Das Wichtigste in Kürze

Die einem thermodynamischen System zugeführte Wärme $Q$ führt zu einer Änderung der Temperatur $\Delta T$:

\[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T \]

Die spezifische Wärmekapazität $c$ ist die Wärmekapazität eines Stoffs pro Kilogramm. Sie ist in erster Linie eine Stoffgrösse. Sie ist aber auch von der Temperatur abhängig, allerdings können wir die spezifische Wärmekapazität $c$ bei nicht zu grossen Temperaturunterschieden konstant halten. Den Wert erhalten wir aus Tabellen.

Bei Gasen unterscheiden wir zwischen einer spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Volumen $c_V$ und einer spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck $c_p$, abhängig davon, welche Grösse bei der Wärmezufuhr konstant gehalten wird.

Mehratomige Stoffe erhalten bei höheren Temperaturen zusätzliche Freiheitsgrade, die es ihnen erlaubt zusätzliche Energie zu speichern, womit sich ihre spezifische Wärmekapazität erhöht.

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Häufigste Fragen

Die Wärme ist eine gewisse Menge an thermischer Energie. Wenn wir z.B. die Sauce im Kochtopf erwärmen, führen wir ihr Wärme zu. Die gespeicherte Menge an thermischer Energie nimmt um den Betrag der zugeführten Wärme zu, abzüglich derjenigen Wärme, die die Sauce an ihre Umgebung verliert.

Die Temperatur ist ein Mass für die Geschwindigkeit der Teilchen. In einer noch kalten Sauce bewegen sich die Teilchen langsam. Nach der Erwärmung sind die Teilchen schneller unterwegs und deshalb ist die Temperatur der Sauce nach der Erwärmung erhöht.

Wenn ein fester, flüssiger oder gasförmiger Stoff erwärmt wird, d.h. wenn ihm Wärme zugeführt wird, nimmt die Temperatur zu. Bei einem Stoff mit grosser Wärmekapazität nimmt die Temperatur weniger zu als bei einem Stoff mit kleiner Wärmekapazität. Natürlich gilt das für die gleiche Stoffmenge.

Gleiches gilt auch beim Abkühlen: Die Temperatur eines Stoffes mit grosser spezifischer Wärmekapazität nimmt bei einer Abgabe von einer bestimmten Wärmemenge weniger ab, als ein Stoff mit kleiner spezifischer Wärmekapazität. Wir kennen das aus Erfahrung: wasserreiche Tomaten bleiben sehr lange sehr heiss, während die gleiche Menge an Spaghettis viel schneller abkühlt. Wasser hat eine sehr grosse spezifische Wärmekapazität.

Für eine bestimmte Temperaturdifferenz wäre die Wärmekapazität die thermische Energie, die der Stoff aufnehmen kann. Wenn wir die doppelte Menge vom gleichen Stoff nehmen, können wir entsprechend doppelt so viel thermische Energie speichern.

Mit ‘Wärmekapazität’ ohne dem Zusatz ‘spezifisch’ haben wir eine absolute Grösse, die direkt proportional zur Menge des Stoffs ist: d.h. doppelte Menge, doppelte Wärmekapazität, zehnfache Menge, zehnfache Wärmekapazität etc.

Wenn wir aber uns immer auf ein Kilogramm beschränken, ist die Wärmekapazität (für eine bestimmte Temperaturdifferenz) eine fixe Grösse, die vom Stoff abhängt. Solche ‘Pro-Kilogramm-Grössen’ gehören zu den ‘intensiven Grössen’, die unabhängig von der Stoffmenge sind. Sie werden meistens mit dem Wort ‘spezifisch’ versehen.

Temperaturzunahme bei Wärmezufuhr

Wir können uns qualitativ vorstellen, wie sich die Temperatur erhöht, wenn wir einem Stoff Wärme zuführen. Um wie viel erhöht sich die Temperatur, wenn wir einem Stoff eine bekannte Menge an Energie (Wärme) zuführen? Wie können wir die Grössen Temperatur \(T\) und Wärme \(Q\) quantitativ verknüpfen? Wie können wir berechnen, um wie viele Grad sich ein Stoff erwärmt, wenn wir z.B. 1 kJ Wärme zuführen?

