Das Wichtigste in Kürze

Die Folge $s_n$ heisst Reihe, weil sie die laufende Summe aller Glieder $a_k$ einer Folge ist, bis zur Stelle $n$:

\[ \begin{array}{rcl} s_1 & = & a_1 \\ s_2 & = & a_1 + a_2 \\ s_3 & = & a_1 + a_2 + a_3 \\ … \\ s_n & = & a_1 + a_2 + a_3 + … + a_{n-1} + a_n \]

Mit Hilfe eines Summenzeichens lässt sich das Gleiche auch folgendermassen schreiben:

\[ s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \]

Die Reihe bildet selber wieder eine Folge:

\[ (s_n) = s_1, \, s_2, \, s_3, \, s_4, \, s_5, \, … \]

Die meisten Reihen sind divergent, da die Summe immer grösser wird. Von besonderem Interesse sind aber konvergente Reihen, die mit unendlich vielen Summanden zu einem Grenzwert konvergieren.

Reihen von arithmetischen Folgen heissen arithmetische Reihen und solche von geometrischen Folgen heissen geometrische Reihen.

Häufigste Fragen

In Statistik und Wirtschaft machen laufende Summen sehr viel Sinn. Die täglichen Umsätze einer Unternehmung bilden eine Folge, die laufende Summe eine Reihe, die die “Umsätze bis dato” berechnet.

In der Mathematik werden meistens Strecken und Flächen in geometrischen Gebilden berechnet, die mit einer Folge beschrieben werden können.

Die wichtigsten Reihen sind:

  • arithmetische Reihe (zur arithmetischen Folge)
  • geometrische Reihe (zur geometrischen Folge)

Die arithmetische Reihe ist meistens etwas gar einfach.

Die geometrische Reihe ist etwas anspruchsvoller und kann unter Umständen konvergent sein. Sie ist deshalb als Prüfungsfrage sehr beliebt! ????

Ja, eine Reihe bildet selber auch wieder eine Folge von Zahlen.

Eine Reihe ist eine Teilsumme der Glieder einer Folge bis zur betrachteten Position. Die Folge $(a_k)$ der natürlichen Zahlen…

\[ (a_k) = 1,\,2, \, 3, \, 4, \, 5, \, … \]

…hat die folgende Reihe $(s_n)$ (laufende Summe):

\[ (s_n) = 1, \, 3, \, 6, \, 10, \, 15, \, … \]

Dabei wurde wie folgt gerechnet:

\[ \begin{array}{rcl} s_1 & = & 1 \\ s_2 & = & 1 + 2 \\ s_3 & = & 1 + 2 + 3 \\ … \\ s_n} & = & 1 + 2 + 3 + … + (n-1) + n \]

Die Folge $(a_k)$ der natürlichen Zahlen…

\[ (a_k) = 1,\,2, \, 3, \, 4, \, 5, \, … \]

…hat die folgende Reihe $(s_n)$ (laufende Summe):

\[ (s_n) = 1, \, 3, \, 6, \, 10, \, 15, \, … \]

Wenn wir nicht wüssten, dass $(s_n)$ die Reihe von $(a_k)$ ist, würden wir sie einfach als eine Folge betrachten, was sie auch ist.

Deshalb könnten wir jetzt eine Reihe einer Reihe aufstellen und dann eine Reihe einer Reihe einer Reihe usw. – ich überlasse das dir! ????

Zur Veranschaulichung betrachten wir ein Beispiel: Der Betreiber einer neuen Webseite führt Besucherstatistik und erfasst die tägliche Anzahl neuer Besucher. Diese Daten ergeben eine Zahlenfolge $(a_n)$ mit Zähler $n$:

$n$1234567
$a_n$210128141514

Der Betreiber der Webseite möchte jetzt aber wissen, wie viele Besucher die Seite bis dato schon gehabt hat, d.h. alle Besucher, die je auf die Seite gekommen sind.

Wir erweitern die Tabelle mit einer dritten Zeile, in welcher wir die Zahlen der Folge stets aufsummieren, d.h. die Zahl $s_n$ zeigt an, wie viele Besucher die Seite bis zum Tag $n$ gezählt hat:

\[ \begin{array}{rcl} s_1 & = & a_1 \\ s_2 & = & a_1 + a_2 \\ s_3 & = & a_1 + a_2 + a_3 \\ … \\ s_n & = & a_1 + a_2 + a_3 + … + a_{n-1} + a_n \]

$n$1234567
$a_n$210128141514
$s_n$2122432466175

Die Folge $s_n$ ist eine spezielle Folge, weil sie eigentlich die laufende Summe einer anderen Folge ($a_n$) ist.

“Wenn es zu jeder Folge eine Reihe gibt, die aber selber wieder eine Folge ist, dann können wir zu dieser Reihe wieder eine Reihe bilden.”

