Das Wichtigste in Kürze

Ist die Folge so definiert, dass von einem Glied zum nächsten, immer die gleiche Zahl $d$ addiert wird, so spricht man von einer arithmetischen Folge.

Die rekursive Definition der arithmetischen Folge ist:

\[ a_n = a_{n-1} + d \]

Die explizite Definition der arithmetischen Folge ist:

\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

Häufigste Fragen

Wenn von einem Folgeglied zum Nächsten der Abstand $d$ immer konstant gleich ist, dann ist die Folge eine arithmetische Folge, z.B.

\[ (a_n) = 4,\,6,\,8,\,10,\,12,\,… \quad (d=2) \]

\[ (b_n) = 3.1,\,1.6,\,0.1,\,-1.4,\,-2.9,\,… \quad (d=-1.5) \]

Eine arithmetische Folge ist ein bisschen wie eine Treppe mit konstant hohen Treppenstufen, egal ob die Treppe hinauf oder hinunterführt.

Nein, eigentlich nicht. Im Grenzfall $d=0$ haben wir eine Folge, wo alle Folgeglieder gleich sind, z.B.

\[ (a_n) = 3,\,3,\,3,\,3,\,3,\,3,\,… \]

Diese Folge ist natürlich konvergent zum Grenzwert 3, aber das ist eine eher theoretische Ausnahme, die etwas witzlos ist. ????

Bei der arithmetischen Folge wird von einem Folgeglied zum nächsten ein konstanter Wert $d$ hinzu addiert. Dieser Wert kann auch negativ sein. Er muss aber für die ganze Folge konstant sein, z.B.

\[ (a_n) = 10,\, 25,\, 40,\, 55,\, 70,\, … \quad (d=15) \]

Bei einer geometrischen Folge wird von einem Glied zum Nächsten mit einem konstanten Faktor $q$ multipliziert, der natürlich auch $q<1$ oder sogar $q<0$ sein kann, z.B.

\[ (a_n) = 5,\, 25,\, 125,\, 625,\, … \quad (q=5) \]

\[ (b_n) = 4,\,-2,\, 1,\, -\frac{1}{2},\, \frac{1}{4},\, … \quad (q=-\frac{1}{2}) \]

Definition

Die arithmetischen Folgen bilden, wie die geometrischen Folgen, eine Familie von Folgen, die eine ganz bestimmte Eigenschaft vereinen: Von einem Glied zum nächsten Glied wird immer der gleiche Betrag $d$ addiert.

Mit $d=1$ hätten wir z.B. die Folge der natürlichen Zahlen, wenn $a_1=1$.

Mit $d=-1$ kriegen wir eine fallende Folge, die z.B. beim Anfangswert $b_1=100$ beginnt und von da an immer um den Betrag $1$ fällt:

\[ (b_n) = 100, 99, 98, 97, … \]

Auch hier ist die Schrittweite immer die Gleiche und die Folge ist eine arithmetische Folge.

Beispiel

Stelle die rekursive und die explizite Definition der Folge $(a_n)$ auf. Zeige, dass es sich um eine arithmetische Folge handelt.

\[ (a_n) = 5.3,\,5.4,\,5.5,\,5.6,\,5.7,\,… \]

Wir erkennen, dass von einem Folgeglied zum nächsten immer die gleiche, d.h. konstante Differenz $d=0.1$ addiert wird. Deshalb handelt es sich um eine arithmetische Folge.

Die rekursive Definition ist einfach:

\[ \underline{a_n = a_{n-1} + 0.1, \quad (a_1 = 5.3)} \]

Für die explizite Definition braucht es da schon etwas mehr:

\[ \underline{a_n = 5.3 + (n-1) \cdot 0.1} \]

oder

\[ a_n = 5.2 + n \cdot 0.1 \]

Für das erste Glied, das ja 5.3 ist, addieren wir 0.1 noch nicht hinzu. Deshalb haben wir $(n-1)$, so dass für $n=1$ die Klammer null wird. Erst ab dem zweiten Glied $n=2$ wird einmal, d.h. $(n-1)$-mal die Zahl 0.1 hinzuaddiert.

Rekursive Definition

Die arithmetische Folge wird am besten mit der rekursiven Definition beschrieben. Dazu brauchen wir ja nur gerade die Differenz $d$, die jedesmal addiert wird: ????

\[ a_n = a_{n-1} + d \]

Explizite Definition

Allerdings ist die rekursive Definition nicht immer praktisch. Wenn wir z.B. das 94. Glied einer Folge bestimmen müssen, dann beginnen wir bei $a_1$, addieren $d$, um $a_2$ zu kriegen und dann wieder, um $a_3$ zu kriegen usw. Das Ganze 93 mal, bis wir bei $a_{94}$ angekommen sind.

