Das Wichtigste in Kürze

Lineare Gleichungen mit den gleichen Lösungen dürfen mit einem Faktor (nicht null) multipliziert werden und beliebig untereinander addiert werden. Subtrahieren ist damit auch möglich, da es einer Multiplikation mit \((-1)\) und einer anschliessenden Addition entspricht.

Die besagten Operationen werden auch Linearkombinationen genannt. Linearkombinationen von Gleichungen sind Äquivalenzumformungen, weil sie nichts an der Lösungsmenge der Gleichungen ändern.

Beim Additionsverfahren werden Gleichungen mit geschickt gewählten Faktoren multipliziert, so dass nach der Addition von zwei Gleichungen eine Unbekannte wegfällt. Auf diese Weise wird die Anzahl Unbekannten und die Anzahl Gleichungen je um eins reduziert.

Die Verfahren umfasst folgende Schritte:

    1. Wir suchen uns ein Paar von Gleichungen und überlegen uns, mit welcher Linearkombination wir eine Unbekannte einfach eliminieren können

    1. Linearkombination liefert eine neue Gleichung mit einer Unbekannten weniger

    1. Wiederholung der beiden oberen Schritte, bis eine Gleichung die Lösung einer Unbekannten liefert

    1. Rückwärts-Einsetzen der gefundenen Unbekannten in eine bisherige Gleichung und damit Bestimmung einer anderen Unbekannten. Schritt wiederholen, bis alle Unbekannten gelöst sind.

Das Verfahren kann mehrfach angewandt werden, bis die erste Unbekannte direkt erhalten wird.

Häufigste Fragen

Für das Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS) gibt es verschiedene Verfahren:

Die ersten beiden Verfahren eignen sich für einfache, übersichtliche Gleichungssysteme.

Für weniger einfache LGS ab 3 Gleichungen, ist das in diesem Artikel beschriebene Additionsverfahren nach Gauss zu empfehlen, weil wir so mehr Überblick bewahren und unnötige Rechenfehler vermeiden können.

Für lineare Gleichungssysteme (LGS) mit 3 oder mehr Unbekannten und folglich 3 oder mehr Gleichungen, solltest du das Gauss’sche Additionsverfahren benutzen.

Für kleine und einfache LGS ist das nicht nötig. Hier kannst du das Gleichungssystem auch mit den folgenden einfacheren Verfahren lösen:

Der Vorteil beim Additionsverfahren nach Gauss ist die Ordnung und der Überblick.

Wenn wir grössere LGS mit Gleichsetzen oder Einsetzen lösen möchten, müssen wir diese Verfahren mehrmals hintereinander anwenden. Dabei verlieren wir schnell den Überblick, was wohin gehört.

Der häufigste Fehler ist das mehrfache Verwenden der gleichen Gleichungen, was dann zur folgenden Sackgasse führt:

\[ 0 \;\; = \;\; 0 \]

Beim Additionsverfahren nach Gauss darf man folgende Operationen durchführen:

  • zwei Gleichungen addieren
  • eine Gleichung von einer anderen subtrahieren
  • eine Gleichung mit einem Faktor multiplizieren

Wichtig ist dabei, dass die Operation auf die ganze Gleichung angewendet wird. Ein häufiger Fehler ist das Nicht-Anwenden der Operation auf die Zahl auf der rechten Seite der Gleichung.

Was darf man beim Gauss-Verfahren?

Beim Additionsverfahren nach Gauss (oft auch “Eliminationsverfahren nach Gauss” genannt), nutzen wir den Vorteil, dass das Addieren von Gleichungen und das Multiplizieren von Gleichungen mit einem Faktor nichts an der Lösungsmenge der Gleichungen ändert (es sind sog. Äquivalenzumformungen).

Wir vergewissern uns davon mit einem kleinen Beispiel: Die offensichtliche Gleichung (1) wird mit dem Faktor 2 multipliziert und dann mit sich selber addiert. Unter dem Summenstrich, haben wir eigentlich \(3 \cdot (1)\):

\[ \begin{array}{rcrr}
x & \;\; = \;\; & 5 & \quad \quad (1) \\
2x & \;\; = \;\; & 10 & \quad \quad 2 \cdot (1) \\
\hline \\
3x & \;\; = \;\; & 15 & \quad \quad (1) + 2 \cdot (1) \\
\end{array} \]

Es hat sich nichts geändert: Wenn wir einfach die Gleichung unter dem Summenstrich durch 3 dividieren, gilt immer noch \(x=5\).