Aus Experimenten fand man heraus, dass die Energiemenge und die Temperaturänderung eine lineare Abhängigkeit von einander haben, d.h. wenn wir die doppelte Menge an Wärme zuführen, ist die Temperaturänderung ebenfalls doppelt so gross. Dazwischen gibt es aber einen Faktor, der eben die Materialeigenschaft berücksichtigt. Es ist die Wärmekapazität, die wir als Produkt \((m \cdot c)\) notieren:

\[ Q = (m \cdot c) \cdot \Delta T \quad \rightarrow \quad \Delta T = \frac{Q}{(m \cdot c)} \]

Die zugeführte Wärme \(Q\) geht in das Produkt von Wärmekapazität \((m \cdot c)\) und Temperaturänderung \(\Delta T\). Betrachten wir jetzt ein Beispiel. Wenn wir die Wärmemenge von \(Q = 1\;\text{kJ}\) einem Kilogramm Wasser zuführen, das die Wärmekapazität \((m \cdot c)=4.2\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}\) hat, erhöht sich die Temperatur um:

\[ \Delta T = \frac{Q}{(m \cdot c)} = \frac{1\;\text{kJ}}{4.2\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}} = 0.24\;\text{K} \]

Wenn wir jetzt die gleiche Menge an Energie einem Kilogramm Luft zuführen, das die Wärmekapazität \((m \cdot c)=1.005\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}\) hat, erhöht sich die Temperatur (bei konstantem Druck) um:

\[ \Delta T = \frac{Q}{(m \cdot c)} = \frac{1\;\text{kJ}}{1.005\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}} \approx 1\;\text{K} \]

Das Wasser erwärmt sich nur um ein Viertelgrad Celsius, währenddem sich die Luft um ein ganzes Grad erwärmt. Dabei sei daran erinnert, dass Temperaturänderungen gleich gross sind, in Kelvin oder Grad Celsius. Wir können dem Wasser die rund vierfache Menge an Energie \((Q = 4.2\;\text{kJ})\) zuführen, bis es sich ebenfalls um ein Grad erwärmt hat:

\[ \Delta T = \frac{Q}{(m \cdot c)} = \frac{4.2\;\text{kJ}}{4.2\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}} = 1\;\text{K} \]

Wasser hat in einem \(\text{kg}\) die rund vierfache Wärmekapazität, wie Luft. Es ist die spezifische Wärmekapazität \(c\), nämlich die Wärmekapazität pro \(\text{kg}\). Das ist die Materialgrösse. Die Wärmekapazität ist aber auch abhängig von der Menge an Stoff, d.h. ich kann mit \(m_L=4.2\;\text{kg}\) Luft gleich viel Wärme speichern, wie mit \(m_W=1\;\text{kg}\) Wasser, denn:

\[ (m_L \cdot c_L) = 4.2\;\text{kg} \cdot 1.005\;\frac{\text{kJ}}{\text{kg K}} \approx 4.2\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}} \]

\[ (m_W \cdot c_W) = 1\;\text{kg} \cdot 4.2\;\frac{\text{kJ}}{\text{kg K}} = 4.2\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}} \]

Daraus folgt die Beziehung zwischen der Wärme \(Q\) und der Temperaturänderung \(\Delta T\):

Die einem thermodynamischen System zugeführte Wärme \(Q\) führt zu einer Änderung der Temperatur \(\Delta T\), die abhängig ist von der Masse \(m\) und der spezifischen Wärmekapazität \(c\) des Stoffs.

\[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T \]

Die spezifische Wärmekapazität \(c\) ist die Wärmekapazität eines Stoffs pro Kilogramm. Somit ist das Produkt \((m \cdot c)\) die absolute Wärmekapazität der betrachteten Stoffmenge. Je grösser diese ist, desto kleiner wird die Temperaturänderung sein, denn die Energie lässt sich in der grossen Kapazität “leicht verstauen”. Systeme mit kleiner (absoluter) Wärmekapazität reagieren auf eine Wärmezu- oder abfuhr mit einer starken Zu- bzw. Abnahme der Temperatur.

