In der Diskussion der Ableitung hatten wir als erstes Beispiel die Funktion $f(x)=\frac{1}{4}x^2$ betrachtet und dafür den Differentialquotienten aufgestellt. Wir haben den Ausdruck als erste Ableitungsfunktion genannt:

\[ f'(x) = \frac{1}{2}x \]

Die erste Ableitungsfunktion ist eine Zuordnung einer Steigung (der Funktion $f$) zu einer Stelle $x$. Wir bestimmen einfach die Stelle $x$ und kriegen, eingesetzt in $f'(x)$, die Steigung von $f$ in diesem Punkt.

Was passiert, wenn wir die Funktion $f'(x)$ nochmals ableiten, d.h. die Steigung von f'(x) berechnen? Wir stellen wieder den Differentialquotienten auf:

\[ f”(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big(\frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}\Big) \]

\[ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big(\frac{\frac{1}{2}(x+\Delta x)-\frac{1}{2}x}{\Delta x}\Big) \]

\[ = \lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big(\frac{\frac{1}{2}\Delta x}{\Delta x}\Big) = \frac{1}{2} \]

Aufgabensammlung

  • Produkt-, Quotienten- und Kettenregel (5025) – Aufg. 2