Wir nehmen ein möglichst allgemeines Binom, das aus den zwei Summanden \(a\) und \(b\) besteht. Wir werden v.a. die Kombinationen der Binome \((a+b)\) und \((a-b)\) uns näher anschauen.
Die Multiplikation von \((a+b)\) mit sich selbst ergibt:
\[ (a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) \]
\[ = a^2 + ab + ba + b^2 \]
\[ = a^2 + 2ab + b^2 \]
Zuerst multiplizieren wir das linke \(a\) mit dem rechten \(a\), dann wieder das linke \(a\) mit dem rechten \(b\), dann das linke \(b\) mit dem rechten \(a\) und schliesslich das linke \(b\) mit dem rechten \(b\). Die beiden Terme \(ab + ba\) sind ja gleich, also können wir sie zusammenlegen zu \(2ab\).
Die zweite binomische Formel erhalten wir auf analoge Weise:
\[ (a-b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) \]
\[ = a^2 – ab – ba + b^2 \]
\[ = a^2 – 2ab + b^2 \]
Schliesslich schauen wir uns noch das gemischte Produkt an:
\[ (a+b) \cdot (a-b) \]
\[ = a^2 – ab + ba – b^2 \]
\[ = a^2 – b^2 \]
Damit haben wir die drei binomischen Formeln erhalten, die wir unbedingt auswendig lernen sollten (siehe Kasten). Sie kommen so oft vor, dass es sich dafür wirklich lohnt. Wenn wir sie einmal gut kennen, können wir viele Aufgaben elegant lösen.
Die binomischen Formeln:
\[ (a+b)^2 \; = \; a^2 + 2ab + b^2 \hspace{2cm} \text{(1)} \]
\[ (a-b)^2 \; = \; a^2 – 2ab + b^2 \hspace{2cm} \text{(2)} \]
\[ (a+b) \cdot (a-b) \; = \; a^2 – b^2 \hspace{2cm} \text{(3)} \]
Beispiel
Welches Binom ergibt das Polynom \(x^2-6x+9\) wenn wir es quadrieren?
Wir erkennen die Struktur der zweiten binomischen Formel, denn der erste und der letzte Term sind beides Quadrate und der mittlere Term ist negativ.
\[ x^2-6x+9 = a^2 – 2ab + b^2 \]
Wenn wir uns den ersten Term anschauen, erhalten wir \(a=x\). Der letzte Term gibt uns dann \(b=3\). Der mittlere Term dient uns schliesslich als Kontrolle:
\[ 2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x \]
Wir können deshalb schreiben:
\[ x^2-6x+9 = a^2 – 2ab + b^2 \]
\[ = (a-b)^2 = \underline{(x-3)^2} \]
Anwendung binomischer Formeln
In einem Polynom könnte eine binomische Formel versteckt sein. Wenn wir diese gut kennen, können wir sie im Polynom erkennen und somit auf einfache Weise zu den zwei Faktoren gelangen.
Beispiel
Wenden Sie die binomischen Formeln an, um den folgenden Ausdruck in Faktoren zu zerlegen:
\[ 56fg + 49f^2 + 16g^2 \]
Du erkennst im Polynom zwei Quadratterme: \(49f^2\) ist das Quadrat von \(7f\) und \(16g^2\) ist das Quadrat von \(4g\). Jetzt schaust du dir den mittleren Term an. Er hat ein positives Vorzeichen, d.h. es könnte sich um die erste binomische Formel \(a^2+2ab+b^2\) handeln. Wenn dem so ist, dann müsste der mittlere Term \(2ab\) entsprechen.
Aus den Quadrattermen folgt: \(a=7f\) und \(b=4g\). Somit ist \(2ab=2 \cdot 7f \cdot 4g=56fg\). Es stimmt! Das Polynom ist wirklich eine versteckte binomische Formel:
\[ 49f^2 + 56fg + 16g^2 = \underline{(7f + 4g)^2} \]
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