Natürlich würdest du das nicht tun, sondern gleich darauf kommen, dass du einfach das 93-fache von $d$ addieren musst:

\[ a_{94} = a_1 + 93 \cdot d \]

Wenn wir dieses Beispiel nehmen und die 94 mit $n$ verallgemeinern, kriegen wir:

\[ a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \]

Das ist auch schon die explizite Definition einer arithmetischen Folge, mit welcher wir ein Folgeglied direkt (mit nur einer Rechnung) bestimmen können.

Beispiel

Die beiden Glieder $b_3 = 8$ und $b_6 = 17$ gehören zu einer arithmetischen Folge $(b_n)$. Wie lauten die rekursive und die explizite Definition der Folge?

Wir stellen eine unvollständige Tabelle für die Folge auf:

$n$1234567
$b_n$817

Wir sehen auf einen Blick, dass von $b_6$ drei Schritte von $b_3$ entfernt ist, d.h. wir addieren $d$ drei Mal und kriegen dann $b_6$:

\[ b_6 = b_3 + 3d \]

Diese drei Schritte entsprechen nicht nur der Differenz $3d$, sondern auch der Differenz der beiden Glieder. Wir subtrahieren $b_3$ von der Gleichung und erhalten:

\[ b_6 – b_3 = 3d \]

Die Differenz zwischen den beiden Gliedern beträgt $17 – 8 = 9$ und somit ist $3d = 9$ bzw. $d=3$.

Jetzt wo wir die Zahl kennen, mit welcher wir bei jedem Schritt addieren müssen, ist die arithmetische Folge bereits schon rekursiv definiert mit:

\[ b_n = b_{n-1} + 3 \]

Wir gehen von $b_3$ noch zwei Schritte zurück und erhalten 

\[ b_1 = b_3 – (2 \cdot 3) = 8 – (2 \cdot 3) = 2 \]

Damit ist die rekursive Definition der Folge:

\[ b_n = b_{n-1} + 3 \quad \text{mit} \quad b_1 = 2 \]

Für die explizite Definition verwenden wir jetzt sinngemäss die Formel $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$ und erhalten:

\[ \underline{b_n = 2 + (n-1) \cdot 3} \]

Beispiel

Von einer arithmetischen Folge kennst du die Glieder $a_5 = 27.9$ und $a_{12} = 59.4$.

Wie viel beträgt $a_1$?

Wir stellen mit Hilfe der expliziten Definition der arithmetischen Folge zwei Gleichungen auf mit zwei Unbekannten:

\[ a_5 = a_1 + (5-1) \cdot d = a_1 + 4d \]

\[ a_{12} = a_1 + (12-1) \cdot d = a_1 + 11d \]

$a_1$ und $d$ sind die beiden Unbekannten. Jetzt lösen wir die obere Gleichung nach $a_1$ auf…

\[ a_1 = a_5 – 4d \]

…und setzen sie in die untere Gleichung ein:

\[ a_{12} =  (a_5 – 4d) + 11d = a_5 + 7d \]

Wir lösen nach $d$ auf, indem wir $a_5$ subtrahieren und durch 7 teilen:

\[ d = \frac{a_{12} – a_5}{7} = \frac{59.4 – 27.9}{7} = \frac{31.5}{7} = 4.5 \]

Jetzt können wir eine der beiden ersten Gleichungen nehmen und $d$ einsetzen, um $a_1$ zu erhalten. Wir nehmen z.B. die erste Gleichung nach $a_1$ aufgelöst:

\[ a_1 = a_5 – 4d = 27.9 – 4 \cdot 4.5 = 27.9 – 18 = \underline{9.9} \]

Aufgabensammlung

Arithmetische und geometrische Folgen (5009)

5 Aufgaben (total 24 Teilaufgaben) mit Lösungen (pdf/Video):

  • Arithmetische und geometrische Folgen erkennen und ergänzen
  • Explizite und rekursive Definitionen von arithmetischen und geometrischen Folgen
  • Geometrisches Problem mit einer geometrischen Folge lösen

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Aufgabensammlung

  • Arithmetische und geometrische Folgen (5009) – Aufg. 1

  • Arithmetische und geometrische Folgen (5009) – Aufg. 2

Lernziele

  • Du kennst die rekursive und explizite Definition der arithmetischen Folge.
  • Du kannst arithmetische Folgen in passenden Anwendungen einsetzen.

Weitere Links

Arithmetische Folge (Wikipedia)