Wärmeleitung

Mechanismen der Wärmeleitung

Die Wärmeleitung ist die Übertragung der Wärmebewegungen von einem Bereich mit stärkerer Bewegung (höherer Temperatur) auf einen Bereich mit schwächerer Bewegung (niedrigerer Temperatur). Wenn die beiden Bereiche in Kontakt sind, können die Bewegungen vom einen Bereich auf den anderen übertragen werden. Damit haben wir bereits die beiden Voraussetzungen für die Wärmeleitung:

• Es braucht eine Temperaturdifferenz
• Die beiden Bereiche müssen in physischem Kontakt stehen, d.h. sich berühren.

Wenn wir einen Feststoff z.B. am einen Ende erwärmen, dann werden die Teilchen in stärkere Bewegung gebracht. Da sie über Bindungskräfte mit dem restlichen Kristallgitter verbunden sind, überträgt sich diese zusätzliche Bewegung an den Nachbarn und von diesem wieder an seinen Nachbarn usw. Wir sprechen da von Übertragung der Gitterschwingungen. In der Feststoffphysik werden die Gitterschwingungen als virtuelle Teilchen modelliert, den Phononen. Die entstandenen Phononen wandern im Feststoff und erhöhen so die Temperatur allmählich auch am kalten Ende. Dieser Mechanismus gibt es grundsätzlich in allen Stoffen.

Metalle haben die Eigenschaft, dass sie freie Elektronen haben. Das ist der Grund für die hervorragende elektrische Leitfähigkeit von Metallen. Nun können Elektronen, wie die Phononen, Wärme übertragen. Metalle unterscheiden sich deshalb auch in der Wärmeleitung von isolierenden Stoffen wie Holz oder Kunststoff. Sie leiten die Wärme besonders gut, da die Elektronen sehr effiziente Wärmetransporteure sind.

Wenn wir ein Metall berühren, dann fühlt es sich meistens kühl an. Bei der Besprechung des Unterschieds zwischen Wärme und Temperatur haben wir gelernt, dass unsere Rezeptoren in der Haut eigentlich die Wärme und nicht die Temperatur messen. Das Metall fühlt sich kühl an, weil durch die grosse Wärmeleitung (wegen der Elektronen), die Haut am Metall mehr Wärme abgibt als z.B. beim Berühren von Holz.

Wenn wir mit Wärmeleitung effizient kühlen (oder heizen) möchten, dann benutzen wir vorzugsweise Metall. Ein thermischer Motor muss stark gekühlt werden. Er hat deshalb viele Kühlrippen aus Metall, die die Wärme aus dem Inneren des Motorblocks an die Oberfläche mit Wärmeleitung transportieren. Dort wird die Wärme an den Fahrtwind, also an die vorbeiströmende Luft abgegeben.

Wenn wir den Wärmestrom möglichst unterbinden, d.h. die Wärme isolieren möchten, dann eignen sich elektrisch isolierende Stoffe, allen voran Gase. In Gasen gibt es nämlich keine Phononen (kein Gitter) und auch keine freien Elektronen (nur gebundene Elektronen). Die Wärme kann durch die einzelnen Teilchen transportiert werden, was aber nicht sehr effizient ist, da wir eine viel kleinere Teilchendichte haben als im Falle von Festkörpern oder Flüssigkeiten, d.h. es gibt rund tausend mal weniger Teilchen, die bereit sind, Wärme zu transportieren. Ein Problem gibt es mit Gasen: Sie können mit Konvektion Wärme transportieren. Um dies zu verhindern, müssen die Gase in kleinen Zwischenräumen eingeschlossen werden. Das verhindert den Wärmetransport durch Konvektion. Die Natur macht es vor: Dicke Schafswolle ist eigentlich in erster Linie eingeschlossene Luft, die nicht fliessen kann. Dadurch kann die Körperwärme nur über diese eingeschlossene Luft nach aussen transportiert werden und das geht sehr schlecht. Resultat: Der Körper verliert fast keine Wärme.

Temperaturgradient als treibender Faktor

Wenn zwei Körper mit unterschiedlichen Temperaturen miteinander in Kontakt stehen, dann haben wir die Voraussetzungen für die Wärmeleitung erfüllt. Wie viel Wärme fliesst, hängt aber auch davon ab, wie gross der Abstand zwischen den beiden Temperaturextremen ist. Wir können uns das so vorstellen, dass bei einem kleinen Abstand, der Temperaturunterschied gewissermassen “dringender” ist, als bei einem grossen Abstand. Diese “Dringlichkeit” wird mit dem Temperaturgradienten \(\frac{\Delta T}{\Delta x}\) beschrieben.

Nebst der Temperaturdifferenz \(\Delta T\) beinhaltet der Temperaturgradient auch den Abstand \(\Delta x\). Die Formel des Temperaturgradienten erinnert uns an das Steigungsdreieck. Es ist die Zunahme der Temperatur pro Strecke. Je stärker die Temperatur pro Strecke zunimmt, desto grösser ist der Temperaturgradient. Ein negativer Temperaturgradient entspricht einer Temperaturabnahme über die Strecke \(\Delta x\).

