Folgen

Ordnung von Zahlen

Die erste Folge, die du je gelernt hast, ist die Folge der natürlichen Zahlen:

\[ 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, …. \]

Jede Zahl hat ihren ganz bestimmten Platz. Wir können jederzeit auch sagen, welche Zahl an 27. Stelle steht. Bei dieser Folge ist es einfach: natürlich die 27 selber!

Eine andere einfache Folge ist die Folge der Zehnerzahlen:

\[ 10, \, 20, \, 30, \, 40, \, 50, \, …. \]

Auch hier wissen wir, dass wir von einer Zahl zur nächsten einfach 10 addieren müssen. Wir können auch direkt sagen, dass z.B. die neunte Zahl in der Folge die 90 ist.

Eine Folge ist eine Zuordnung einer natürlichen Zahl \(n\) (Zähler) zum Zahlenwert \(a_n\):

\[ n \mapsto a_n \qquad (n \in \mathbb{N}, \, a_n \in \mathbb{R}) \]

Mit \(a_n\) wird der reelle Wert des \(n\)-ten Glieds verstanden. Mit der Klammer \((a_n)\) wird die ganze Folge beschrieben:

\[ (a_n) = a_1,\, a_2, \, a_3,\, a_4, \,… \]

Wenn hinter den Zahlenwerten der Folge eine mathematische Formel steckt, so kann sie mit Hilfe zweier Arten beschrieben werden:

• Explizite Definition: Formel für die direkte Berechnung jedes Zahlenglieds
• Rekursive Definition: Formel für die Berechnung des nächsten Zahlenglieds aufgrund des aktuellen Zahlenwerts

Unter den Folgen mit mathematischer Logik sind für uns vor allem zwei Folgearten von besonderem Interesse:

• Arithmetische Folgen: Folgen mit einem konstanten Abstand zwischen ihren Gliedern (analog zu linearen Funktionen)
• Geometrische Folgen: Folgen, deren Glieder von einem zum anderen mit einem konstanten Faktor multipliziert werden (analog zu Exponentialfunktionen)

Divergenz und Konvergenz

Wenn die Werte einer Folge immer noch grössere Werte annimmt und gewissermassen nach oben ”explodieren”, nennen wir das eine divergierende oder divergente Folge.

Beachte, dass die Werte auch nach unten (ins Negative) “explodieren” können.

Im Gegensatz dazu gibt es Folgen, die sich einem Zahlenwert annähern, sich diesem immer mehr ”anschmiegen”. Diese Folgen nennen wir konvergierend oder konvergent.

Eine Folge heisst bestimmt divergent, wenn die Beträge ihrer Glieder immer mehr und schneller zunehmen (oder abnehmen). Divergente Folgen ”explodieren” immer mehr, je weiter wir uns in der Folge bewegen.

Eine Folge heisst konvergent, wenn sie mit zunehmendem Zähler sich einem Grenzwert annähert.

Charakteristisch für konvergente Folgen sind die immer kleiner werdenden Schritte von einem Glied zum Nächsten.

Es gibt auch Folgen, die weder explodieren, noch sich einem Grenzwert annähern. Sie heissen unbestimmt divergent. Sie können z.B. dauernd zu- und abnehmen und sich nie festlegen.

Darstellung einer Folge

Da eine Folge eine Zuordnung von einer Zahl \(n\) auf eine andere Zahl \(a_n\) ist, haben wir immer Zahlenpaare

\[ \big(n, \, a_n \big) \]

Für jedes Folgeglied und damit für jedes Zahlenpaar, können wir einen Punkt mit den Koordinaten \(n\) und \(a_n\) in einem zweidimensionalen Koordinatensystem markieren.

Wir wählen für die horizontale Achse die natürlichen Zahlen \(n\) und für die vertikale Achse die reellen Zahlen \(a_n\).

Da die \(n\)-Werte natürliche Zahlen sind (1, 2, 3, …) und deshalb diskrete Schritte nehmen, gibt es keine Zwischenwerte wie z.B. 1.5. Es werden nur Punkte eingezeichnet, keine ausgezogenen Kurven. Die Höhe der Punkte kann beliebige Zwischenwerte annehmen, da \(a_n \in \mathbb{R}\).