Innere Teilung

In der obigen Abbildung wird eine gegebene Strecke im Verhältnis $3:2$ aufgeteilt, d.h. die Strecke $\overline{AB}$ soll durch den Punkt $P$ so geteilt werden, dass

\[ \frac{\;\;\overline{AP}\;\;}{\overline{PB}}=\frac{\;3\;}{2} \]

Die Konstruktion ist ähnlich zur [[1_1_vervielfachen_und_teilen_einer_strecke|einfachen Teilung]].

Konstruktion

  • Wir zeichnen zwei Hilfsgeraden in einem beliebigen spitzen Winkel und so dass sie parallel sind.
  • Wir tragen eine beliebige kleine Teilstrecke $3$-fach bzw. $2$-fach mit dem Zirkel ab.
  • Wir verbinden die beiden Endpunkte und erhalten so den Punkt $P$, der unsere Strecke im Verhältnis $3:2$ teilt.

Beispiel

Wie konstruieren Sie 37.5% einer gegebenen Strecke?


Die gegebene Strecke muss in zwei Stücke von 37.5% und 62.5% aufgeteilt werden, bzw.

\[ \frac{\text{37.5\%}}{\text{62.5\%}} = \frac{\;\;\frac{3}{8}\;\;}{\frac{5}{8}} = \frac{3}{5} \]

Wir teilen die Strecke im Verhältnis $3:5$. Das linke Teilstück entspricht dann $\frac{3}{8}$ = 37.5%.

Eine gegebene Strecke kann konstruktiv in einem beliebigen Verhältnis $a:b$ aufgeteilt werden, indem auf zwei parallelen Hilfsgeraden die gleiche beliebige Teilstrecke $a$-fach bzw. $b$-fach mit dem Zirkel abgetragen wird. Die Verbindung der beiden Endpunkte auf den Hilfsgeraden gibt uns den gesuchten Teilungspunkt $P$.

Wenn dieser Teilungspunkt auf der Strecke ist, spricht man von innerer Teilung.

Äussere Teilung

Eine Strecke kann auch geteilt werden, so dass der Punkt der Teilung $P$ nicht zwischen $A$ und $B$, sondern ausserhalb der gegebenen Strecke zu liegen kommt. Wie bei der inneren Teilung, vergleichen wir die beiden Teilstrecken $\overline{AP}$ und $\overline{PB}$. Für die äussere Teilung in der obigen Abbildung gilt:

\[ \frac{\;\;\overline{AP}\;\;}{|\overline{PB}|}=\frac{\;\;\overline{AP}\;\;}{|\overline{BP}|}=\frac{\;5\;}{2} \]

Beachten Sie, dass durch die Umkehrung von $\overline{PB}$ zu $\overline{BP}$, das Vorzeichen wechselt. Da wir uns hier nicht um das Vorzeichen kümmern möchten, haben wir die Betragsstriche hinzugefügt.

Konstruktion

  • Wir zeichnen zwei Hilfsgeraden in einem beliebigen spitzen Winkel und so dass sie parallel sind.
  • Wir tragen eine beliebige kleine Teilstrecke $5$-fach bzw. $2$-fach mit dem Zirkel ab.
  • Wir verbinden die beiden Endpunkte und erhalten so eine neue Hilfsgerade, die wir verlängern
  • Der Schnittpunkt der neuen Hilfsgeraden mit der Verlängerung der Strecke gibt uns den Punkt $P$, der unsere Strecke im Verhältnis $5:2$ teilt.

Zu einer gegebenen Strecke kann konstruktiv ein Teilungspunkt $P$ gefunden werden, dessen Abstände zu den beiden Endpunkten $A$ und $B$ ein bestimmtes Verhältnis $a:b$ einnehmen. Wenn dieser Teilungspunkt nicht zwischen den Endpunkten, sondern ausserhalb der Strecke und auf deren Verlängerung zu liegen kommt, spricht man von äusserer Teilung der Strecke.

Zwei parallele Hilfsgeraden mit $a$-facher und $b$-facher Teilstrecke ergeben zwei Endpunkte. Die Verbindung dieser beiden Endpunkte, verlängert, schneidet die Verlängerung der Strecke, was zum Teilungspunkt $P$ führt.

Aufgabensammlung

  • Teilung einer Strecke (5001) – Aufg. 1