Spezifische Wärmekapazität

Temperaturzunahme bei Wärmezufuhr

Wir können uns qualitativ vorstellen, wie sich die Temperatur erhöht, wenn wir einem Stoff Wärme zuführen. Um wie viel erhöht sich die Temperatur, wenn wir einem Stoff eine bekannte Menge an Energie (Wärme) zuführen? Wie können wir die Grössen Temperatur \(T\) und Wärme \(Q\) quantitativ verknüpfen? Wie können wir berechnen, um wie viele Grad sich ein Stoff erwärmt, wenn wir z.B. 1 kJ Wärme zuführen?

Aus Experimenten fand man heraus, dass die Energiemenge und die Temperaturänderung eine lineare Abhängigkeit von einander haben, d.h. wenn wir die doppelte Menge an Wärme zuführen, ist die Temperaturänderung ebenfalls doppelt so gross. Dazwischen gibt es aber einen Faktor, der eben die Materialeigenschaft berücksichtigt. Es ist die Wärmekapazität, die wir als Produkt \((m \cdot c)\) notieren:

\[ Q = (m \cdot c) \cdot \Delta T \quad \rightarrow \quad \Delta T = \frac{Q}{(m \cdot c)} \]

Die zugeführte Wärme \(Q\) geht in das Produkt von Wärmekapazität \((m \cdot c)\) und Temperaturänderung \(\Delta T\). Betrachten wir jetzt ein Beispiel. Wenn wir die Wärmemenge von \(Q = 1\;\text{kJ}\) einem Kilogramm Wasser zuführen, das die Wärmekapazität \((m \cdot c)=4.2\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}\) hat, erhöht sich die Temperatur um:

\[ \Delta T = \frac{Q}{(m \cdot c)} = \frac{1\;\text{kJ}}{4.2\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}} = 0.24\;\text{K} \]

Wenn wir jetzt die gleiche Menge an Energie einem Kilogramm Luft zuführen, das die Wärmekapazität \((m \cdot c)=1.005\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}\) hat, erhöht sich die Temperatur (bei konstantem Druck) um:

\[ \Delta T = \frac{Q}{(m \cdot c)} = \frac{1\;\text{kJ}}{1.005\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}} \approx 1\;\text{K} \]

Das Wasser erwärmt sich nur um ein Viertelgrad Celsius, währenddem sich die Luft um ein ganzes Grad erwärmt. Dabei sei daran erinnert, dass Temperaturänderungen gleich gross sind, in Kelvin oder Grad Celsius. Wir können dem Wasser die rund vierfache Menge an Energie \((Q = 4.2\;\text{kJ})\) zuführen, bis es sich ebenfalls um ein Grad erwärmt hat:

\[ \Delta T = \frac{Q}{(m \cdot c)} = \frac{4.2\;\text{kJ}}{4.2\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}}} = 1\;\text{K} \]

Wasser hat in einem \(\text{kg}\) die rund vierfache Wärmekapazität, wie Luft. Es ist die spezifische Wärmekapazität \(c\), nämlich die Wärmekapazität pro \(\text{kg}\). Das ist die Materialgrösse. Die Wärmekapazität ist aber auch abhängig von der Menge an Stoff, d.h. ich kann mit \(m_L=4.2\;\text{kg}\) Luft gleich viel Wärme speichern, wie mit \(m_W=1\;\text{kg}\) Wasser, denn:

\[ (m_L \cdot c_L) = 4.2\;\text{kg} \cdot 1.005\;\frac{\text{kJ}}{\text{kg K}} \approx 4.2\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}} \]

\[ (m_W \cdot c_W) = 1\;\text{kg} \cdot 4.2\;\frac{\text{kJ}}{\text{kg K}} = 4.2\;\frac{\text{kJ}}{\text{K}} \]

Daraus folgt die Beziehung zwischen der Wärme \(Q\) und der Temperaturänderung \(\Delta T\):

Die einem thermodynamischen System zugeführte Wärme \(Q\) führt zu einer Änderung der Temperatur \(\Delta T\), die abhängig ist von der Masse \(m\) und der spezifischen Wärmekapazität \(c\) des Stoffs.

\[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T \]

Die spezifische Wärmekapazität \(c\) ist die Wärmekapazität eines Stoffs pro Kilogramm. Somit ist das Produkt \((m \cdot c)\) die absolute Wärmekapazität der betrachteten Stoffmenge. Je grösser diese ist, desto kleiner wird die Temperaturänderung sein, denn die Energie lässt sich in der grossen Kapazität “leicht verstauen”. Systeme mit kleiner (absoluter) Wärmekapazität reagieren auf eine Wärmezu- oder abfuhr mit einer starken Zu- bzw. Abnahme der Temperatur.

