Monotonie von Folgen

Beispiel

Die Folge \(0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, …\) ist monoton steigend. Nicht streng monoton, denn zwischendurch bleiben die Zahlenwerte konstant.

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Die Folge der natürlichen Zahlen \(1, 2, 3, 4, 5, 6, …\) ist streng monoton steigend, da sie immer nur zunimmt.

Betrachten wir noch ein anderes Beispiel:

Die harmonische Folge \(1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, …\) ist streng monoton fallend, da die Werte immer kleiner werden. Wir können dies aber auch algebraisch beweisen.

Wenn wir eine Folge betreffend Monotonie untersuchen wollen, schauen wir uns den Unterschied von einem zum nächsten Glied an. Wir nehmen irgendein Glied aus der Folge \(a_i\) und bilden die Differenz mit dem darauf folgenden Glied \(a_{i+1}\). Wir setzen dazu die explizite Definition der harmonischen Folge ein: \(a_i = \frac{1}{i}\)

\[ a_{i+1} – a_i \quad = \quad \frac{1}{i+1} – \frac{1}{i} \] 

Um die Differenz der beiden Brüche zu berechnen, machen wir sie zuerst gleichnamig.

\[ \frac{1}{i+1} – \frac{1}{i} = \frac{i}{i(i+1)} – \frac{i+1}{i(i+1)} = \frac{i – (i+1)}{i(i+1)} = – \frac{1}{i(i+1)} \] 

Damit haben wir für die Differenz vom Glied \(i\) zum nächsten Glied \(i+1\) in der harmonischen Folge:

\[ a_{i+1} – a_i  =  – \frac{1}{i(i+1)} \] 

Die Differenz ist abhängig von der Position \(i\) in der Folge. Wir können aber auch so schon erkennen, dass der Bruch immer negativ sein wird, unabhängig davon, was wir für \(i\) einsetzen. Je grösser das \(i\), desto grösser wird der Nenner und der Bruch wird vom Betrag her kleiner, aber negativ bleibt er allemal.

Wenn die Differenz von einem Glied zum Nächsten negativ ist, dann nimmt die Folge ab, sie ist fallend. Da die ermittelte Differenz auch nicht null sein kann, ist die Folge sogar streng monoton fallend.

Beispiel

Die Monotonie einer allgemeinen geometrischen Folge soll untersucht werden.

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Wir schauen uns wieder die Differenz zwischen einem Glied an der Position \(i\) und dem nächsten an der Position \(i+1\) an und setzen dafür die explizite Definition einer geometrischen Folge ein: \(a_i = a_1 \cdot q^{(i-1)}\)

\[ a_{i+1} – a_i = a_1 \cdot q^{((i+1)-1)} – a_1 \cdot q^{(i-1)} = a_1 \cdot q^{i} – a_1 \cdot q^{(i-1)} \]

Wir können sicherlich \(a_1\) ausklammern. \(q^i\) können wir nicht ausklammern, da rechts der Expontent um eins kleiner ist als \(i\). Wir können aber \(q^{i-1}\) ausklammern. Beispielsweise wenn \(i=4\) so haben wir \(q^i = q^4\) und \(q^{(i-1)} = q^3\) und können deshalb \(q^3\) ausklammern.

\[ a_{i+1} – a_i = a_1 \cdot q^{(i-1)} \cdot (q – 1) \]

Jetzt überlegen wir uns, was wir über das Vorzeichen aussagen können. Wir haben ein Produkt, bestehend aus drei Faktoren \(a_1\), \(q^{(i-1)}\) und \((q-1)\).

Fall	\(a_1\)	\(q^{(i-1)}\)	\((q-1)\)	\(\boldsymbol{a_{i+1}-a_i}\)
1	pos.	pos.	pos.	positiv
2	neg.	pos.	pos.	negativ
3	pos.	neg.	pos.	negativ
4	pos.	pos.	neg.	negativ
5	neg.	neg.	pos.	positiv
6	pos.	neg.	neg.	positiv
7	neg.	pos.	neg.	positiv
8	neg.	neg.	neg.	negativ

Wenn alle drei Faktoren positive Zahlen sind, dann ist auch deren Produkt positiv. Wenn zwei Faktoren negativ sind und der Dritte positiv, so ist das Produkt immer noch positiv. Wenn aber eine ungerade Anzahl von Faktoren (1 oder 3 Stück) negativ sind, dann ist auch das Produkt negativ.

Wir schliessen daraus: Die Folge ist monoton steigend, wenn die Anzahl negativer Faktoren null oder gerade ist, sonst ist sie monoton fallend.

Nehmen wir beispielsweise \(a_1=1\) und \(q=\frac{1}{2}\). Beide sind positiv, so dass wir \(q\) auch mit einem beliebigen Exponenten versehen können und immer noch etwas positives haben, d.h. \(q^{(i-1)}\) ist positiv. \((q-1)\) ist sicher negativ. Somit haben wir den Fall Nr. 4 und das Produkt der drei bzw. der Unterschied von einem Folgeglied zum nächsten ist negativ. Das heisst, dass diese geometrische Folge monoton fallend ist.