Das Wichtigste in Kürze

Mit der expliziten Definition wird jedes $n$-te Glied der Folge $(a_n)$ durch einen mathematischen Ausdruck definiert, d.h. wir können jedes $n$-te Glied direkt berechnen, z.B.

\[ a_n = n+2 \quad \rightarrow \quad (a_n) = 3,\,5,\,7,\,9,\,… \]

Häufigste Fragen

Mit Hilfe der expliziten Definition kann jedes Folgeglied direkt berechnet werden, ohne dass andere Folgeglieder dazu bekannt sein müssen, z.B.

\[ a_n = \frac{1}{n} \quad \rightarrow \quad a_{31} = \frac{1}{31} \]

Das Aufstellen einer expliziten Definition ist meist schwieriger.

Wenn die Folge eine arithmetische Folge oder eine geometrische Folge ist, kann die explizite Definition etwas einfacher aufgestellt werden.

Es gibt auch Fälle, wo das Aufstellen einer expliziten Definition nicht wirklich möglich ist.

Im Unterschied zur rekursiven Definition braucht die explizite Definition nur gerade den Zähler.

Es werden keine Werte von vorgängigen Folgegliedern, noch wird der Startwert der Folge benötigt.

Nein. Für Folgen ohne mathematische Logik, z.B. für statistische Werte oder für Messwerte, gibt es natürlich keine explizite Definition.

Es gibt aber auch Folgen, die zwar mathematisch berechnet werden können (mit Hilfe der rekursiven Definition), für welche eine explizite Definition aber zu umständlich ist.

Folgeglieder können auf zwei Arten mathematisch beschrieben werden:

  • Explizite Definition: Formel für die direkte Berechnung jedes Zahlenglieds
  • Rekursive Definition: Formel für die Berechnung des nächsten Zahlenglieds aufgrund des aktuellen Zahlenwerts

Die explizite Definition ist eine Formel, die uns erlaubt den Zahlenwert $a_n$ eines Folgeglieds direkt aufgrund seiner Position $n$ in der Folge zu berechnen.

Wenn wir beispielsweise die folgende explizite Definition hinschreiben:

\[ a_n = 2^{n-1} \]

Können wir die ersten drei Glieder der Folge berechnen als

\[ a_1 = 2^{1-1} = 1, \quad a_2 = 2^{2-1} = 2, \quad a_3 = 2^{3-1} = 4 \]

Somit ist die Folge:

\[ (a_n) = 1,\,2,\,4,\,… \]

Beispiel: Umsetzung der expliziten Definition

Was sind die ersten fünf Glieder der Folge mit der folgenden expliziten Definition?

\[ a_n = n^2 – 4 \]

\[ a_1 = 1^2 – 4 = 1 – 4 = -3 \]

\[ a_2 = 2^2 – 4 = 4 – 4 = 0 \]

\[ a_3 = 3^2 – 4 = 9 – 4 = 5 \]

\[ a_4 = 4^2 – 4 = 16 – 4 = 12 \]

\[ a_5 = 5^2 – 4 = 25 – 4 = 21 \]

Die Folge ist somit: 

\[ \underline{(a_n) = -3, 0, 5, 12, 21, …} \]

Der grosse Vorteil der expliziten Definition ist, dass wir direkt z.B. das 27. Glied berechnen können:

\[ a_{27} = 2^{27-1} = 2^{26} \]

In diesem Fall ist es natürlich eine sinnlos grosse Zahl, aber so geht’s. ????

Beispiel: Direkte Berechnung eines Glieds

Wie viel beträgt $a_{27}$ der Folge $a_n = n^2 – 4$?

Wir nehmen die explizite Definition und setzen 27 für den Zähler $n$ ein:

\[ a_n = n^2 – 4 \]

\[ a_{27} = 27^2 – 4 = 729 – 4 = \underline{725} \]

“Die Berechnung des Zahlenwerts einer Folge ist einfach. Hingegen ist das Finden der expliziten Definition oft nicht so einfach!”

So praktisch die explizite Definition auch ist, so ist der umgekehrte Weg, von der Folge zu der expliziten Definition, nicht immer einfach. ????

Beispiel: Explizite Definition finden

Finde die explizite Definition der Folge $(b_k)$:

\[ b_k = 3,\,5,\,7,\,9,\,11,\,13,\,…\]

Wir erkennen, dass die Folge von Glied zu Glied jeweils um 2 zunimmt. Mit ein bisschen Übung schreiben wir deshalb einfach einen ersten Ansatz hin:

\[ b_k = 2k \quad \rightarrow \quad (b_k) = 2,\,4,\,6,\,8,\,… \]

Wir haben noch nicht die richtige Lösung, aber die Zweierschritte sind schon mal OK.

Da unsere Folgeglieder immer um 1 zu klein sind, müssen wir einfach noch 1 addieren. Wir passen unseren Ansatz an und berechnen die Folge erneut:

\[ b_k = 2k+1 \quad \rightarrow \quad (b_k) = 3,\,5,\,7,\,9,\,… \]

Jetzt stimmt’s, d.h. die explizite Definition der Folge $(b_k)$ ist:

\[ \underline{b_k = 2k +1} \]

Aufgabensammlung

Explizite Definition (5007)

3 Aufgaben (total 18 Teilaufgaben) mit Lösungen (pdf/Video):

  • Folgen ergänzen
  • Folgeglieder mit der expliziten Definition berechnen
  • Explizite Definition einer Folge finden

Um auf die Übung zugreifen zu können, musst du eingeloggt sein.

Aufgabensammlung

  • Arithmetische und geometrische Folgen (5009) – Aufg. 2

  • Arithmetische und geometrische Folgen (5009) – Aufg. 4

  • Explizite Definition (5007) – Aufg. 1

  • Explizite Definition (5007) – Aufg. 2

  • Explizite Definition (5007) – Aufg. 3

Lernziele

  • Du weisst, was unter einer expliziten Definition einer Folge zu verstehen ist und kannst sie aufstellen. Du kennst auch ihren praktischen Vorteil.

Weitere Links

Folge (Wikipedia)