Beim Additionsverfahren nach Gauss sind erlaubt:

  • Multiplikation der ganzen Gleichung mit einem beliebigen Faktor. Dieser Faktor darf auch negativ sein, z.B. (-1).
  • Addition der ganzen Gleichung mit einer anderen Gleichung im linearen Gleichungssystem

Beachte, dass damit auch die Subtraktion und Division mit einer beliebigen Zahl (ausser null) erlaubt sind, denn:

  • Die Subtraktion ist gleich einer Multiplikation mit (-1) und anschliessender Addition, z.B. \(3-2 = 3+(-1) \cdot 2 = 1\)
  • Die Division ist gleich einer Multiplikation mit dem Kehrwert, z.B. \(4:2 = 4 \cdot \frac{1}{2}\)

Im weiteren werden wir den Begriff der Linearkombination verwenden.

“Eine Linearkombination ist die Summe von Vielfachen.”

Beispielsweise ist die Addition der Gleichung der Gleichung (1) mit dem 3-fachen der Gleichung (2) eine Linearkombination dieser beiden Gleichungen:

\[ (1) + 3 \cdot (2) \]

Linearkombinationen sind erlaubt. Sie ergeben neue Gleichungen, die aber die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichungen nicht verändern.

So geht das Additionsverfahren nach Gauss

Jetzt wissen wir, dass Addition und Multiplikation mit einem Faktor unsere Werkzeuge sind. Wie wenden wir sie jetzt an?

Die Bezeichnung Eliminationsverfahren nach Gauss trifft es am besten:

  1. Wir suchen uns ein Paar von Gleichungen und überlegen uns, mit welcher Linearkombination wir eine Unbekannte einfach eliminieren können
  2. Linearkombination liefert eine neue Gleichung mit einer Unbekannten weniger
  3. Wiederholung der beiden oberen Schritte, bis eine Gleichung die Lösung einer Unbekannten liefert
  4. Rückwärts-Einsetzen der gefundenen Unbekannten in eine bisherige Gleichung und damit Bestimmung einer anderen Unbekannten. Schritt wiederholen, bis alle Unbekannten gelöst sind.

Beispiel: Additionsverfahren nach Gauss

Löse das einfache Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens nach Gauss:

\[ \begin{array}{rrrcrr}
2x & + 2y & \;\; = \;\; & 6 & \quad \quad (1) \\
-x & + y & \;\; = \;\; & 1 & \quad \quad (2)
\end{array} \]

Als Erstes sehen wir, dass wir in der ersten Gleichung \(2x\) haben und in der zweiten Gleichung \(-x\). Wenn wir das 2-fache der Gleichung (2) mit der Gleichung (1) addieren, verschwindet die Unbekannte \(x\). Wir haben damit die 1. Linearkombination gefunden.

Ausführung der Linearkombination: Wir addieren das 2-fache der Gleichung (2) zur Gleichung (1):

\[ \begin{array}{rrrcrr}
2x & + 2y & \;\; = \;\; & 6 & \quad \quad (1) \\
-2x & + 2y & \;\; = \;\; & 2 & \quad \quad 2 \cdot (2) \\
\hline \\
0 & + 4y & \;\; = \;\; & 8 & \quad \quad (1) + 2\cdot(2)
\end{array} \]

Die Linearkombination von (1) und (2) gibt uns eine 2. neue Gleichung, in welcher eine Unbekannte verschwunden ist, nämlich \((x)\). Es bleibt:

\[ 4y \;\; = \;\; 8 \quad \rightarrow \quad \underline{y=2} \]

Somit haben wir die 3. Lösung einer Unbekannten.

Es folgt das 4. Rückwärts-Einsetzen in eine Gleichung. Wir wählen die Gleichung (2) und setzen \(y=2\) ein:

\[ -x + 2 \;\; = \;\; 1 \quad \rightarrow \quad \underline{x=1} \]

Das LGS ist gelöst.

