Das Wichtigste in Kürze

Ein Weg-Zeit-Diagramm (s,t-Diagramm) hat meistens als horizontale Achse die Zeitachse und als vertikale Achse die Ortskoordinate, die für eine bestimmte Position, die eine eindimensionalen Strecke definiert.

Wenn wir einen Abschnitt auf der Zeitachse meinen, dann ist das eine Zeitperiode $\Delta t$, z.B. von 7:30 Uhr bis 8:30 Uhr, d.h. eine Stunde:

\[ \Delta t = t_2 – t_1 \]

Da die Zeitperiode als Differenz von zwei Zeitpunkten berechnet wird, schreiben wir sie mit einem $\Delta$ (griechischer Buchstabe “Delta”, stellvertretend für “D” bzw. “Differenz”).

Wenn wir eine Strecke $\Delta s$ meinen, dann bilden wir ebenfalls die Differenz der beiden Ortskoordinaten:

\[ \Delta s = s_2 – s_1 \]

Im s,t-Diagramm können wir eine Geschwindigkeit als Steigung ablesen, denn es gilt das Steigungsdreieck:

\[ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \]

Stillstand bedeutet keine Geschwindigkeit und ist im s,t-Diagramm eine Horizontale.

Nimmt die Ortskoordinate mit der Zeit ab, kriegen wir eine negative Steigung. Sie steht für eine “negative Geschwindigkeit”, die nichts anderes bedeutet als eine Bewegung zurück.

Häufigste Fragen

Für ein Weg-Zeit-Diagramm werden alle Positionen zu ihren Zeitpunkten im Diagramm jeweils als Punkt eingetragen. Damit ist für jeden Zeitpunkt festgehalten, wo das Objekt der Bewegung sich befunden hat.

Bewegt sich das Objekt zwischen zwei Orten mit konstanter Geschwindigkeit, so können wir den Startpunkt als einen Punkt im s,t-Diagramm eintragen, mit den Koordianten $(t_1,s_1)$, d.h. Startort $s_1$ und Zeitpunkt des Starts $t_1$.

Dann tragen wir den Zielpunkt ein, d.h. den Punkt mit den Koordinaten Zielort $s_2$ und Zeit bei Ankunft im Ziel $t_2$: ($t_2,s_2$)

Jetzt verbinden wir die beiden Punkte mit einer geraden Linie, die somit eine konstante Steigung hat. Die konstante Steigung entspricht der Geschwindigkeit zwischen Startort und Zielort.

“Weg” und “Zeit” sind zwei unabhängige Koordinaten im Diagramm, wobei wir statt “Weg” eigentlich eher “Position” sagen müssten. Die Art und Weise, wie sich die beiden Koordinaten verändern, beschreiben die Bewegung.

Ein Punkt im s,t-Diagramm entspricht einem ganz bestimmten Zeitpunkt und einem ganz bestimmten Ort, d.h. es ist ein Schnappschuss der Bewegung. Zu diesem Zeitpunkt war das Objekt an diesem Ort.

Wenn der Ort gleich bleibt, die Zeitkoordinate aber zunimmt, dann verstreicht die Zeit, ohne dass der Ort sich ändert: Das ist die Darstellung eines Halts mit einer horizontalen Linie.

Wenn die Ortskoordinate zunimmt, heisst das, dass das Objekt vorwärts geht und zwar in der Richtung, die wir für unser Diagramm gewählt haben. Nimmt die Ortskoordinate ab, heisst das, das Objekt bewegt sich rückwärts bzw. zurück.

Bei allen Bewegungen verstreicht ein bisschen Zeit, d.h. die horizontale Koordinate nimmt ein bisschen zu. Für eine Vorwärtsbewegung gibt das uns eine positive Steigung von unten links nach oben rechts.

Die Geschwindigkeit $v$ ist die Änderung der Position $s$ pro Zeit $t$. Für die Änderung bilden wir die Differenz zwischen nachher (2) und vorher (1). Die Strecke ist somit die Koordinate nachher minus die Koordinate vorher, z.B. Kilometerstand 16 (nachher) – Kilometerstand 12 (vorher), also 4 km vorwärts gekommen:

\[ \Delta s = s_2 – s_1 \]

Für die Zeit geht das analog. Zeipunkt nachher minus Zeitpunkt vorher gibt uns die Zeitperiode, die dabei verstrichen ist, z.B. 9 Uhr – 7 Uhr = 2 Stunden

\[ \Delta t = t_2 – t_1 \]

Damit ist die Änderung der Position pro Zeit:

\[ v = \frac{\Delta s}{\Delta t} \]

Das entspricht gleichzeitig dem Steigungsdreieck im s,t-Diagramm, wenn $s$ die vertikale und $t$ die horizontale Koordinate ist. Die Geschwindigkeit entspricht der Steigung im s,t-Diagramm.

