Ereignismenge

Wir wissen, dass in einem Zufallsexperiment gewisse Ergebnisse möglich sind, andere nicht. Die möglichen Ergebnisse sind Elemente des Ergebnisraums \(\Omega\), der Menge aller möglichen Ergebnisse \(\omega_i\). Sehr oft sind wir an eine Wahrscheinlichkeit interessiert, für die mehrere Ergebnisse in Frage kommen. Beispielsweise interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine gerade Zahl zu werfen. Die Menge \(E\) mit den dafür gültigen Ergebnissen ist dann eine Untermenge des Ergebnisraums \(\Omega\):

\[ E = \Big\{ 2, 4, 6 \Big\} \;\; \subset \;\; \Omega \]

An dieser Stelle möchte ich noch anmerken, dass der Ergebnisraum \(\Omega\) selbst auch eine Teilmenge ist. Er beinhaltet alle möglichen Ergebnisse und ist damit die Teilmenge der Gesamtmenge aller Ergebnisse überhaupt. Es gibt ja noch die unmöglichen Ergebnisse, die wir uns zwar ausdenken können, die aber im Zufallsexperiment niemals auftreten werden.

Zu einem Ereignis \(A\) gibt es auch das sog. Komplement oder Gegenereignis von \(A\), das wir mit einem Querstrich markieren. Es ist die Menge aller möglichen Ergebnisse, die \(A\) nicht erfüllen, also alle möglichen Ergebnisse (ganzer Ergebnisraum \(\Omega\)) ohne (\(\setminus\)) die Menge der Ergebnisse, die \(A\) erfüllt:

\[ \overline{A} = \Omega \setminus A \]

Darstellung mit Diagrammen

Für die Stochastik ist die Mengenlehre sehr praktisch, denn wir können mit ihrer Hilfe eine gute Übersicht über unsere Ereignismengen behalten. In der folgenden Grafik haben wir Ergebnisräume \(\Omega\) und verschiedene Ereignismengen als sog. Venn-Diagramme aufgezeichnet.

Links sehen wir den Ergebnisraum \(\Omega\) und drei Ereignismengen \(A\), \(B\) und \(C\). Wir sehen auch, dass sich die Ereignismengen \(A\) und \(B\) überschneiden, d.h. es gibt Ergebnisse, die Elemente der beiden Mengen sind. Die rot markierte Teilmenge ist die Schnittmenge von \(A\) und \(B\):

\[ A \cap B \]

Die Mengen \(A\) und \(C\) einerseits und \(B\) und \(C\) andererseits haben keine gemeinsame Schnittmengen. Man nennt Mengen, die sich nicht schneiden, keine gemeinsamen Ergebnisse teilen oder eben eine leere Schnittmenge haben disjunkte Mengen:

\[ A \cap C = B \cap C = \big\{\;\big\} \]

In der Mitte sehen wir das grau markierte Gegenereignis von \(C\), das wir mit einem Querstrich markieren. Es ist die Menge aller möglichen Ergebnisse, jedoch ohne die Ergebnisse von \(C\), die ausgeschlossen sein sollen. 

Wenn wir nun statt \(A\), die Menge \(\overline{A}\) mit \(B\) schneiden (drittes Bild), erhalten wir die Menge aller Ergebnisse, die in \(B\) sind, jedoch nicht in \(A\): “B ohne A”.

Eine zweite Art von Diagrammen benutzt eine Tabellenform. Die beiden Situationen 2 und 3 können wir mit Hilfe einer Tabelle, manchmal auch Vierfeldertafel genannt, darstellen. Der Vorteil ist eine klare Aufteilung der verschiedenen Schnittmengen.

Sobald wir jedoch drei Mengen haben, wird die Darstellung etwas schwieriger zu lesen und für mehr Mengen ist sie komplett ungeeignet. Eine Darstellung für drei Mengen wird im nachfolgenden Beispiel gezeigt.

Beispiel

Stelle für ein Würfelexperiment mit zwei Würfeln die folgenden Ereignisse mit Hilfe eines Venn-Diagramms und einer Mehrfeldtafel grafisch dar:

• Ereignis \(A\) = Die Würfelsumme ist kleiner als 5
• Ereignis \(B\) = Beide Augenzahlen sind gerade
• Ereignis \(C\) = Die Würfelsumme ist eine Dreierzahl

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Zuerst müssen wir uns einig sein darüber, was eigentlich die Elementarereignisse sind. Sind es die Würfelsummen oder die einzelnen Augenzahlen?

Für die Ereignisse \(A\) und \(C\) würde die Würfelsumme als Elementarereignis ausreichen. Das Ereignis \(B\) könnte mit einer Summe aber nichts anfangen, denn beiden Augenzahlen müssen bekannt sein. Die Ereignisse \(A\) und \(C\) können mit den beiden Augenzahlen sehr einfach ihre Würfelsumme bilden. Wir einigen uns deshalb auf das Elementarereignis “Augenzahl des ersten Würfels” und “Augenzahl des zweiten Würfels”. Die Reihenfolge kommt nicht darauf an. Wenn wir eine 1 und dann eine 2 würfeln, ist es gleich wie wenn wir zuerst eine 2 und erst mit dem zweiten Würfel eine 1 erhalten:

\[ \{1,2\} \; = \; \{2,1\} \]

Als nächstes machen wir eine Tabelle mit allen möglichen Elementarereignissen und setzen immer ein Kreuz, wenn die Bedingung für das entsprechende Ereignis \(A\), \(B\) oder \(C\) erfüllt ist. Die Schnittmenge \(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}\) steht für alle Elementarereignis, die weder \(A\), \(B\), noch \(C\) erfüllen:

Nr.	Elementarereignis	\(A\)	\(B\)	\(C\)	\(\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}\)
1	\(\{1,1\}\)	X
2	\(\{1,2\}\)	X		X
3	\(\{1,3\}\)	X
4	\(\{1,4\}\)				X
5	\(\{1,5\}\)			X
6	\(\{1,6\}\)				X
7	\(\{2,2\}\)	X	X
8	\(\{2,3\}\)				X
9	\(\{2,4\}\)		X	X
10	\(\{2,5\}\)				X
11	\(\{2,6\}\)		X
12	\(\{3,3\}\)			X
13	\(\{3,4\}\)				X
14	\(\{3,5\}\)				X
15	\(\{3,6\}\)			X
16	\(\{4,4\}\)		X
17	\(\{4,5\}\)			X
18	\(\{4,6\}\)		X
19	\(\{5,5\}\)				X
20	\(\{5,6\}\)				X
21	\(\{6,6\}\)		X	X

Die Ergebnisse der Tabelle können jetzt einfach in ein Venn-Diagramm eingefüllt werden. Immer wenn für ein Elementarereignis zwei Ereignisse (oder mehr) erfüllt sind, müssen wir die entsprechende Schnittmenge wählen.

Wir können die Richtigkeit schnell überprüfen, indem wir schauen, ob z.B. die Summe tatsächlich maximal 4 beträgt für die Elementarereignisse in \(A\). In \(B\) sollten nur gerade Augenzahlen stehen, was wir auch mit einem Blick bestätigen können. Schliesslich enthält der Kreis \(C\) alle Elementarereignisse, deren Summe eine Dreierzahl ist. Auch das ist schnell überprüft.

Nachfolgend sind die Elementarereignisse auch in einer Mehrfeldtafel eingesetzt: