Das Wichtigste in Kürze

Die arithmetische Reihe \(s_n\) gehört zur arithmetischen Folge \(a_n\).

Die Definition der Reihe folgt aus dem Trick von Gauss:

\[ s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Mit der Differenz \(d\) statt dem Folgeglied \(a_n\), erhalten wir mit Hilfe der expliziten Definition der arithmetischen Folge:

\[ s_n = \frac{n}{2} \cdot \big(2a_1 + (n-1)\cdot d\big) \]

Eine arithmetische Reihe entsteht, wie der Name suggeriert, wenn eine arithmetische Folge laufend aufsummiert wird. Schauen wir uns als Beispiel die einfachste arithmetische Folge an, die Folge der natürlichen Zahlen: \(a_n = n\)

\(n\)1234567…
\(a_n\)1234567…
\(s_n\)12610152128…

Für das Reihenglied \(s_n\) benötigen wir die laufende Summe der Folgeglieder \(a_1\) bis \(a_n\). In diesem Fall hier, gilt \((a_n=n)\), d.h. es ist die Summe der Zahlen von 1 bis \(n\).

Dazu erinnern wir uns an den Trick von Gauss, mit welchem wir die aufsteigenden natürlichen Zahlen aufsummiert haben, bis zu einer oberen Grenze \(n\) (siehe auch das nachfolgende Beispiel mit der Herleitung).

Aus den \(n\) zu summierenden Zahlen bildete Gauss \(\frac{n}{2}\) Pärchen, die alle die gleiche Summe ergaben, nämlich \((n+1)\).

\[ s_n = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n}{2} \cdot (n+1) \]

Die hier betrachtete arithmetische Reihe gilt nur für eine darunter liegende arithmetische Folge mit \(d=1\). Wir können aber den Trick von Gauss für alle arithmetischen Reihen anwenden und erhalten so einen allgemeinen Ausdruck:

\[ s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Beispiel: Reihe der Zehnerzahlen

Bestimme die Formel für die Reihe \(s_n\) der Folge der Zehnerzahlen.

Die Zehnerzahlen sind eine arithmetische Folge mit der Schrittweite \(d=10\):

\[ (a_n) = 10,\, 20,\, 30,\, 40,\, … \quad (d=10) \]

Wir benutzen jetzt die Formel für das Reihenglied \(s_n\):

\[ s_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \]

Für \(a_1\) setzen wir 10 ein und für \(a_n\) die explizite Definition der arithmetischen Folge.

\[ s_n = \frac{n}{2} \cdot \big(10 + (10 + (n-1) \cdot 10 \big) \]

\[ = \frac{n}{2} \cdot (20 + 10n – 10) = \frac{n}{2} \cdot (10+10n) \]

\[ \underline{s_n = 5n(n+1)} \]

Wir können unsere Formel kurz überprüfen, z.B. für \(s_4\):

\[ s_4 = 10 + 20 + 30 + 40 = 100 \]

Mit unserer gefundenen Formel:

\[ s_4 = 5 \cdot 4 \cdot (4+1) = 5 \cdot 4 \cdot 5 = 100 \]

Stimmt! 😎

Beispiel: Herleitung Trick von Gauss

Leite mit Hilfe des Tricks von Gauss die Formel für \(s_n\) für arithmetische Reihen her:

\[ s_n = \frac{n}{2} \cdot \big( a_1 + a_n \big) \]

Für das Reihenglied \(s_n\) bilden wir die folgende Summe:

\[ s_n \;=\; a_1 + a_2 + … + a_{n-1} + a_n \]

Jetzt benutzen wir den Trick von Gauss und bilden Pärchen, zuerst das erste und das letzte Glied, dann das zweite und das zweitletzte Glied etc.

\[ s_n \;=\; (a_1 + a_n) + (a_2 + a_{n-1}) + … \]

Das zweite Pärchen schauen wir uns genauer an. Das zweite Glied ist ja \(a_2=a_1 + d\). Das zweitletzte Glied ist \(a_{n-1} = a_n – d\):

\[ (a_2 + a_{n-1}) = \Big( \big( a_1 + d \big) + \big( a_n – d \big) \Big) \]

\[ \require{cancel} (a_2 + a_{n-1}) = \big(a_1 + \cancel{d} + a_n – \cancel{d}\big) = a_1 + a_n \]

Auch hier ist das zweite Pärchen genau gleich gross, wie das erste Pärchen, nämlich einfach die Summe von \(a_1\) und von \(a_n\).

Da wir \(n\) Folgeglieder haben und sie in Pärchen organisieren, hat es genau \(\frac{n}{2}\) Pärchen. Für die Summe \(s_n\) multiplizieren wir somit die Anzahl Pärchen \(\frac{n}{2}\) mit ihrem Wert \((a_1 + a_n)\):

\[ \underline{s_n = \frac{n}{2} \cdot \big( a_1 + a_n \big)} \]

Damit hätten wir die Formel für \(s_n\) hergeleitet.

Aufgabensammlung

  • Reihen (5056) – Aufg. 1

    3 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Summen berechnen mit Hilfe von arithmetischen Reihen

  • Reihen (5056) – Aufg. 2

    2 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Unbekannte arithmetische Folge

Lernziele

  • Du weisst, was unter einer arithmetischen Reihe zu verstehen ist.
  • Du kannst den Trick von Gauss auf arithmetische Reihen anwenden.
  • Du kannst die Glieder einer arithmetischen Reihe berechnen.
  • Du kannst in Anwendungen eine arithmetische Reihe erkennen und entsprechend für die Berechnung anwenden.

Weitere Links

Arithmetische Folgen (AF)

Geometrische Reihen (GR)

Arithmetische Reihe (Wikipedia)

Autor dieses Artikels:

David John Brunner

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