Inhalt
Das Wichtigste in Kürze
Die Funktion \(f\) ordnet einer Stelle \(x\) einen Funktionswert \(f(x)\) zu. Wird der Funktionswert als “Höhe” \(y\) übernommen, bilden all Funktionswerte den Verlauf der Funktion \(f(x)\) im zweidimensionalen \(x\),\(y\)-Koordinatensystem:
\[ f(x):\;\;\;\;x\; \mapsto \; y=f(x) \]
Die (erste) Ableitungsfunktion \(f'(x)\) ist die Zuordnung von \(x\) auf den Wert der Steigung der Funktion \(f(x)\) an dieser Stelle. Sie bildet deshalb selber wieder eine Funktion:
\[ f'(x):\;\;\;\;x\; \mapsto \;\frac{d}{dx}f(x) \]
Die Funktion sagt uns, wie gross der Funktionswert ist an jeder Stelle \(x\). Die Ableitungsfunktion sagt uns die Steigung von \(f\) an jeder Stelle \(x\).
Videos
Häufigste Fragen
Bestimmung der ersten Ableitungsfunktion
Um die erste Ableitungsfunktion \(f'(x)\) zu bestimmen, müssen wir von \(f(x)\) die erste Ableitung ermitteln. Dazu leiten wir den Ausdruck einmal ab.
Beispiel: Erste Ableitungsfunktion einer linearen Funktion
Was ist die erste Ableitungsfunktion \(f'(x)\) der linearen Funktion \(f(x)\) ?
\[ f(x) = 2x \]
In den nachfolgenden Artikeln kannst du die ersten Ableitungsfunktionen der bestimmten Funktionstypen nachschauen:
- Ableitung Polynomfunktion
- Ableitung trigonometrische Funktion
- Ableitung Exponentialfunktion
- Ableitung Logarithmusfunktion
- Ableitung Hyperbelfunktion
Beachte, dass deine Funktion möglicherweise eine Kombination von solchen Funktionen ist. DIn solchen Fällen helfen dir die folgenden Ableitungsregeln:
Ist die Funktion eine Umkehrfunktion, dann kannst du sie wie folgt ableiten:
Hast du eine Funktion, die oben nicht aufgelistet ist? Wirklich? Dann würde ich mal googeln und wenn das auch nicht hilft, gibt es leider nur noch den Weg über den Differenzialquotienten.
Beispiel: Zeige, dass Kosinus die Ableitungsfunktion des Sinus ist
Bestimmung der zweiten Ableitungsfunktion
Für die zweite Ableitungsfunktion braucht es eine zweite Ableitung der Funktion \(f(x)\), d.h. eine weitere Ableitung der ersten Ableitungsfunktion \(f'(x)\).
\[ f'(x) = \frac{d}{dx} f(x) \]
\[ f”(x) = \frac{d}{dx} \Big( f'(x) \Big) = \frac{d^2}{dx^2} f(x) \]
Beispiel: Zweite Ableitungsfunktion einer linearen Funktion
Was ist die zweite Ableitungsfunktion \(f”(x)\) der linearen Funktion \(f(x)\) ?
\[ f(x) = 2x \]
Beispiel: Zweite Ableitungsfunktion der Sinus-Funktion
Was ist die zweite Ableitungsfunktion \(f”(x)\) der Sinus-Funktion \(f(x)=\sin(x)\) ?
Anwendung der Ableitungsfunktion
In der Differentialrechnung bilden wir oft die erste Ableitungsfunktion, wenn wir Extrema suchen, d.h. Maxima und Minima. Warum? Weil dort, wo die Funktion \(f\) ein Maximum oder ein Minimum hat, die Steigung null ist.
Die Ableitungsfunktion ist an dieser Stelle null, d.h. wenn wir zuerst die Ableitungsfunktion ermitteln und dann von ihr die Nullstellen bestimmen, haben wir damit die Extrema der Funktion gefunden.
Beispiel: Scheitelpunkt einer Parabel bestimmen
Bestimme die Koordinaten des Maximums der quadratischen Funktion \(f(x)\) (Parabel):
\[ f(x) = -x^2 + 3x – 1 \]
Aufgabensammlung
Lernziele
- Du kannst in eigenen Worten beschreiben, warum die Ableitung einer Funktion eine neue Funktion produziert, die Ableitungsfunktion.
- Du beherrschst die korrekte Notation der ersten Ableitungsfunktion, wie auch diejenige mit dem Differenzialoperator.
- Du kannst mit Hilfe des Differenzialquotienten die erste Ableitungsfunktion von einfachen Beispielen berechnen.
- Du kennst die Ableitungsregel für Potenzfunktionen und kannst sie korrekt anwenden, auch auf Hyperbeln (Potenzen mit negativem Exponenten).
- Du kennst die ersten Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen \(sin(x)\), \(cos(x)\) und \(tan(x)\) auswendig.
- Du kennst die spezielle Eigenschaft, dass die erste Ableitungsfunktion der natürlichen Exponentialfunktion gleich sich selbst ist.
- Du kannst in eigenen Worten erklären, warum diese Eigenschaft dazu führt, dass z.B. ein Wachstum einer Bakterienpopulation exponentiell verläuft.
- Du kannst die Exponentialfunktion und deren Ableitung in Beispielen anwenden.
Weitere Links
Ableitungsfunktion (Wikipedia)
publiziert:
überarbeitet:
publiziert:
überarbeitet:
Schreib deine Frage / Kommentar hier unten rein. Ich werde sie beantworten.
Inhalt
Schreibe einen Kommentar
Du musst angemeldet sein, um einen Kommentar abzugeben.