Schon bei der Besprechung der Differentialrechnung haben wir eine Faktorregel der Differentialrechnung angetroffen. Das ist natürlich kein Zufall, denn wenn die Integration die Umkehrung der Differentiation ist, dann ist die Summen- und Faktorregel hier mit derjenigen der Differentialrechnung verwandt.
Die Faktorregel ist sehr leicht zu erkennen, am besten am Beispiel einer einfachen Summe:
\[ \sum_i{C \cdot a_i} = \big ( Ca_1 + Ca_2 + … + Ca_n \big ) \]
Hier lässt sich natürlich der konstante Faktor \(C\) einfach ausklammern. Wir können deshalb schreiben:
\[ \sum_i{C \cdot a_i} = C \cdot \big ( a_1 + a_2 + … + a_n \big ) \]
\[ = C \cdot \sum_i{a_i} \]
Das Integral ist auch eine Summe, einfach mit dem Unterschied dass sie unendlich viele Summanden enthält und diese unendlich dünne Streifen sind. Was aber für die Summe gilt, gilt auch für das Integral. Wir ersetzen einfach das Summenzeichen mit einem Integralzeichen.
Faktorregel für konstante Faktoren (d.h. nicht von der Integrationsvariable \(x\) abhängig):
\[ \int C \cdot f(x) \; dx \;\; = \;\; C \cdot \int f(x) \; dx \]
Wir können konstante Faktoren, wie Zahlen und andere Variablen, die nicht von \(x\) abhängen, einfach aus dem Integral ausklammern und damit vor das Integral setzen.
Beispiel
Löse das folgende Integral und wende dazu die Faktorregel an:
\[ \int 4ax \cdot \cos(x^2) \; dx \]
Der Faktor \(4a\) ist bezüglich \(x\) konstant und kann deshalb ausgeklammert werden. \(x\) dürfen wir natürlich nicht ausklammern. wir erhalten so mit der Faktorregel:
\[ \int 4ax \cdot \cos(x^2) \; dx = 4a \cdot \int x \cdot \cos(x^2) \; dx \]
Wenn wir uns jetzt an die Kettenregel der Differentialrechnung erinnern, dann haben wir hier den Kosinus von einer inneren Funktion von \(x\), nämlich \(x^2\). Die äussere Ableitung gibt uns den Kosinus, die innere Ableitung von \(x^2\) den Faktor \(x\).
Wir schauen uns zuerst mal die Ableitung von \(\sin(x^2)\) an:
\[ \frac{d}{dx} \big ( \sin(x^2) \big ) = \cos(x^2) \cdot 2x \]
Tatsächlich! Die innere Ableitung von \(x^2\) gibt uns den Faktor \(2x\), d.h. wir müssen die Stammfunktion noch mit \(\frac{1}{2}\) multiplizieren, um nur den Faktor \(x\) zu erhalten:
\[ \frac{d}{dx} \Big ( \frac{1}{2} \sin(x^2) \Big ) = x \cdot \cos(x^2) \]
Damit haben wir die Stammfunktion von \(x \cdot \cos(x^2)\) gefunden:
\[ \int 4ax \cdot \cos(x^2) \; dx = 4a \cdot \int x \cdot \cos(x^2) \; dx = 4a \cdot \Big( \frac{1}{2} \sin(x^2) + C_1 \Big) \]
\[ \int 4ax \cdot \cos(x^2) \; dx = 2a \sin(x^2) + 4a C_1 = \underline{2a \sin(x^2) + C_2} \]
Beachte, dass die unbekannte Konstante \(C_1\) des unbestimmten Integrals mit dem Faktor \(4a\) multipliziert wurde und dass das Produkt \((4aC_1)\) auch wieder eine unbekannte Konstante ist. Wir schreiben deshalb einfach \(C_2\).
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