Das Wichtigste in Kürze
Eine Gerade \(g\) durchstösst eine Ebene \(E\) in einem Punkt \(P\).
\[ g \cap E = \big\{ P \big\} \]
Diesen Durchstosspunkt \(P\) erhalten wir durch Gleichsetzen der Geraden- und Ebenengleichung und durch Lösen des Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten:
\[ \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \;\; \stackrel{!}{=} \;\; \overrightarrow{OB} + \lambda \cdot \vec{a} \]
\[ \rightarrow \quad (\lambda_1, \lambda_2, \lambda) \quad \rightarrow \quad P(P_x,P_y,P_z) \]
Sollte die Gerade parallel zur Ebene verlaufen (\(g \parallel E\)), so können wir irgendeinen Punkt auf der Geraden nehmen und seinen Abstand zur Ebene \(d\) berechnen.
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Eine Gerade \(g\) wird im allgemeinen Fall die Ebene \(E\) durchstossen und somit einen gemeinsamen Punkt \(P\) haben. Diesen Punkt erhalten wir, indem wir die Ebenengleichung und die Geradengleichung gleichsetzen. Wir verlangen, dass die Ebenengleichung, die alle Ortsvektoren zu den Punkten \(P \in E\) gibt…
\[ E \colon \quad \overrightarrow{OP} \; = \; \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \]
…die gleichen Koordinaten des gleichen Punkts \(P\) liefert, wie die Geradengleichung von \(g\), die uns alle Ortsvektoren der Punkte \(P \in g\) liefert:
\[ g \colon \quad \overrightarrow{OP} \; = \; \overrightarrow{OB} + \lambda \cdot \vec{a} \]
Das Gleichsetzen führt zu einem Gleichungssystem mit drei Gleichungen (je eine Gleichung pro Koordinate) und drei Unbekannten, \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) in der Ebenengleichung und \(\lambda\) in der Geradengleichung. Die Lösung ist die genaue Einstellung dieser drei Parameter, so dass der gemeinsame Punkt \(P\) erreicht wird:
\[ \overrightarrow{OA} + \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} \;\; \stackrel{!}{=} \;\; \overrightarrow{OB} + \lambda \cdot \vec{a} \]
\[ \lambda_1 \cdot \vec{a_1} + \lambda_2 \cdot \vec{a_2} – \lambda \cdot \vec{a} \;\; = \;\; \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} \]
Für die drei Koordinaten ergibt sich das Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) und \(\lambda\):
\[ \begin{cases} \lambda_1 \cdot a_{1,x} + \lambda_2 \cdot a_{2,x} – \lambda \cdot a_x \;\; = \;\; OB_x – OA_x \\ \lambda_1 \cdot a_{1,y} + \lambda_2 \cdot a_{2,y} – \lambda \cdot a_y \;\; = \;\; OB_y – OA_y \\ \lambda_1 \cdot a_{1,z} + \lambda_2 \cdot a_{2,z} – \lambda \cdot a_z \;\; = \;\; OB_z – OA_z \end{cases} \]
Beispiel
Finde den Durchstosspunkt \(P\) der Geraden \(g\) durch die \((y,z)\)-Ebene.
\[ g \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \\ -2 \end{pmatrix} \]
Beispiel
Wie steht die Gerade \(g\) im Vergleich zur Ebene \(E\)? Finde den Durchstosspunkt \(Q\) (sofern vorhanden) oder berechne den Abstand \(d\), falls \(g \parallel E\).
\[ g \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \]
\[ E \colon \;\; \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda_1 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda_2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \]
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