Die Temperaturdifferenz ist die Voraussetzung für die Wärmeleitung überhaupt, der Temperaturgradient sagt aber, wie viel Wärme fliesst. Da die Wärme vom Ort der höheren Temperatur \(T_H\) (heiss) zum Ort der tieferen Temperatur \(T_K\) (kalt) fliesst, wird der negative Temperaturgradient in der Formel benutzt, da \(\Delta T = T_K – T_H\) negativ ist. Damit ist der negative Temperaturgradient wieder positiv:

\[ \Delta T = T_K – T_H < 0 \quad \rightarrow \quad \Big( – \frac{\Delta T}{\Delta x} \Big) > 0 \]

Er ist der treibende Faktor für den Wärmestrom. Der Wärmestrom ist Energie pro Zeit. Für den Wärmestrom schreiben wir deshalb: \(\frac{\Delta Q}{\Delta t}\).

Aus der obigen Formel leiten wir ab, dass wir einen grossen Wärmestrom durch Wärmeleitung haben, bei:

• gut leitendem Stoff mit grossem Wärmeleitungskoeffizienten \(\lambda\)
• grosser Querschnittsfläche \(A\) (quer zur Fliessrichtung)
• grossem Temperaturgradienten \(\big( – \frac{\Delta T}{\Delta x} \big)\), d.h. \(|\Delta T|\) gross, \(\Delta x\) klein

Beispiel

Ein \(0.8\;\text{m}^2\)-Fenster ist einfach verglast mit einer \(4\;\text{mm}\)-Glasscheibe(\)\lambda = 1\;\frac{\text{W}}{\text{m K}}\)). Berechne die Temperaturdifferenz zwischen der Innen- und Aussenoberfläche des Fensters, wenn in einer Stunde \(115\;\text{kJ}\) durch das Glas entweichen.

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Wir lösen in der Gleichung der Wärmeleitung nach dem Temperaturgradienten auf:

\[ \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \lambda \cdot A \cdot \Big( – \frac{\Delta T}{\Delta x} \Big) \quad \rightarrow \quad \Big( – \frac{\Delta T}{\Delta x} \Big) = \frac{\Delta Q}{\Delta t \cdot \lambda \cdot A} \]

Dann multiplizieren wir mit \(\Delta x\):

\[ -\Delta T = \frac{\Delta Q \cdot \Delta x}{\Delta t \cdot \lambda \cdot A} \]

und setzen alle Grössen in Grundeinheiten ein:

\[ -\Delta T = \frac{115 \cdot \cancel{10^3}\;\text{J} \;\; \cdot \;\; 4 \cdot \cancel{10^{-3}}\;\text{m}}{3600\;\text{s} \;\; \cdot \;\; 1\;\frac{\text{W}}{\text{m K}} \;\; \cdot \;\; 0.8\;\text{m}^2} = \frac{115 \cdot 4}{3600 \cdot 0.8}\;\text{K} = \underline{0.16\;\text{K}}\]

Weil das Glas so dünn ist, fliesst eine beachtliche Menge Wärme durch das Fenster, obwohl die Temperaturdifferenz sehr klein ist.

Beispiel

Mit welchen Massnahmen kann ein Fenster besser wärmeisolierend gemacht werden?

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Um das Fenster besser wärmeisolierend zu haben, müssen wir in der Gleichung der Wärmeleitung den Wärmestrom möglichst klein machen können. Dazu haben wir folgende Möglichkeiten:

• Reduktion des Temperaturgradienten
• Reduktion der Querschnittsfläche \(A\)
• Reduktion des Wärmeleitungskoeffizienten \(\lamdba\)

Die Querschnittsfläche \(A\) ist die Fläche des Fensters. Daran wollen wir nichts ändern. Es ist klar, dass ein kleines Fenster weniger Wärme verlieren wird. Energietechnisch am besten wäre gar kein Fenster, aber das ist hier keine Option. Am Wärmeleitungskoeffizienten von Glas können wir auch nichts ändern. Uns bleibt somit nur noch der Temperaturgradient.

Um den Temperaturgradienten \(\big( – \frac{\Delta T}{\Delta x} \big)\) zu reduzieren, können wir die Temperaturdifferenz \(\Delta T\) verkleinern und den Abstand \(\Delta x\) vergrössern. Die Temperaturdifferenz ist gegeben. Die Chance ist der Abstand \(\Delta x\).

Eine dickere Glasscheibe würde besser isolieren, wäre aber unpraktisch schwer und materialmässig zu teuer. Was tun? Wir erhöhen den Abstand, füllen ihn aber mit einem Gas. Je grösser der Abstand, umso besser. Bei zu grossem Abstand setzt die Konvektion im Gas ein, was wiederum zu einem Wärmefluss führt. Um dies etwas zu unterbinden, wird der Zwischenraum in zwei Teile aufgeteilt. Fertig ist die Dreifachverglasung, die heutzutage die best-isolierenden Fenster macht!