Beispiel: Additionsverfahren nach Gauss

Löse das folgende Gleichungssystem mit Hilfe des Additionsverfahrens nach Gauss:

\[ \begin{cases}\begin{array}{rcll}
x  +  y & = & 4 & \quad (a) \\
\frac{1}{2}x  –  y & = & \frac{1}{2} & \quad  (b) \\
\end{array}\end{cases} \]

Wir erkennen, dass sich die Unbekannte \(y\) sehr einfach eliminieren lässt. Wir brauchen einfach nur die beiden Gleichungen \((a)\) und \((b)\) miteinander zu addieren.

\[ \begin{array}{rcll} x  +  y & = & 4 & \quad (a) \\
\frac{1}{2}x  –  y & = & \frac{1}{2} & \quad (b) \\
\hline \\
\frac{3}{2}x  +  0 & = & \frac{9}{2} & \quad (a)+(b) \end{array} \]

Die Unbekannte \(y\) ist weggefallen, so dass wir die Gleichung für \(x\) lösen können.

\[ \require{cancel} \begin{array}{rcll} \frac{3}{2}x & = & \frac{9}{2} & \quad \Big \vert \cdot \frac{2}{3} \\
\\
x & = & \frac{9}{\cancel{2}} \cdot \frac{\cancel{2}}{3} = 3
\end{array} \]

Wir erhalten \(\underline{x=3}\) und durch Rückwärts-Einsetzen in (a) sofort \(\underline{y=1}\) .

Wenn wir drei Unbekannte (z.B. \(x\), \(y\) und \(z\)) haben, geht das Additionsverfahren nach Gauss wie folgt:

  1. Erste Linearkombination von zwei Gleichungen suchen, z.B. (1) und (2) kombiniert, so dass die Unbekannte \(x\) wegfällt.
  2. Zweite Linearkombination suchen mit den restlichen Gleichungen, z.B. (2) und (3), so dass wieder \(x\) wegfällt.

Nach diesen beiden Schritten ist die Unbekannte \(x\) weggefallen und wir haben zwei neue Gleichungen, die wir (a) und (b) nennen. Wir haben also ein LGS mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen.

Wir starten mit dem Additionsverfahren nach Gauss wieder wie gehabt:

  1. Linearkombination der beiden neuen Gleichungen (a) und (b) finden, z.B. so dass \(y\) wegfällt.
  2. Die neue Gleichung hat nur noch die Unbekannte \(z\)
  3. Berechnung gibt uns die Lösung der Unbekannten \(z\)
  4. Rückwärts-Einsetzen des Werts von \(z\) in (a) oder (b). Bestimmen von \(y\).
  5. Rückwärts-Einsetzen des Werts von \(z\) und \(y\) in (1), (2) oder (3). Bestimmen von \(x\).

Beispiel: Mehrfaches Anwenden des Additionsverfahrens nach Gauss

Löse das folgende lineare Gleichungssystem mit drei Unbekannten:

\[ \begin{cases} \begin{array}{rrrcrr}
x & + y & + z & \;\; = \;\; & 1 & \quad (a) \\
-x & – 2y & + z & \;\; = \;\; & 0 & \quad (b) \\
x & – y & + 2z & \;\; = \;\; & 2 & \quad (c)
\end{array}\end{cases} \]

Wir fangen mal mit den beiden Gleichungen \((a)\) und \((b)\) an, denn die können wir addieren, ohne vorher zu multiplizieren. Das \(x\) fällt auch so schon weg.

\[ \begin{array}{rrrcrr}
x & + y & + z & \;\; = \;\; & 1 & \quad (a) \\
-x & – 2y & + z & \;\; = \;\; & 0 & \quad (b) \\
\hline \\
0 & – y & + 2z & \;\; = \;\; & 1 & \quad (a) + (b)
\end{array} \]

Dann addieren wir \((a)\) und \((-1) \cdot (c)\) miteinander:

\[ \begin{array}{rrrcrr}
x & + y & + z & \;\; = \;\; & 1 & \quad (a) \\
-x & + y & – 2z & \;\; = \;\; & -2 & \quad (-1) \cdot (c) \\
\hline \\
0 & + 2y & – z & \;\; = \;\; & -1 & \quad (a) – (c) \\
\end{array} \]

