Summenregel der Differenzialrechnung / Differentialrechnung

Bevor wir ableiten, benutzen wir die Identität für die Sinus-Funktion:

\[ \sin(x-t) = \sin(x)\cos(-t) + \cos(x)\sin(-t) \]

Jetzt benutzen wir den Umstand, dass der Kosinus eine gerade Funktion ist, d.h. \(\cos(-t) = \cos(t)\). Der Sinus ist hingegen eine ungerade Funktion \(\sin(-t) = -\sin(t)\). Somit erhalten wir:

\[ \sin(x-t) = \sin(x)\cos(t) – \cos(x)\sin(t) \]

Jetzt können wir ableiten. Die linke Seite der Wellengleichung wird zweifach nach \(t\) abgeleitet:

\[ \frac{\partial^2}{\partial t^2} u(x,t) = \]

\[ \frac{\partial^2}{\partial t^2} \Big(\sin(x)\cos(t)\Big) – \frac{\partial^2}{\partial t^2} \Big(\cos(x)\sin(t)\Big) \]

Da \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) für \(t\) eine Konstante darstellen, können wir sie mit der Faktorregel ausklammern:

\[ = \sin(x) \cdot \frac{d^2}{dt^2} \Big(\cos(t)\Big) – \cos(x) \cdot \frac{d^2}{dt^2} \Big(\sin(t)\Big) \]

Unter Benutzung der Ableitungsfunktionen für die trigonometrischen Funktionen, erhalten wir:

\[ = \sin(x) \cdot \big(-\cos(t)\big) – \cos(x) \cdot \big(-\sin(t)\big) \]

\[ = -\Big(\sin(x)\cos(t) – \cos(x)\sin(t)\Big) \]

\[ = \underline{-\sin(x-t)} \]

Für die rechte Seite:

\[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,t) = \]

\[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Big(\sin(x)\cos(t)\Big) – \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Big(\cos(x)\sin(t)\Big) \]

\[ = \cos(t)\cdot \frac{d^2}{dx^2} \Big(\sin(x)\Big) – \sin(t)\cdot\frac{d^2}{dx^2} \Big(\cos(x)\Big) \]

\[ = \cos(t)\big(-\sin(x)\big) – \sin(t)\big(-\cos(x)\big) \]

\[ =  -\Big(\cos(t)\sin(x) – \sin(t)\cos(x)\Big) = \underline{-\sin(x-t)} \]

Die beiden zweifachen Ableitungen sind tatsächlich gleich! Wenn wir in der Physik ein Phänomen haben, bei welchem die Funktion zweifach nach der Zeit abgeleitet, proportional ist zur zweifachen Ableitung nach dem Ort, so handelt es sich um ein Wellenphänomen.