Das Wichtigste in Kürze

Folgen sind eine Ordnung von Folgegliedern $a_n$ bzw. ist eine Folge eine Zuordnung einer natürlichen Zahl $n$ (Zähler) zum Zahlenwert $a_n$:

\[ n \mapsto a_n \qquad (n \in \mathbb{N}, \, a_n \in \mathbb{R}) \]

Mit $a_n$ wird der reelle Wert des $n$-ten Glieds verstanden. Jedes Folgeglied hat seine bestimmte Position in der Folge. Diese wird durch den Zähler $n$ angegeben.

Die ganze Folge wird mit einer Klammer $(a_n)$ beschrieben:

\[ (a_n) = a_1,  a_2,   a_3,   a_4,\,… \]

Eine Folge heisst:

    • bestimmt divergent: die Beträge der Folgeglieder nehmen immer mehr und schneller zu (oder ab). Sie “explodieren” immer mehr

    • konvergent: die Folgeglieder schmiegen sich einem Grenzwert an

    • unbestimmt divergent: Folgen, die weder explodieren, noch sich einem Grenzwert annähern

Häufigste Fragen

Eine Folge ist eine Ordnung von bestimmten Zahlen. Wir können sie z.B. als kleine Liste hinschreiben, z.B.

\[ 1, 2, 4, 8, 16, 32, … \]

…ist die Folge der Zweierpotenzen.

Messungen und Statistiken arbeiten immer mit Folgen, denn es sind bestimmte Zahlenwert, die aufeinander folgen.

Im Gegensatz zu Funktionen, die einen kontinuierlichen Verlauf haben, sind Folgen diskret, d.h. sie haben nur schrittweise wieder einen Wert. Ein Unternehmen kennt z.B. seine Umsatzzahlen am Ende eines jeden Quartals, nicht aber pro Tag oder pro Minute.

Die wichtigsten Folgen sind die

  • arithmetische Folge
  • geometrische Folge

Die arithmetische Folge ist meistens etwas gar einfach. Die geometrische Folge ist etwas anspruchsvoller und deshalb als Prüfungsfrage beliebter ????

“In einer Folge steht an jedem Platz eine bestimmte Zahl”

Ordnung von Zahlen

Die erste Folge, die du je gelernt hast, ist die Folge der natürlichen Zahlen:

\[ 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, 5, \, …. \]

Jede Zahl hat ihren ganz bestimmten Platz. Wir können jederzeit auch sagen, welche Zahl an 27. Stelle steht. Bei dieser Folge ist es einfach: natürlich die 27 selber!

Eine andere einfache Folge ist die Folge der Zehnerzahlen:

\[ 10, \, 20, \, 30, \, 40, \, 50, \, …. \]

Auch hier wissen wir, dass wir von einer Zahl zur nächsten einfach 10 addieren müssen. Wir können auch direkt sagen, dass z.B. die neunte Zahl in der Folge die 90 ist.

Eine Folge ist eine Zuordnung einer natürlichen Zahl $n$ (Zähler) zum Zahlenwert $a_n$:

\[ n \mapsto a_n \qquad (n \in \mathbb{N}, \, a_n \in \mathbb{R}) \]

Mit $a_n$ wird der reelle Wert des $n$-ten Glieds verstanden. Mit der Klammer $(a_n)$ wird die ganze Folge beschrieben:

\[ (a_n) = a_1,\, a_2, \, a_3,\, a_4, \,… \]

Wenn hinter den Zahlenwerten der Folge eine mathematische Formel steckt, so kann sie mit Hilfe zweier Arten beschrieben werden:

Unter den Folgen mit mathematischer Logik sind für uns vor allem zwei Folgearten von besonderem Interesse:

  • Arithmetische Folgen: Folgen mit einem konstanten Abstand zwischen ihren Gliedern (analog zu linearen Funktionen)
  • Geometrische Folgen: Folgen, deren Glieder von einem zum anderen mit einem konstanten Faktor multipliziert werden (analog zu Exponentialfunktionen)

Beispiel: Fibonacci-Folge

Eine etwas interessantere Folge ist die sog. Fibonacci-Folge :

\[ 1,\, 1,\, 2,\, 3,\, 5,\, 8,\, 13,\, 21,\, …. \]

Schreib weitere 3 Glieder der Folge auf.

Wenn du immer zwei Glieder der Folge addierst, erhältst du das nächste Glied, d.h. nach 13, 21, … folgt:

\[ 13 + 21 = 34 \]

Dann bilden wir die nächste Summe:

\[ 21 + 34 = 55 \]

Und schliesslich erhalten wir:

\[ 34 + 55 = 89 \]

Somit ist die Fibonacci-Folge um drei weitere Glieder erweitert:

\[ (a_n) = 1,\, 1,\, 2,\, 3,\, 5,\, 8,\, 13,\, 21,\, \underline{34, \, 55, \, 89}, \, …. \]

Divergenz und Konvergenz

Wenn die Werte einer Folge immer noch grössere Werte annimmt und gewissermassen nach oben ”explodieren”, nennen wir das eine divergierende oder divergente Folge.

