Das Wichtigste in Kürze

Die arithmetische Reihe $s_n$ gehört zur arithmetischen Folge $a_n$.

Die Definition der Reihe folgt aus dem Trick von Gauss:

\[ s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Mit der Differenz $d$ statt dem Folgeglied $a_n$, erhalten wir mit Hilfe der expliziten Definition der arithmetischen Folge:

\[ s_n = \frac{n}{2} \cdot \big(2a_1 + (n-1)\cdot d\big) \]

Eine arithmetische Reihe entsteht, wie der Name suggeriert, wenn eine arithmetische Folge laufend aufsummiert wird. Schauen wir uns als Beispiel die einfachste arithmetische Folge an, die Folge der natürlichen Zahlen: $a_n = n$

$n$1234567
$a_n$1234567
$s_n$12610152128

Für das Reihenglied $s_n$ benötigen wir die laufende Summe der Folgeglieder $a_1$ bis $a_n$. In diesem Fall hier, gilt $(a_n=n)$, d.h. es ist die Summe der Zahlen von 1 bis $n$.

Dazu erinnern wir uns an den Trick von Gauss, mit welchem wir die aufsteigenden natürlichen Zahlen aufsummiert haben, bis zu einer oberen Grenze $n$ (siehe auch das nachfolgende Beispiel mit der Herleitung). ????

Aus den $n$ zu summierenden Zahlen bildete Gauss $\frac{n}{2}$ Pärchen, die alle die gleiche Summe ergaben, nämlich $(n+1)$.

\[ s_n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n}{2} \cdot (n+1) \]

Die hier betrachtete arithmetische Reihe gilt nur für eine darunter liegende arithmetische Folge mit $d=1$. Wir können aber den Trick von Gauss für alle arithmetischen Reihen anwenden und erhalten so einen allgemeinen Ausdruck:

\[ s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Beispiel: Reihe der Zehnerzahlen

Bestimme die Formel für die Reihe $s_n$ der Folge der Zehnerzahlen.

Die Zehnerzahlen sind eine arithmetische Folge mit der Schrittweite $d=10$:

\[ (a_n) = 10,\, 20,\, 30,\, 40,\, … \quad (d=10) \]

Wir benutzen jetzt die Formel für das Reihenglied $s_n$:

\[ s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Für $a_1$ setzen wir 10 ein und für $a_n$ die explizite Definition der arithmetischen Folge.

\[ s_n = \frac{n}{2} \cdot \big(10 + (10 + (n-1) \cdot 10 \big) \]

\[ = \frac{n}{2} \cdot (20 + 10n – 10) = \frac{n}{2} \cdot (10+10n) \]

\[ \underline{s_n = 5n(n+1)} \]

Wir können unsere Formel kurz überprüfen, z.B. für $s_4$:

\[ s_4 = 10 + 20 + 30 + 40 = 100 \]

Mit unserer gefundenen Formel:

\[ s_4 = 5 \cdot 4 \cdot (4+1) = 5 \cdot 4 \cdot 5 = 100 \]

Stimmt! ????

Beispiel: Herleitung Trick von Gauss

Leite mit Hilfe des Tricks von Gauss die Formel für $s_n$ für arithmetische Reihen her:

\[ s_n = \frac{n}{2} \cdot \big( a_1 + a_n \big) \]

Für das Reihenglied $s_n$ bilden wir die folgende Summe:

\[ s_n \;=\; a_1 + a_2 + … + a_{n-1} + a_n \]

Jetzt benutzen wir den Trick von Gauss und bilden Pärchen, zuerst das erste und das letzte Glied, dann das zweite und das zweitletzte Glied etc.

\[ s_n \;=\; (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + … \]

Das zweite Pärchen schauen wir uns genauer an. Das zweite Glied ist ja $a_2=a_1 + d$. Das zweitletzte Glied ist $a_{n-1} = a_n – d$:

\[ (a_2 + a_{n-1}) = \Big( \big( a_1 + d \big) + \big( a_n – d \big) \Big) \]

\[ (a_2 + a_{n-1}) = \big(a_1 + \cancel{d} + a_n – \cancel{d}\big) = a_1 + a_n \]

Auch hier ist das zweite Pärchen genau gleich gross, wie das erste Pärchen, nämlich einfach die Summe von $a_1$ und von $a_n$.

Da wir $n$ Folgeglieder haben und sie in Pärchen organisieren, hat es genau $\frac{n}{2}$ Pärchen. Für die Summe $s_n$ multiplizieren wir somit die Anzahl Pärchen $\frac{n}{2}$ mit ihrem Wert $(a_1 + a_n)$:

\[ \underline{s_n = \frac{n}{2} \cdot \big( a_1 + a_n \big)} \]

Damit hätten wir die Formel für $s_n$ hergeleitet.

Aufgabensammlung

  • Reihen (5056) – Aufg. 1

    3 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Summen berechnen mit Hilfe von arithmetischen Reihen

  • Reihen (5056) – Aufg. 2

    2 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Unbekannte arithmetische Folge

Lernziele

  • Du weisst, was unter einer arithmetischen Reihe zu verstehen ist.
  • Du kannst den Trick von Gauss auf arithmetische Reihen anwenden.
  • Du kannst die Glieder einer arithmetischen Reihe berechnen.
  • Du kannst in Anwendungen eine arithmetische Reihe erkennen und entsprechend für die Berechnung anwenden.

Weitere Links

Arithmetische Reihe (Wikipedia)