Das Wichtigste in Kürze
Ist die Folge so definiert, dass von einem Glied zum nächsten, immer die gleiche Zahl $d$ addiert wird, so spricht man von einer arithmetischen Folge.
Die rekursive Definition der arithmetischen Folge ist:
\[ a_n = a_{n-1} + d \]
Die explizite Definition der arithmetischen Folge ist:
\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]
Häufigste Fragen
Definition
Die arithmetischen Folgen bilden, wie die geometrischen Folgen, eine Familie von Folgen, die eine ganz bestimmte Eigenschaft vereinen: Von einem Glied zum nächsten Glied wird immer der gleiche Betrag \(d\) addiert.
Mit \(d=1\) hätten wir z.B. die Folge der natürlichen Zahlen, wenn \(a_1=1\).
Mit \(d=-1\) kriegen wir eine fallende Folge, die z.B. beim Anfangswert \(b_1=100\) beginnt und von da an immer um den Betrag \(1\) fällt:
\[ (b_n) = 100, 99, 98, 97, … \]
Auch hier ist die Schrittweite immer die Gleiche und die Folge ist eine arithmetische Folge.
Beispiel
Stelle die rekursive und die explizite Definition der Folge \((a_n)\) auf. Zeige, dass es sich um eine arithmetische Folge handelt.
\[ (a_n) = 5.3,\,5.4,\,5.5,\,5.6,\,5.7,\,… \]
Rekursive Definition
Die arithmetische Folge wird am besten mit der rekursiven Definition beschrieben. Dazu brauchen wir ja nur gerade die Differenz \(d\), die jedesmal addiert wird:
\[ a_n = a_{n-1} + d \]
Explizite Definition
Allerdings ist die rekursive Definition nicht immer praktisch. Wenn wir z.B. das 94. Glied einer Folge bestimmen müssen, dann beginnen wir bei \(a_1\), addieren \(d\), um \(a_2\) zu kriegen und dann wieder, um \(a_3\) zu kriegen usw. Das Ganze 93 mal, bis wir bei \(a_{94}\) angekommen sind.
Natürlich würdest du das nicht tun, sondern gleich darauf kommen, dass du einfach das 93-fache von \(d\) addieren musst:
\[ a_{94} = a_1 + 93 \cdot d \]
Wenn wir dieses Beispiel nehmen und die 94 mit \(n\) verallgemeinern, kriegen wir:
\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]
Das ist auch schon die explizite Definition einer arithmetischen Folge, mit welcher wir ein Folgeglied direkt (mit nur einer Rechnung) bestimmen können.
Beispiel
Die beiden Glieder \(b_3 = 8\) und \(b_6 = 17\) gehören zu einer arithmetischen Folge \((b_n)\). Wie lauten die rekursive und die explizite Definition der Folge?
Beispiel
Von einer arithmetischen Folge kennst du die Glieder \(a_5 = 27.9\) und \(a_{12} = 59.4\).
Wie viel beträgt \(a_1\)?
Aufgabensammlung
Lernziele
- Du kennst die rekursive und explizite Definition der arithmetischen Folge.
- Du kannst arithmetische Folgen in passenden Anwendungen einsetzen.
Weitere Links
Arithmetische Folge (Wikipedia)
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