Das Wichtigste in Kürze

Mit der rekursiven Definition wird der Zahlenwert eines Folgeglieds $a_n$ mit Hilfe eines vorhergehenden Glieds $a_{n-1}$ beschrieben, indem wir das $n$-te Glied durch Einsetzen des Werts des $(n-1)$-ten Glieds berechnen, z.B.

\[ a_n = a_{n-1} + 1 \]

Damit ist der Schritt von einem Glied zum nächsten beschrieben, was aber noch nicht eindeutig ist. Es braucht noch eine zusätzliche Angabe von irgendeinem Glied der Folge, damit die Folge eindeutig beschrieben ist.

Meist wird das erste Glied festgelegt, z.B. $a_1 = 1$

Häufigste Fragen

Mit Hilfe der rekursiven Definition wird Folgeglied aufgrund des Werts des vorangehenden Glieds berechnet, z.B.

\[ a_n = a_{n-1} \cdot 3 \]

Die Folge könnte so aussehen:

\[ (a_n) = 2,\,6,\,18,\,54,\,…\]

Der Vorteil liegt darin, dass wir nur den Übergang von einem zum nächsten Glied richtig verstehen müssen, um die rekursive Definition aufzustellen. Bei der expliziten Definition wäre das höchstens ein erster Schritt.

Das Aufstellen einer rekursiven Definition ist deshalb einfacher.

Mit einer rekursiven Definition wird jedes Folgeglied aufgrund des vorangehenden Folgeglieds berechnet.

Wenn wir den Wert des ersten Glieds $a_1$ haben und wir $a_{100}$ berechnen müssen, braucht es 99 Rechnungen, weil wir die ganze Folge berechnen müssen, um bis zu $a_{100}$ zu gelangen.

Mit der expliziten Definition reicht eine Rechnung!

Im Unterschied zur expliziten Definition braucht die rekursive Definition den Wert des vorangehenden Folgeglieds und den Wert des ersten Glieds (oder eines anderen Glieds).

Für die Berechnung eines Folgeglieds an der $n$-ten Stelle  müssen wir uns durch die ganze Folge durchrechnen: Zuerst $a_2$, dann $a_3$, $a_4$ usw. bis wir beim gesuchten $a_n$ sind.

Ist eine rekursive Definition immer möglich? Meistens ist die rekursive Definition einfacher aufzustellen, als die explizite Definition.

Dennoch kann auch die rekursive Definition in gewissen Fällen sehr umständlich oder gar unmöglich sein.

Die einfache Folge der natürlichen Zahlen ($1, 2, 3, …$) kann explizit ausgedrückt werden als

\[ a_n = n \]

Sie kann aber auch anders beschrieben werden: Jedes Glied der Folge entspricht dem vorhergehenden Glied plus 1:

\[ a_n = a_{n-1} + 1 \]

Das “jetzige” Folgeglied hat den Zähler $n$. Das vorhergehende Glied hatte einen Zähler, der um eins kleiner war, deshalb $(n-1)$. Somit beschreiben wir den Wert des jetzigen Glieds $a_n$ mit Hilfe des Werts des vorhergehenden Glieds $a_{(n-1)}$.

Zu diesem Letzteren addieren wir 1. Sind wir mit der rekursiven Definition fertig? Nein, denn wir haben bis jetzt nur das Verhältnis von einem Glied zum nächsten beschrieben. Wir haben aber nicht definiert, welchen absoluten Wert wir haben.

“Das Finden der rekursiven Definition ist oft einfacher. Dafür kann das Berechnen eines Folgeglieds aufwendig werden!”

Wie lautet die rekursive Definition der Folge $(b_n)$ ?

\[ (b_n) = 1.2,\, 2.2,\, 3.2,\, 4.2,\, … \]

Wir haben hier die genau gleiche Definition wie vorhin und doch ist es nicht die Folge der natürlichen Zahlen.

Deshalb war die rekursive Definition noch nicht eindeutig.

Wenn wir aber irgendein Glied aus der Folge festlegen, ist klar, um welche Folge es sich handelt. Meistens wird das erste Glied $a_1$ definiert. Die Folge der natürlichen Zahlen müsste deshalb wie folgt definiert werden:

\[ a_n = a_{n-1} + 1 \quad \text{mit} \quad a_1=1 \]

Für die zweite Folge schreiben wir analog:

\[ b_n = b_{n-1} + 1 \quad \text{mit} \quad b_1=1.2 \]

Beachte, dass wir auch die rekursive Definition von $a_{n+1}$ aufstellen könnten. Wir beschreiben, wie $a_{n+1}$ aufgrund von $a_n$ berechnet wird. Für die Folge der natürlichen Zahlen wäre dies:

\[ a_{n+1} = a_n + 1 \quad \text{mit} \quad a_1=1 \]

Beispiel

Was ist die vollständige rekursive Definition der Folge $(a_n)$ ?

\[ (a_n) = 1,\,4,\,7,\,10,\,13,\,16,\,…\]

Wir sehen, dass von einem Folgeglied zum nächsten, jeweils 3 hinzu addiert werden. Deshalb liegt es nahe:

\[ a_n = a_{n-1} + 3 \]

Jetzt braucht es noch die Definition eines Folgeglieds. Wir setzen das erste Glied fest:

\[ a_1 = 1 \]

Damit ist die Folge $(a_n)$ eindeutig festgelegt.

Beispiel: Fibonacci-Folge

Was ist die rekursive Definition der Fibonacci-Folge?

\[ (c_k) = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … \]

Die Fibonacci-Folge ist ja so definiert, dass jedes Glied aus der Summe der beiden vorhergehenden Glieder berechnet wird:

\[ c_k = c_{k-2} + c_{k-1} \]

Um die Definition eindeutig zu machen, müssen wir hier zwei Glieder angeben, weil die Formel auch zwei Glieder beinhaltet. Ohne Angabe von $c_1$ und $c_2$ können wir das Glied $c_3$ gar nicht berechnen:

\[ c_3 = c_1 + c_2 = 1 + 1 = 2 \]

Somit ist die (vollständige) rekursive Definition der Folge:

\[ \underline{c_k = c_{k-2} + c_{k-1} \quad \text{mit} \quad c_1=1 \quad \text{und} \quad c_2=1} \]

Aufgabensammlung

Rekursive Definition (5008)

3 Aufgaben (total 16 Teilaufgaben) mit Lösungen (pdf/Video):

  • Folgen vervollständigen
  • Rekursive Definitionen aufstellen
  • Vergleich von unterschiedlichen Folgen mit gleichen rekursiven Definitionen

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Aufgabensammlung

  • Arithmetische und geometrische Folgen (5009) – Aufg. 2

  • Arithmetische und geometrische Folgen (5009) – Aufg. 4

  • Rekursive Definition (5008) – Aufg. 1

  • Rekursive Definition (5008) – Aufg. 2

  • Rekursive Definition (5008) – Aufg. 3

Lernziele

  • Du weisst, was unter einer rekursiven Definition einer Folge zu verstehen ist, warum sie manchmal einfacher ist aufzustellen und welchen Nachteil sie hat.
  • Du weisst, warum für die rekursive Definition mindestens ein Glied der Folge angegeben werden muss.

Weitere Links

Folge (Wikipedia)