Beachte, dass die spezifische Wärmekapazität keine reine Stoffgrösse ist, sondern selber auch von der Temperatur abhängig ist. Bei nicht zu grossen Temperaturänderungen können wir dies vernachlässigen und einfach mit einem konstanten Wert rechnen. Wir nehmen z.B. den Wert der spezifischen Wärmekapazität aus einer Tabelle, die aber streng genommen nur für die Temperatur von 25 °C gilt und berechnen eine Erwärmung auf 100 °C. Das ist genug genau. Wenn wir jedoch auf 1000 °C heizen oder auf -200 °C abkühlen würden, wäre die Rechnung nicht mehr korrekt.

Beispiel: Erwärmung einer Tasse Wasser

Wie viel Energie ist nötig, um eine Tasse Wasser (\)m=200\;\text{g}\)) von 20 °C auf 100 °C aufzuwärmen?

Auf welche Temperatur erwärmt sich die Tasse bei einer Zufuhr von \(4.2\;\text{kJ}\)?

Spezifische Wärmekapazität von Wasser: \(c=4’200\;\text{J/(kg K)}\)

Die Temperaturänderung von 20 °C auf 100 °C beträgt natürlich 80 °C bzw. 80 K, da Temperaturänderungen in Celsius oder Kelvin angegeben werden können. Die Masse beträgt in Grundeinheiten 0.2 kg. Wir setzen alles ein:

\[ \require{cancel} Q = m \cdot c \cdot \Delta T = 0.2\;\cancel{\text{kg}} \cdot 4200\;\frac{\text{J}}{\cancel{\text{kg K}}} \cdot 80\;\cancel{\text{K}} \]

\[ Q = 67’040\;\text{J} = \underline{67.04\;\text{kJ}} \]

Wenn wir nur \(4.2\;\text{kJ}\) Wärme zuführen, dann erwärmt sich das Wasser um…

\[ \Delta T = \frac{Q}{m \cdot c} = \frac{4200\;\text{J}}{0.2\;\text{kg} \cdot 4200\;\frac{\text{J}}{\text{kg K}}} = 5\;\text{K} = 5\;^\circ \text{C} \]

…und somit erreichen wir von \(20\;^\circ \text{C}\) ausgehend:

\[ T = 20\;^\circ\text{C} + 5\;^\circ\text{C} = \underline{25\;^\circ\text{C}} \]

Experimentelle Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität

Die spezifische Wärmekapazität \(c\) lässt sich experimentell relativ einfach bestimmen. Mit einem elektrischen Heizdraht lässt sich die elektrische Leistung \(P\) einfach und genau bestimmen. Wir wissen somit, wie viel Energie pro Zeit in den zu untersuchenden Stoff geleitet wird. Dabei müssen wir beachten, dass die zugeführte Energie nicht wieder an die Umgebung abgegeben wird. Dazu wird ein sog. Kalorimeter benutzt, ein Gefäss, dass wärmeisolierend ist, wie ein Thermoskrug.

Wir führen eine gewisse Zeit \(\Delta t\) lang Energie zu mit einer bekannten elektrischen Leistung \(P\), d.h. 

\[ P = \frac{\Delta E}{\Delta t} \quad \rightarrow \quad \Delta E = Q = P \cdot \Delta t \]

Somit kennen wir die dem thermodynamischen System geführte Wärme \(Q\). Die Masse \(m\) wurde vorgängig gemessen, d.h. jetzt fehlt nur noch das Messen der Temperaturänderung \(\Delta T\) und wir können die spezifische Wärmekapazität \(c\) berechnen:

\[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T \quad \rightarrow \quad c = \frac{Q}{m\;\Delta T} \]

Genauer wird es, wenn wir über eine gewisse Zeit lang aufheizen und die Messpunkte in einem \(T,Q\)-Diagramm auftragen, d.h. ein Temperaturverlauf als Funktion der zugeführten Wärme \(Q\). Die Messpunkte bilden eine Gerade mit einer bestimmten Steigung, also eine lineare Funktion.