“Der Nullpunkt und die Richtung sind eine rein willkürliche Definitionssache, ohne physikalische Bedeutung.”

Weg-Zeit-Diagramm (Bahn)
Weg-Zeit-Diagramm (Bahn)

In einem s,t-Diagramm oder Weg-Zeit-Diagramm wird eine Position ($s$-Koordinate) über die Zeit $t$ aufgetragen. Die Darstellung ist nützlich, um eine eindimensionale Bewegung zu beschreiben oder Aussagen über diese Bewegung machen zu können.

Beispielsweise kann die Geschwindigkeit als Steigung im s,t-Diagramm oder die Beschleunigung als Krümmung abgelesen werden. Das s,t-Diagramm zeigt uns aber auch Haltepausen, die Richtung der Bewegung, Kreuzungsorte oder -zeitpunkte etc.

Weg-Zeit-Diagramme werden als “Bildfahrpläne” beispielsweise in der Disposition von Zügen oder Bussen eingesetzt. Üblicherweise wird die Zeit auf der horizontalen Achse und die Position $s$ auf der eindimensionalen Strecke auf der vertikalen Achse aufgetragen.

Wichtigste Grundmuster:

  • Vorwärtsbewegung (langsam): von links unten nach rechts oben, leicht steigend (relativ flach)
  • Vorwärtsbewegung (schnell): von links unten nach rechts oben, stark steigend (steil)
  • Halt: horizontaler Verlauf ($t$ nimmt zu, $s$ bleibt gleich)
  • Rückfahrt: von links oben nach rechts unten

Die Strecke gilt als eindimensional, weil sie durch eine einzige Dimension, dem Parameter $s$ beschrieben ist. ????

Wir müssen sie als Ortskoordinate verstehen. Wenn wir beispielsweise den Kilometer 14 auf einer definierten Route meinen, so ist der Ort klar definiert. Wir können an diesem Ort auch einen “Kilometerstein” aufstellen.

Natürlich bewegt sich die Route selber im dreidimensionalen Raum, d.h. mal nach links, dann nach rechts, mal hoch, mal runter. Da die Bewegung aber an der Strasse oder Schiene gebunden ist, können wir uns nur entlang der Strasse/Schiene in einer Dimension uns bewegen:

  • vorwärts (Ortskoordinate nimmt im Wert zu)
  • rückwärts (Ortskoordinate nimmt im Wert ab)
  • Halt/Stillstand (Ortskoordinate bleibt konstant)

Eine andere Bewegung als vorwärts/Halt/rückwärts ist im eindimensionalen Fall mit der einen Dimension $s$ nicht erlaubt. Wir müssten eine weitere, zweite Dimension einführen.

Beachte auch, dass der Nullpunkt und die Richtung auf der Strasse oder Schiene, eine rein willkürliche Definitionssache ist. Wir sind frei diese Definition vorzunehmen und zu sagen, was für die Bewegung definitionsgemäss vorwärts sein soll, d.h. in welcher Richtung $s$ zunehmen wird.

Diese Definition hat keine physikalische Bedeutung, d.h. die Physik der Bewegung kann mit verschiedenen s,t-Diagrammen beschrieben werden, ohne dass sich die Bewegung ändert.

Beispiel: Zeichnen eines s,t-Diagramms

Ein Schnellzug fährt von Zürich nach St. Gallen mit dem folgenden Fahrplan. Wie sieht das s,t-Diagramm aus?

BhfZürichFlughafenWinterthurSt. Gallen
an18:4218:5719:35
ab18:3318:4418:59

So sieht das vereinfachte s,t-Diagramm dazu aus. Natürlich kennen wir den genauen Geschwindigkeitsverlauf über die Zeit nicht. Wir haben deshalb die Geschwindigkeit jeweils konstant angenommen (konstante Steigung zwischen zwei Bahnhöfen).

Wir sehen, dass der Zug offenbar zwischen Winterthur und St. Gallen im Schnitt schneller unterwegs ist, als etwa zwischen Zürich und dem Flughafen. Wir können auch die Haltezeiten von den Fahrzeiten gut unterscheiden.

Aufgabensammlung

Zwei Züge (0028)

4 Aufgaben mit Lösungen (pdf/Video):

  • Aufstellen eines Weg-Zeit-Diagramms
    (s,t-Diagramm)
  • Analyse des Diagramms (Kreuzungsorte und Zeitpunkte)

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Aufgabensammlung

  • Zwei Züge (0028)

Lernziele

  • Du weisst, wie ein s,t-Diagramm gezeichnet wird und wie der Verlauf einer Bewegung “gelesen” wird.
  • Du verstehst, wie ”vorwärts” und ”rückwärts” zu verstehen sind und warum es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, auch wenn sie im 3-dimensionalen Raum stattfindet.

Weitere Links

Bildfahrplan (Wikipedia)