Linearkombination

Wir setzen die Linearkombination mit den beiden unbekannten Parametern \(k\) und \(l\) auf:

\[ k \cdot \vec{v} + l \cdot \vec{w} = \overrightarrow{0P} \]

\[ k \cdot \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix} + l \cdot \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 3\end{pmatrix} \]

Jetzt schauen wir einmal nur die erste Zeile für die \(x\)-Komponente an. Sie gibt uns eine Gleichung mit den beiden Unbekannten \(k\) und \(l\):

\[ k \cdot 1 + l \cdot 5 = 3 \]

Die zweite Zeile gibt analog:

\[ k \cdot (-1) + l \cdot 1 = 3 \]

Wenn wir in dieser zweiten Gleichung \(k\) addieren und \(3\) subtrahieren, erhalten wir \(k = l-3\). Wir können deshalb statt \(k\) auch \((l-3)\) schreiben, weil sie gleich sind. Wir gehen deshalb in die erste Gleichung und ersetzen das \(k\) mit \((l-3)\):

\[ (l-3) \cdot 1 + l \cdot 5 = 3 \]

Jetzt vereinfachen wir die Gleichung und erhalten, lösen sie für \(l\) auf und erhalten:

\[ l – 3 + 5l = 3 \quad \rightarrow \quad \underline{l = 1}\]

Nun kennen wir \(l\) und wissen, dass \(k=l-3\), d.h. \(\underline{k=-2}\). Wir kontrollieren die Linearkombination:

\[ (-2) \cdot \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}5 \\ 1\end{pmatrix} \]

\[ = \begin{pmatrix}(-2) \cdot 1 + 1 \cdot 5 \\ (-2) \cdot (-1) + 1 \cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 3\end{pmatrix} \]

Das Resultat stimmt tatsächlich. Wir müssen also zwei Mal den Vektor \(\vec{v}\) subtrahieren und einmal den Vektor \(\vec{w}\) addieren und erhalten so den Ortsvektor \(\overrightarrow{0P}\). Grafisch sieht das dann so aus:

Es sieht zwar umständlich aus, aber unsere Erkenntnis aus dem obigen Beispiel ist, dass wir den Punkt \(P\) und eigentlich jeden Punkt in der \(x,y\)-Ebene mit einer Linearkombination von \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) erreichen können. Somit spannen \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) die \(x,y\)-Ebene auf, genauso wie die beiden Einheitsvektoren \(\vec{e}_x\) und \(\vec{e}_y\).

Beachte noch, dass der grosse Vorteil von \(\vec{e}_x\) und \(\vec{e}_y\) ist, dass wir die Koeffizienten \(k\) und \(l\) der Linearkombination einfach aus den Koordinaten des Zielpunkts nehmen können. Wenn wir also den Punkt \(P(3,3)\) erreichen möchten, heisst es einfach:

\[ \overrightarrow{0P} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \cdot \vec{e}_x + 3 \cdot \vec{e}_y \]

Mit den beiden Vektoren \(\vec{v}\) und \(\vec{w}\) ist die Sache weniger praktisch. Niemals hätten wir einfach so raten können, dass aus dem Zahlenpar \((3,3)\) das Zahlenpaar \((-2,1)\) entstehen würde:

\[ \overrightarrow{0P} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \end{pmatrix} = (-2) \cdot \vec{v} + 1 \cdot \vec{w} \]

Wenn die beiden, fast willkürlich gewählten Vektoren \(\vec{v}\) und \(\vec{