Spezielle Reihen

Unter den Reihen mit mathematischer Logik gibt es zahlreiche Beispiele, wobei v.a. die beiden ersten wichtig sind:

Bei einer laufenden Summe würden wir erwarten, dass alle Reihen divergent sind, d.h. immer grösser werden (sofern die Folgeglieder nicht negativ sind).

Interessanterweise gibt es konvergente Reihen, d.h. obwohl wir immer noch etwas hinzuaddieren, nähern wir uns einem Grenzwert! ????

Beispiel: Konvergente Reihe

Zeige auf, dass die Reihe der Folge $(a_n)$ konvergent ist und bestimme deren Grenzwert.

\[ (a_n) = 1,\,0.1,\,0.01,\,0.001,\,0.0001,\,… \]

Wir bilden die laufende Summe:

\[ \begin{array}{rcl} s_1 & = & 1 \\ s_2 & = & 1 + 0.1 = 1.1 \\ s_3 & = & 1 + 0.1 + 0.01 = 1.11 \\ s_4 & = & 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 = 1.111 \\ … \]

Wenn wir das immer weiter ins Unendliche führen, erhalten wir:

\[ s_{\infty} = 1.111111111… = 1.\overline{1} \]

Obwohl wir jedes Mal etwas hinzuaddieren, “explodiert” die laufende Summe nicht einfach, sondern wird jedes Mal nur um ein kleines bisschen grösser.

Der Grenzwert der unendlichen Summe ist:

\[ \underline{s_{\infty} = \frac{10}{9}} \]

Beispiel: Anspruchsvolle Reihe

Stelle die explizite Definition der Folge $(a_n)$ auf und berechne dann die unendliche Summe $s_\infty$ aller Folgeglieder:

\[ (a_n) = \frac{1}{2},  \frac{1}{6},  \frac{1}{12},  \frac{1}{20},  \frac{1}{30},  \frac{1}{42}, … \]

Um die explizite Definition dieser Folge zu finden, stellen wir eine kleine Tabelle auf:

$a_n$$\frac{1}{2}$$\frac{1}{6}$$\frac{1}{12}$$\frac{1}{20}$$\frac{1}{30}$$\frac{1}{42}$
$n$123456
$n+1$234567

Siehst du es schon? Der Nenner ist jeweils das Produkt $n(n+1)$. Somit haben wir die explizite Definition:

\[ a_n = \frac{1}{n(n+1)} \]

Gesucht ist jetzt die unendliche Summe $s_\infty$:

\[ \s_\infty = \sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k(k+1)} \Big) \]

Wir werden jetzt den Bruch etwas umschreiben, so dass wir zwei Brüche erhalten. OK, zugegeben, dazu muss ich etwas in die Trickkiste greifen ????:

\[ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k+1\;\;-k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} – \frac{k}{k(k+1)} \]

\[ = \frac{1}{k} – \frac{1}{k+1} \]

Mit Hilfe der Eigenschaft (1) des Summenzeichens schreibe ich die unendliche Summe als Summe von zwei Summenzeichen:

\[ s_\infty \;\;=\;\; \sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k(k+1)} \Big) \;\;=\;\; \sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k} \Big) – \sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k+1} \Big) \]

Ganz fies ist jetzt, dass die erste Summe der unendlichen Summe der harmonischen Reihe entspricht. Das Spezielle an der harmonischen Reihe ist, dass sie divergiert, obwohl die Folgeglieder immer kleiner werden, d.h. $\sum_{k=1}^{\infty} \big( \frac{1}{k} \big) \rightarrow \infty$.

Wir können das Problem aber umschiffen. Dazu ersetzen wir den Zähler im zweiten Summenzeichen mit $j=k+1$:

\[ s_\infty \;\;=\;\; \sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k} \Big) – \sum_{j=2}^{\infty} \Big( \frac{1}{j} \Big) \]

Das zweite Summenzeichen ist gleich wie das erste Summenzeichen, ausser dem ersten Summanden, der fehlt. Wir schreiben deshalb:

\[ s_\infty \;\;=\;\; \sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k} \Big) – \big(\sum_{j=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{j} \Big) \;-\; 1\big) \]

Ohne die Klammer, erhalten wir jetzt:

\[ s_\infty \;\;=\;\; \cancel{\sum_{k=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{k} \Big)} – \cancel{\sum_{j=1}^{\infty} \Big( \frac{1}{j} \Big)} \;+\; 1 \]

Unglaublich! Wir sind die beiden unendlichen Monster-Summen losgeworden! ????

\[ \underline{s_\infty = 1} \]

Aufgabensammlung

Reihen (5056)

5 Aufgaben (total 11 Teilaufgaben) mit Lösungen (pdf/Video):

  • Zahlensummen berechnen
  • Berechnung von arithmetischen und geometrischen Reihen

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Lernziele

  • Du weisst, wie eine Reihe als laufende Summe definiert ist und kannst erklären, warum eine Reihe auch eine Folge ist.
  • Du kannst eine Reihe mit dem Summenzeichen und der expliziten Definition einer Folge mathematisch kompakt ausdrücken.

Weitere Links

Reihe (Wikipedia)