Definition ist eine Formel, die uns erlaubt den Zahlenwert \(a_n\) eines Folgeglieds direkt aufgrund seiner Position \(n\) in der Folge zu berechnen. Wenn wir beispielsweise die folgende explizite Definition hinschreiben: \[ a_n = 2^{n-1} \] Können wir die ersten drei Glieder der Folge berechnen als…

Rekursive Definition

Die einfache Folge der natürlichen Zahlen (\(1, 2, 3, …\)) kann explizit ausgedrückt werden als \[ a_n = n \] Sie kann aber auch anders beschrieben werden: Jedes Glied der Folge entspricht dem vorhergehenden Glied plus 1: \[ a_n = a_{n-1} + 1 \] Das “jetzige” Folgeglied hat den Zähler \(n\). Das vorhergehende Glied hatte…

Arithmetische Folgen (AF)

Definition Die arithmetischen Folgen bilden, wie die geometrischen Folgen, eine Familie von Folgen, die eine ganz bestimmte Eigenschaft vereinen: Von einem Glied zum nächsten Glied wird immer der gleiche Betrag \(d\) addiert. Mit \(d=1\) hätten wir z.B. die Folge der natürlichen Zahlen, wenn \(a_1=1\). Mit \(d=-1\) kriegen wir eine fallende Folge, die z.B. beim Anfangswert…

Geometrische Folgen (GF)

Definition Die geometrischen Folgen bilden, wie die arithmetischen Folgen, eine Familie von Folgen mit einer gemeinsamen Eigenschaft. Bei einer geometrischen Folge erhält man das nächste Glied, indem man immer das vorhergehende Glied mit dem konstanten Faktor \(q\) multipliziert. Wenn also von einem Folgeglied zum Nächsten immer eine Multiplikation mit dem gleichen Faktor \(q\) vollzogen wird,…

Summenzeichen

Verwendung des Summenzeichens In der Lernforschung wurde herausgefunden, dass das mathematische Summenzeichen, der griechische Grossbuchstabe Sigma (\(\Sigma\)) bei vielen Schülerinnen und Schülern ein gewisses Unbehagen auslöst. Als Schüler mochte ich es auch nicht. Der Buchstabe wirkt ein bisschen aggressiv…Keine Angst! Das Summenzeichen kann weder etwas für sein Aussehen (wenn schon sind die alten Griechen 🏛️…

Reihen

Zur Veranschaulichung betrachten wir ein Beispiel: Der Betreiber einer neuen Webseite führt Besucherstatistik und erfasst die tägliche Anzahl neuer Besucher. Diese Daten ergeben eine Zahlenfolge \((a_n)\) mit Zähler \(n\): \(n\) 1 2 3 4 5 6 7 … \(a_n\) 2 10 12 8 14 15 14 … Der Betreiber der Webseite möchte jetzt aber wissen,…

Geometrische Reihen (GR)

Endliche geometrische Reihe Addieren wir laufend die Glieder einer geometrischen Folge, so erhalten wir eine geometrische Reihe. Eine geometrische Folge ist entweder in der rekursiven Definition… \[ a_n = a_{n-1} \cdot q\] …oder in der expliziten Definition gegeben: \[ a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \] Auf jeden Fall brauchen wir das Anfangsglied \(a_1\) (oder ein…

Harmonische Reihe

Die harmonische Folge ist definiert als \(a_n = \frac{1}{n}\). Mit immer grösser werdendem Zähler werden die Glieder der Folge immer kleiner, wie wir es im Plot sehr schön sehen können. Die zu dieser Folge gehörende harmonische Reihe hat eine erstaunliche Eigenschaft. Die Glieder der Reihe werden immer grösser ohne dass sie sich einem Wert annähern….

Monotonie von Folgen

Eine Folge gilt als monoton steigend, wenn sie immer zunimmt oder mindestens gleich bleibt, aber nie abnimmt. Analog gilt eine Folge als monoton fallend, wenn sie immer nur gleich bleibt oder abnimmt, aber nie zunimmt. Unter streng monoton steigend oder fallend, verstehen wir immer steigend oder fallend und schliessen damit den Fall aus, in welchem…

Beschränktheit von Folgen

Kann für eine Folge eine obere oder eine untere Grenze festgelegt werden, die von den Folgewerten nie überschritten wird, so spricht man von einer beschränkten Folge. Beispiel Ist die Folge \(a_n = \frac{n}{n+2}\) beschränkt? Die Glieder der Folge sind: \(\frac{1}{3}, \frac{2}{4}, \frac{3}{5}, \frac{4}{6}, \frac{5}{7}, \frac{6}{8}, …\). Die Differenz von einem Glied zum Nächsten beträgt: \[…

Grenzwert

Grenzwert einer Folge Von besonderem Interesse sind konvergente Folgen, die sich immer mehr einem Wert annähern. Möglicherweise erreicht die Folge den Wert eigentlich nie oder höchstens in der Unendlichkeit. Ein solcher Wert heisst Grenzwert. Betrachte die Folge im Diagramm. Die Werte der Folge schwanken anfangs ziemlich ziellos hin und her, dann aber scheinen sie sich…