Beachte, dass die Werte auch nach unten (ins Negative) “explodieren” können.

Im Gegensatz dazu gibt es Folgen, die sich einem Zahlenwert annähern, sich diesem immer mehr ”anschmiegen”. Diese Folgen nennen wir konvergierend oder konvergent.

Eine Folge heisst bestimmt divergent, wenn die Beträge ihrer Glieder immer mehr und schneller zunehmen (oder abnehmen). Divergente Folgen ”explodieren” immer mehr, je weiter wir uns in der Folge bewegen.

Eine Folge heisst konvergent, wenn sie mit zunehmendem Zähler sich einem Grenzwert annähert.

Charakteristisch für konvergente Folgen sind die immer kleiner werdenden Schritte von einem Glied zum Nächsten. ????

Es gibt auch Folgen, die weder explodieren, noch sich einem Grenzwert annähern. Sie heissen unbestimmt divergent. Sie können z.B. dauernd zu- und abnehmen und sich nie festlegen.

Beispiel: Divergenz und Konvergenz

Schreib drei weitere Glieder auf und untersuche die Folgen auf Divergenz/Konvergenz:

a) $(a_n) = 1,\,4,\,9,\,16,\,25,\,36,\,…$
b) $(b_n) = -10,\,-100,\,-1000,\,-10’000,\,…$
c) $(c_n) = 3,\, -3,\, 3, \, -3, \, 3, \, -3, \, …$
d) $(d_n) = 4,\, 2, \, 1, \, \frac{1}{2}, \, \frac{1}{4}, \, …$

a) Wir erkennen die Quadratzahlen und ergänzen die Folge um drei weitere Folgeglieder:

\[ (a_n) = 1,\,4,\,9,\,16,\,25,\,36,\, \underline{49,\, 64, \, 81}, \, … \]

Diese Folge macht immer grössere Schritte und wird dadurch immer schneller und grösser. Sie ist deshalb bestimmt divergent.

b) Hier handelt es sich um negative Zehnerpotenzen. Wir schreiben somit:

\[ (b_n) = -10,\,-10^2,\,-10^3,\,-10^4,\, \underline{-10^5,\,-10^6,\,-10^7},\,… \]

Da auch hier die Werte, vom Betrag her, immer grösser werden (wenn auch im Negativen), so ist auch diese Folge bestimmt divergent.

c) Diese Folge schwingt immer hin und her. Sie legt sich nicht fest und ist deshalb unbestimmt divergent:

\[ (c_n) = 3,\, -3,\, 3, \, -3, \, 3, \, -3, \, \underline{3,\,-3,\,3},\,… \]

d) Diese Folge nimmt zwar ab, jedoch werden die Schritte immer kleiner. Die Werte der Folge schmiegen sich dem Grenzwert null an, d.h. die Folge ist konvergent.

\[ (d_n) = 4,\, 2, \, 1, \, \frac{1}{2}, \, \frac{1}{4}, \, \underline{\frac{1}{8}, \, \frac{1}{16}, \, \frac{1}{32}}, \, … \]

Darstellung einer Folge

Da eine Folge eine Zuordnung von einer Zahl $n$ auf eine andere Zahl $a_n$ ist, haben wir immer Zahlenpaare

\[ \big(n, \, a_n \big) \]

Für jedes Folgeglied und damit für jedes Zahlenpaar, können wir einen Punkt mit den Koordinaten $n$ und $a_n$ in einem zweidimensionalen Koordinatensystem markieren.

Wir wählen für die horizontale Achse die natürlichen Zahlen $n$ und für die vertikale Achse die reellen Zahlen $a_n$.

Da die $n$-Werte natürliche Zahlen sind (1, 2, 3, …) und deshalb diskrete Schritte nehmen, gibt es keine Zwischenwerte wie z.B. 1.5. Es werden nur Punkte eingezeichnet, keine ausgezogenen Kurven. Die Höhe der Punkte kann beliebige Zwischenwerte annehmen, da $a_n \in \mathbb{R}$.

Beispiel

Stelle die folgende Folge grafisch dar:

\[ a_n=\frac{n^2}{10} \]

Aufgabensammlung

(Zu diesem Thema gibt es noch keine Aufgaben)

Lernziele

  • Du weisst, dass Folgen eine Zuordnung einer natürlichen Zahl $n$ zu einer reellen Zahl $a_n$ ist. Du kennst auch die Begrifflichkeiten und Notationen.
  • Du weisst, was unter Konvergenz und Divergenz zu verstehen ist und kannst es in eigenen Worten ausdrücken bzw. bezüglich einer Folge anwenden. Du kennst auch den Unterschied zwischen bestimmter und unbestimmter Divergenz.
  • Du weisst, dass eine Folge als eine Menge von Zahlenpaaren z.B. $(n,\, a_n)$ in einem Diagramm dargestellt werden kann. Du bist in der Lage die Punkte einer Folge in einem solchen Diagramm zu skizzieren.

Weitere Links

Folge (Wikipedia)