Lotfusspunkt bestimmen

Zuerst brauchen wir die Gleichung der Lotgeraden, d.h. der Geraden, die durch \(P\) geht und die Ebene \(E\) senkrecht durchstösst. Den Stützpunkt der Geraden haben wir natürlich mit \(P\) gegeben, denn der muss ja auf der Lotgeraden sein. Die Richtung der Lotgeraden ist auch einfach zu ermitteln. Sie muss senkrecht zur Ebene \(E\) stehen und diese Richtung erhalten wir mit der Normalvektor \(\vec{n}\).

Die Koordinatenform der Ebene verrät uns den Normalvektor direkt, denn wir erinnern uns an die Normalform einer Ebene, die war:

\[ E: \quad n_x \cdot (x – A_x) + n_y \cdot (y – A_y) + n_z \cdot (z – A_z) = 0 \]

Wenn wir die Klammern ausmultiplizieren, erhalten wir:

\[ n_x \cdot x + n_y \cdot y + n_z \cdot z \;\; = \;\; n_x A_x + n_y A_y + n_z A_z \]

Die linke Seite zeigt uns, dass die Koeffizienten vor dem \(x\), dem \(y\) und dem \(z\) gleich auch die Vektorkomponenten des Normalvektors sind, d.h. hier:

\[ \vec{n} = \begin{pmatrix} n_x \\ n_y \\ n_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Wir haben somit eine Parameterform der Lotgeraden \(l\):

\[ l \colon \;\; \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} \]

Da die Ebene nicht in Parameterform vorliegt, können wir die beiden Gleichungen nicht gleichsetzen. Wir wählen aber das Einsetzverfahren und setzen die drei Gleichungen für die Komponenten \(x\), \(y\) und \(z\) aus der Lotgeraden in die Ebenengleichung:

\[ \begin{array}{cc} x = 2 + 2s \\ y = 3 – s \\ z = 2 – 3s \end{array} \]

\[ 2x – y – 3z \;\; = \;\; 2 \cdot (2 + 2s) – (3 – s) – 3 \cdot (2 – 3s) \;\; = \;\; 9 \]

\[ 4 + 4s – 3 + s – 6 + 9s \;\; = \;\; 9 \]

Das ist eine einfache Gleichung mit einer Unbekannten \(s\). Wir erhalten: \(s=1\)

Den Lotfusspunkt haben wir damit gefunden. Wir nehmen die Lotgerade und setzen \(s=1\):

\[ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2+2 \\ 3-1 \\ 2-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \]

Der Punkt auf \(l\) mit \(s=1\) ist der Lotfusspunkt und seine Koordinaten sind: \(\underline{Q(4,2,-1)}\)