Beachte, dass die spezifische Wärmekapazität keine reine Stoffgrösse ist, sondern selber auch von der Temperatur abhängig ist. Bei nicht zu grossen Temperaturänderungen können wir dies vernachlässigen und einfach mit einem konstanten Wert rechnen. Wir nehmen z.B. den Wert der spezifischen Wärmekapazität aus einer Tabelle, die aber streng genommen nur für die Temperatur von 25 °C gilt und berechnen eine Erwärmung auf 100 °C. Das ist genug genau. Wenn wir jedoch auf 1000 °C heizen oder auf -200 °C abkühlen würden, wäre die Rechnung nicht mehr korrekt.

Experimentelle Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität

Die spezifische Wärmekapazität \(c\) lässt sich experimentell relativ einfach bestimmen. Mit einem elektrischen Heizdraht lässt sich die elektrische Leistung \(P\) einfach und genau bestimmen. Wir wissen somit, wie viel Energie pro Zeit in den zu untersuchenden Stoff geleitet wird. Dabei müssen wir beachten, dass die zugeführte Energie nicht wieder an die Umgebung abgegeben wird. Dazu wird ein sog. Kalorimeter benutzt, ein Gefäss, dass wärmeisolierend ist, wie ein Thermoskrug.

Wir führen eine gewisse Zeit \(\Delta t\) lang Energie zu mit einer bekannten elektrischen Leistung \(P\), d.h. 

\[ P = \frac{\Delta E}{\Delta t} \quad \rightarrow \quad \Delta E = Q = P \cdot \Delta t \]

Somit kennen wir die dem thermodynamischen System geführte Wärme \(Q\). Die Masse \(m\) wurde vorgängig gemessen, d.h. jetzt fehlt nur noch das Messen der Temperaturänderung \(\Delta T\) und wir können die spezifische Wärmekapazität \(c\) berechnen:

\[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T \quad \rightarrow \quad c = \frac{Q}{m\;\Delta T} \]

Genauer wird es, wenn wir über eine gewisse Zeit lang aufheizen und die Messpunkte in einem \(T,Q\)-Diagramm auftragen, d.h. ein Temperaturverlauf als Funktion der zugeführten Wärme \(Q\). Die Messpunkte bilden eine Gerade mit einer bestimmten Steigung, also eine lineare Funktion.

Im \(x,y\)-Koordinatensystem wäre das \(y(x)=a \cdot x\) mit der Steigung \(a\). Hier haben wir \(T(Q)=a \cdot Q\). Für die Steigung der Geraden gilt:

\[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T \quad \rightarrow \quad a = \frac{\Delta T}{Q} = \frac{1}{c \cdot m} \]

Die Steigung ist umgekehrt proportional zur absoluten Wärmekapazität \((m \cdot c)\). Wenn wir ein thermodynamisches System mit einer grossen Wärmekapazität \((m \cdot c)\) haben, wir die Temperatur nur leicht steigen. Die zugeführte Wärme \(Q\) kann sich auf eine grosse Masse verteilen und diese Masse hat zudem eine grosse Kapazität und kann viel Energie speichern. Versuche einmal das Wasser eines Swimmingpools mit einem kleinen Wasserkocher zu erwärmen. Die Temperatur wird (kaum) steigen.

Anders herum, steigt bei einer sehr kleinen Wärmekapazität \((m \cdot c)\) die Temperatur sehr schnell an, weil die zugeführte Wärme \(Q\) auf wenig Masse \(m\) und auf einen Stoff mit kleiner spezifischer Wärmekapazität \(c\) trifft. Wohin mit der Wärme? Es gibt beschränkt viele Teilchen und die können nicht viel anfangen mit der Energie, also wird ihre Bewegung einfach schneller und wir erreichen in Kürze eine hohe Temperatur. Das macht durchaus Sinn!

Definitionen

Abkürzung: \(c\)

Einheit: \([\,c\,] = \frac{\text{J}}{\text{kg K}}\)

Beachte, dass für Gase die folgenden zwei spezifischen Wärmekapazitäten unterschieden werden, da sich Gas stark ausdehnen oder komprimieren lassen:

• \(c_V\) ist spezifische Wärmekapazität bei konstant gehaltenem Volumen \(V\)
• \(c_p\) steht für die spezifische Wärmekapazität bei konstant gehaltenem Druck \(p\)

Bei konstant gehaltenem Volumen kann das Gas keine Arbeit verrichten, so dass sämtliche Wärme \(Q\) in der inneren Energie des Gases gespeichert wird. Bei konstant gehaltenem Druck, expandiert das Gas durch die Wärmezufuhr \(Q\) und die innere Energie nimmt zwar zu, wird aber um den Betrag der Expansionsarbeit \(W\) reduziert.

Wenn die innere Energie weniger stark zunimmt, nimmt auch die Temperatur weniger stark zu, d.h. bei gleicher Wärmezufuhr haben wir eine kleinere Temperaturerhöhung. Das macht, dass \(c_p > c_V\), jedoch für den gleichen Stoff. Wir müssen hier also den Prozess, entweder isochor (\(V\) konstant) oder isobar (\(p\) konstant) unterscheiden.