Im \(x,y\)-Koordinatensystem wäre das \(y(x)=a \cdot x\) mit der Steigung \(a\). Hier haben wir \(T(Q)=a \cdot Q\). Für die Steigung der Geraden gilt:

\[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T \quad \rightarrow \quad a = \frac{\Delta T}{Q} = \frac{1}{c \cdot m} \]

Die Steigung ist umgekehrt proportional zur absoluten Wärmekapazität \((m \cdot c)\). Wenn wir ein thermodynamisches System mit einer grossen Wärmekapazität \((m \cdot c)\) haben, wir die Temperatur nur leicht steigen. Die zugeführte Wärme \(Q\) kann sich auf eine grosse Masse verteilen und diese Masse hat zudem eine grosse Kapazität und kann viel Energie speichern. Versuche einmal das Wasser eines Swimmingpools mit einem kleinen Wasserkocher zu erwärmen. Die Temperatur wird (kaum) steigen.

Anders herum, steigt bei einer sehr kleinen Wärmekapazität \((m \cdot c)\) die Temperatur sehr schnell an, weil die zugeführte Wärme \(Q\) auf wenig Masse \(m\) und auf einen Stoff mit kleiner spezifischer Wärmekapazität \(c\) trifft. Wohin mit der Wärme? Es gibt beschränkt viele Teilchen und die können nicht viel anfangen mit der Energie, also wird ihre Bewegung einfach schneller und wir erreichen in Kürze eine hohe Temperatur. Das macht durchaus Sinn!

Definitionen

Abkürzung: \(c\)

Einheit: \([\,c\,] = \frac{\text{J}}{\text{kg K}}\)

Beachte, dass für Gase die folgenden zwei spezifischen Wärmekapazitäten unterschieden werden, da sich Gas stark ausdehnen oder komprimieren lassen:

  • \(c_V\) ist spezifische Wärmekapazität bei konstant gehaltenem Volumen \(V\)
  • \(c_p\) steht für die spezifische Wärmekapazität bei konstant gehaltenem Druck \(p\)

Bei konstant gehaltenem Volumen kann das Gas keine Arbeit verrichten, so dass sämtliche Wärme \(Q\) in der inneren Energie des Gases gespeichert wird. Bei konstant gehaltenem Druck, expandiert das Gas durch die Wärmezufuhr \(Q\) und die innere Energie nimmt zwar zu, wird aber um den Betrag der Expansionsarbeit \(W\) reduziert.

Wenn die innere Energie weniger stark zunimmt, nimmt auch die Temperatur weniger stark zu, d.h. bei gleicher Wärmezufuhr haben wir eine kleinere Temperaturerhöhung. Das macht, dass \(c_p > c_V\), jedoch für den gleichen Stoff. Wir müssen hier also den Prozess, entweder isochor (\(V\) konstant) oder isobar (\(p\) konstant) unterscheiden.

Wir haben die Stoffmenge mit der Masse beschrieben und deshalb die spezifische Wärmekapazität als die Wärmekapazität pro Kilogramm definiert. In der Chemie ist oft die Definition pro Mol üblich: Es ist die molare Wärmekapazität \(C_m\). Wenn wir eine bestimmte Stoffmenge betrachten, dann können wir die absolute Wärmekapazität schreiben als \((m \cdot c)\) oder eben auch als \((n \cdot C_m)\), wobei \(n\) die Anzahl \(\text{mol}\) ist, also ein Mass für die Anzahl Teilchen:

\[ (m \cdot c) = (n \cdot C_m) \]

Mit der molaren Masse \(M = \frac{m}{n}\), also der Masse pro Mol, erhalten wir eine Umrechnung von der spezifischen Wärmekapazität \(c\) zur molaren Wärmekapazität \(C_m\) bzw. umgekehrt:

\[ C_m = \frac{m}{n} \cdot c = M \cdot c \]

Freiheitsgrade

Translatorische Freiheitsgrade

Wir haben bisher nicht genauer untersucht, wie es sein kann, dass gewisse Stoffe mehr Energie speichern können als andere. Es gibt dazu viele Gründe, aber einer liegt in der Anzahl Freiheitsgrade begründet. Gase können im Teilchenmodell als einzeln fliegende Teilchen modelliert werden. Ihre innere Energie finden wir in der kinetischen Energie dieser Teilchen, denn sie fliegen mit grosser Geschwindigkeit und haben ja eine Masse, d.h. \(E_{kin} = \frac{1}{2}m v^2\)

Ein einatomiges Gas, z.B. das Edelgas Argon, kann so modelliert werden. Wir sagen auch, dass die Teilchen drei Freiheitsgrade haben, denn sie können sich in \(x\)-, in \(y\)- und in \(z\)-Richtung bewegen bzw. in allen erdenklichen Kombinationen dieser drei Richtungen. Mit anderen Worten: Sie können sich im dreidimensionalen Raum bewegen. Wir nennen diese Bewegungen die translatorischen (geraden) Bewegungen oder “Verschiebungen”.