Wir schreiben die beiden neu erhaltenen Gleichungen \((a)+(b)\) und \((a)-(c)\) als Gleichungssystem auf und führen die neuen Bezeichnungen \((a’)\) und \((b’)\), damit die Sache wieder etwas übersichtlicher wird:

\[ \begin{cases} \begin{array}{rrcrr}
-y & + 2z & \;\; = \;\; & 1 & \quad (a’) \\
2y & – z & \;\; = \;\; & -1 & \quad (b’) \\
\end{array} \end{cases} \]

Wo stehen wir jetzt? Angefangen hatten wir mit einem 3×3-Gleichungssystem. Jetzt haben wir ein 2×2-Gleichungssystem, d.h. wir wenden das Additionsverfahren nochmals an, um auf eine Gleichung mit einer Unbekannten zu kommen. Es bietet sich an, die erste Gleichung \((a’)\) mit 2 zu multiplizieren und dann beide Gleichungen zu addieren:

\[ \begin{array}{rrcrr}
-2y & + 4z & \;\; = \;\; & 2 & \quad 2 \cdot (a’) \\
2y & – z & \;\; = \;\; & -1 & \quad (b’) \\
\hline \\
0 & +3z & \;\; = \;\; & \;\;1 & \quad 2(a’) + (b’) \\
\end{array} \]

\[ z=\frac{1}{3} \]

Wir haben jetzt den ersten Zahlenwert erhalten! Um eine weitere Unbekannte zu bestimmen, suchen wir eine Gleichung, wo nur zwei Unbekannte vorkommen und eine davon \(z\) ist, für die wir dann den Zahlenwert von \(z\) einsetzen können. Wir finden z.B. die Gleichung \((a’)\):

\[ -y + 2z = 1 \quad (a’) \]

\[ -y + 2 \cdot \frac{1}{3} = 1 \]

\[ \rightarrow \quad y = -\frac{1}{3} \]

Jetzt nehmen wir eine Gleichung, wo \(x\) noch vorkommt, z.B. \((a)\):

\[ x + y + z = 1 \quad (a) \]

\[ \require{cancel} x + \big( -\cancel{\frac{1}{3}} \big) + \cancel{\frac{1}{3}} = 1 \]

\[ x = 1 \]

Geschafft! Die Lösung des Gleichungssystems ist:

\[ \underline{\boldsymbol{L} = \Big \{ (1,-\frac{1}{3},\frac{1}{3}) \Big \}} \]

Vielleicht hast du gemerkt, wo der Vorteil des Additionsverfahrens liegt. Es ist übersichtlich und organisiert. Bei vielen Gleichungen verliert man mit dem Lösungsverfahren durch Gleichsetzen oder Einsetzen schnell einmal die Übersicht und weiss nicht mehr, welche Gleichung schon verwendet worden ist und welche noch nicht. Hier können wir sie einfach tabellarisch addieren und machen so auch weniger Vorzeichenfehler.

Aufgabensammlung

  • Anspruchsvollere Gleichungssysteme (5046) – Aufg. 1

  • Anspruchsvollere Gleichungssysteme (5046) – Aufg. 2

  • Anspruchsvollere Gleichungssysteme (5046) – Aufg. 3

  • Anspruchsvollere Gleichungssysteme (5046) – Aufg. 4

  • Anspruchsvollere Gleichungssysteme (5046) – Aufg. 5

  • Anspruchsvollere Gleichungssysteme (5046) – Aufg. 6

  • Einfache Gleichungssysteme (5043) – Aufg. 3

  • Einfache Gleichungssysteme (5043) – Aufg. 4

  • Einfache Gleichungssysteme (5043) – Aufg. 5

Lernziele

  • Du kannst das Additionsverfahren anwenden und weisst auch, wie es mehrfach nacheinander angewendet wird.

Weitere Links

Lineare Gleichungssysteme (LGS)

Dreidimensionales Koordinatensystem

Gauss’sches Eliminationsverfahren (Wikipedia)

David John Brunner

Lehrer für Physik und Mathematik, Zürich | Mehr erfahren

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