Wir haben die Stoffmenge mit der Masse beschrieben und deshalb die spezifische Wärmekapazität als die Wärmekapazität pro Kilogramm definiert. In der Chemie ist oft die Definition pro Mol üblich: Es ist die molare Wärmekapazität \(C_m\). Wenn wir eine bestimmte Stoffmenge betrachten, dann können wir die absolute Wärmekapazität schreiben als \((m \cdot c)\) oder eben auch als \((n \cdot C_m)\), wobei \(n\) die Anzahl \(\text{mol}\) ist, also ein Mass für die Anzahl Teilchen:

\[ (m \cdot c) = (n \cdot C_m) \]

Mit der molaren Masse \(M = \frac{m}{n}\), also der Masse pro Mol, erhalten wir eine Umrechnung von der spezifischen Wärmekapazität \(c\) zur molaren Wärmekapazität \(C_m\) bzw. umgekehrt:

\[ C_m = \frac{m}{n} \cdot c = M \cdot c \]

Freiheitsgrade

Translatorische Freiheitsgrade

Wir haben bisher nicht genauer untersucht, wie es sein kann, dass gewisse Stoffe mehr Energie speichern können als andere. Es gibt dazu viele Gründe, aber einer liegt in der Anzahl Freiheitsgrade begründet. Gase können im Teilchenmodell als einzeln fliegende Teilchen modelliert werden. Ihre innere Energie finden wir in der kinetischen Energie dieser Teilchen, denn sie fliegen mit grosser Geschwindigkeit und haben ja eine Masse, d.h. \(E_{kin} = \frac{1}{2}m v^2\)

Ein einatomiges Gas, z.B. das Edelgas Argon, kann so modelliert werden. Wir sagen auch, dass die Teilchen drei Freiheitsgrade haben, denn sie können sich in \(x\)-, in \(y\)- und in \(z\)-Richtung bewegen bzw. in allen erdenklichen Kombinationen dieser drei Richtungen. Mit anderen Worten: Sie können sich im dreidimensionalen Raum bewegen. Wir nennen diese Bewegungen die translatorischen (geraden) Bewegungen oder “Verschiebungen”.

Rotative Freiheitsgrade

Jetzt gibt es aber Gase, die mehr Freiheitsgrade haben, als Argon. Sauerstoff \(O_\text{2}\) und Stickstoff \(N_\text{2}\) bestehen aus jeweils zwei Atomen. Wir können sie als starre Hanteln uns vorstellen. Nun können Hanteln, genauso wie Kugeln, beliebig im dreidimensionalen Raum herumfliegen. Zusätzlich können sie aber rotieren.

Wenn wir die die starre Hantel im dreidimensionalen Raum in die \(y\)-Achse legen, dann kann sie um die \(x\)-Achse rotieren oder auch um die \(z\)-Achse. Die zwei neuen Freiheitsgrade erlauben ein zusätzliches Speichern von Energie, denn es gibt ja die Rotationsenergie: \(E_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^2\)

Was ist mit dem Rotieren um die \(y\)-Achse? Grundsätzlich ist eine solche Rotation denkbar, allerdings ist das Trägheitsmoment \(I\) sehr viel kleiner, so dass diese Rotationsenergie kaum ins Gewicht fallen würde. Auch würde sich die Frage stellen, was das denn heisst, wenn ein Atom um seine eigene Achse dreht? Meinen wir dann die Rotation der Bestandteile des Atoms – die Elektronen? Die haben fast keine Masse! Die Masse liegt im Kern des Atoms und der ist ja \(10^5\)-fach kleiner als das Atom.

Die Rotation des Atomkerns um seine eigene Achse, wenn überhaupt, können wir definitiv vernachlässigen! Wir merken uns deshalb, dass nur die Rotationen einer zweiatomigen Hantel quer zur Hantelachse zählen. Deshalb gibt es zwei und nicht drei zusätzliche Freiheitsgrade für die Rotation.

Bei mehr-atomigen Molekülen, die von allen Seiten gesehen grösser sind als nur ein-Atom-gross, können wir drei zusätzliche Freiheitsgrade für die Rotation zählen.

Oszillative Freiheitsgrade

Bei höheren Temperaturen kommen bei zweiatomigen Gasen noch weitere Freiheitsgrade hinzu. Die zwei Atome sind aneinander gebunden, können sich aber etwas annähern und wieder entfernen, als wären sie mit einer Feder verbunden. Ihre Bindung verhält sich tatsächlich wie eine Feder, jedoch nicht wie eine mechanische Feder, sondern wie eine Feder mit Coulombkraft.

Auf jeden Fall können die beiden Atome als Paar schwingen (oszillieren). Die Kräfte sind hier recht gross, weshalb es schon viel Energie (und somit Temperatur) braucht, um sie so zum Schwingen zu bringen. Das Schwingen von einer “Feder” zählt als zwei zusätzliche Freiheitsgrade.