Rotative Freiheitsgrade

Jetzt gibt es aber Gase, die mehr Freiheitsgrade haben, als Argon. Sauerstoff \(O_\text{2}\) und Stickstoff \(N_\text{2}\) bestehen aus jeweils zwei Atomen. Wir können sie als starre Hanteln uns vorstellen. Nun können Hanteln, genauso wie Kugeln, beliebig im dreidimensionalen Raum herumfliegen. Zusätzlich können sie aber rotieren.

Wenn wir die die starre Hantel im dreidimensionalen Raum in die \(y\)-Achse legen, dann kann sie um die \(x\)-Achse rotieren oder auch um die \(z\)-Achse. Die zwei neuen Freiheitsgrade erlauben ein zusätzliches Speichern von Energie, denn es gibt ja die Rotationsenergie: \(E_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2\)

Was ist mit dem Rotieren um die \(y\)-Achse? Grundsätzlich ist eine solche Rotation denkbar, allerdings ist das Trägheitsmoment \(I\) sehr viel kleiner, so dass diese Rotationsenergie kaum ins Gewicht fallen würde. Auch würde sich die Frage stellen, was das denn heisst, wenn ein Atom um seine eigene Achse dreht? Meinen wir dann die Rotation der Bestandteile des Atoms – die Elektronen? Die haben fast keine Masse! Die Masse liegt im Kern des Atoms und der ist ja \(10^5\)-fach kleiner als das Atom.

Die Rotation des Atomkerns um seine eigene Achse, wenn überhaupt, können wir definitiv vernachlässigen! Wir merken uns deshalb, dass nur die Rotationen einer zweiatomigen Hantel quer zur Hantelachse zählen. Deshalb gibt es zwei und nicht drei zusätzliche Freiheitsgrade für die Rotation.

Bei mehr-atomigen Molekülen, die von allen Seiten gesehen grösser sind als nur ein-Atom-gross, können wir drei zusätzliche Freiheitsgrade für die Rotation zählen.

Oszillative Freiheitsgrade

Bei höheren Temperaturen kommen bei zweiatomigen Gasen noch weitere Freiheitsgrade hinzu. Die zwei Atome sind aneinander gebunden, können sich aber etwas annähern und wieder entfernen, als wären sie mit einer Feder verbunden. Ihre Bindung verhält sich tatsächlich wie eine Feder, jedoch nicht wie eine mechanische Feder, sondern wie eine Feder mit Coulombkraft.

Auf jeden Fall können die beiden Atome als Paar schwingen (oszillieren). Die Kräfte sind hier recht gross, weshalb es schon viel Energie (und somit Temperatur) braucht, um sie so zum Schwingen zu bringen. Das Schwingen von einer “Feder” zählt als zwei zusätzliche Freiheitsgrade.

Aufgabensammlung

  • Joules Experiment (0115)

    3 Teilaufgaben mit Lösungen (pdf/Video):
    • Potenzielle Energie
    • Spezifische Wärmekapazität
    • Arbeit und Wärme

    zur Aufgabe
  • Tasse Kaffee (0114)

    4 Teilaufgaben mit Lösungen (pdf/Video):
    • Spezifische Wärmekapazität
    • Wärme und Temperatur

    zur Aufgabe

Lernziele

  • Du weisst, was mit der spezifischen und was mit der absoluten Wärmekapazität gemeint ist.
  • Du kennst den Zusammenhang zwischen der zugeführten (oder abgeführten) Wärme und der Temperaturerhöhung (oder -reduktion), die daraus folgt und kannst die Formel anwenden.

Weitere Links

Spezifische Wärmekapazität (Wikipedia)

Autor dieses Artikels:

David John Brunner

Lehrer für Physik und Mathematik | Mehr erfahren

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überarbeitet:

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