Das Wichtigste in Kürze

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Andrei Kolmogorow (1903 – 1987) war ein sowjetischer Mathematiker und einer der bedeutendsten Mathematiker des 20. Jahrhunderts. Mit seinen drei Axiomen haben wir ein Grundgerüst für unsere Arbeit mit der Wahrscheinlichkeit.

Axiom 1 von Kolmogorow

Wenn wir mit $\Omega$ die Menge aller möglichen Ergebnisse bezeichnen, dann hat ein Ergebnis $E$ eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, die wir mit $P(E)$ bezeichnen.

Dieser Wahrscheinlichkeit können wir einen Wert zuweisen. Wobei gilt:

  • $P(E)=0$ : Die Wahrscheinlichkeit ist null, d.h. das Ereignis $E$ kann gar nicht vorkommen
  • $P(E)=1$ : Die Wahrscheinlichkeit ist 1 bzw. 100% und es ist somit garantiert, dass das Ereignis $E$ eintreffen wird
  • $0 < P(E) < 1$ : Die Wahrscheinlichkeit $P$ des Ereignisses $E$ ist irgendwo zwischen 0% (gar nicht möglich) und 100% (garantiert). Das ist natürlich der häufigste Fall.

Kolmogorow stellte mit seinem ersten Axiom fest, dass für alle Ereignisse, die überhaupt möglich sind (und somit Teil der Menge $\Omega$ sind), die Wahrscheinlichkeit null oder mehr sein kann:

\[ 0 \leq P(E) \leq 1 \quad \forall E \subset \Omega \]

Auf der rechten Seite steht “für alle $(\forall)$ Ereignisse $E$, die Teilmenge von $\Omega$ sind.”

Mit diesem Axiom halten wir einfach fest, dass wir mit der Wahrscheinlichkeit $P$ eine Zahl zwischen 0 und 1 bzw. zwischen 0% und 100% meinen.

Axiom 2 von Kolmogorow

Die Wahrscheinlichkeit, dass das nächste Ereignis, Teil der Menge $\Omega$ ist und somit stattfindet, ist 100% bzw. 1.

Natürlich muss das so sein, denn die Menge $\Omega$ beschreibt ja die Menge aller möglichen Ereignisse.

\[ P(\Omega) = 1 \]

Sobald wir uns auf eine Teilmenge davon beschränken, z.B. ein mögliches Ereignis $E$, ist die Wahrscheinlichkeit zwischen 0% und 100% (Axiom 1):

\[ 0 \leq P(E) \leq 1 \quad \forall E \subset \Omega \]

Beispiel

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, beim gleichzeitigen Wurf von zwei Münzen, genau “Kopf und Kopf” zu erhalten? Vergleiche mit den Axiomen 1 und 2 von Kolmogorow.

Es gibt 4 mögliche Ereignisse, d.h. die Menge $\Omega$ hat vier Elemente, wobei wir mit $K$ Kopf und mit $Z$ Zahl meinen:

\[ \Omega = \Big\{ KK, KZ, ZK, ZZ \Big\} \]

Die Wahrscheinlichkeit dieser vier Kombinationen ist jeweils gleich wahrscheinlich, d.h. je 25%. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $KK$:

\[ P(KK) = \frac{1}{4} \]

Dieser Wert ist, gemäss Kolmogorow 1, tatsächlich zwischen 0% und 100%:

\[ 0\% \leq P(E) \leq 100\% \]

Die Wahrscheinlichkeit, dass wir KK, KZ, ZK oder ZZ werfen, ist 100%, denn eine andere Möglichkeit gibt es gar nicht. Es ist somit 100%-ig sicher, dass eines von diesen Ereignisse stattfinden wird. Hier gilt: $P(\Omega) = 1$.

Beispiel

Berechne $P(\overline{E})$ für den Fall, dass $P(E) = 80\%$.

Wir wissen, dass das Ereignis $\overline{E}$ das Gegenereignis von $E$ ist. Die Elemente der Menge $E$ (Ergebnisse) und die Elemente der Menge $\overline{E}$ bilden zusammen alle möglichen Elemente und somit den Ergebnisraum $\Omega$:

\[ E \cup \overline{E} = \Omega \]

oder anders ausgedrückt: $\overline{E}$ ist Menge aller Ergebnisse (Ergebnisraum) ohne die Ergebnisse $E$:

\[ \overline{E} = \Omega \backslash E \]

Mit dem zweiten Axiom von Kolmogorow erhalten wir:

\[ P(\overline{E}) = P(\Omega) – P(E) \]

\[ P(\overline{E}) = 1 – 0.8 = \underline{0.2} \]

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $\overline{E}$ ist somit 20%.

Axiom 3 von Kolmogorow

Kolmogorows drittes Axiom betrifft die Wahrscheinlichkeit von unvereinbaren Ereignismengen, die keine gemeinsame Schnittmenge haben bzw. disjunkt sind.

Axiom 3:

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

für disjunkte Ereignismengen $A$ und $B$, d.h.

\[ A \cap B = \{\;\} \]

Beispiel

Zeige mit dem dritten Axiom von Kolmogorow, dass die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln, genau 50% entspricht.

Beim Würfeln mit einem Würfel haben wir die folgenden Elementarereignisse:

\[ E_1 = \{ 1 \}, \quad E_2 = \{ 2 \}, \quad E_3 = \{ 3 \} \]

\[ E_4 = \{ 4 \}, \quad E_5 = \{ 5 \}, \quad E_6 = \{ 6 \} \]

Wenn der Würfel eine bestimmte Augenzahl zeigt, dann sind die anderen Augenzahlen damit automatisch ausgeschlossen. Die Elementarereignisse $E_i$ sind deshalb disjunkt, d.h. sie überlappen sich nicht. Sie haben leere Schnittmengen, ausser wenn sie mit sich selber geschnitten werden. Mathematisch wird das so geschrieben:

\[ E_i \cap E_j = \{ \, \} \quad (i \neq j) \]

Das Ereignis $A$, das uns interessiert ist:

\[ A = E_2 \cup E_4 \cup E_6 = \{ 2,\, 4,\, 6\} \]

Da die Teilmengen $E_2$, $E_4$ und $E_6$ disjunkt sind, können wir Kolmogorow 3 anwenden:

\[ P(A) = P(E_2) + P(E_4) + P(E_6) \]

\[ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \; = \; \underline{\frac{1}{2}} \]

Die Wahrscheinlichkeit mit einem Würfel eine gerade Zahl zu würfeln, beträgt 50%.

Elementarereignisse $\{\omega_i\}$ sind immer disjunkt, so dass wir die Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen immer summieren können:

\[ E = \Big\{\{\omega_1\}, \{\omega_2\}, …, \{\omega_n\}\Big\} \quad \rightarrow \quad P(E) = P(\{\omega_1\}) + P(\{\omega_2\}) + … + P(\{\omega_n\}) \]

Beispiel

Eine Urne enthält 8 Kugeln, eine Kugel ist rot ($R$), zwei Kugeln sind blau ($B$), die restlichen Kugeln sind grün ($G$). Nun wird eine Kugel zufällig gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese grün, blau oder rot?

Ereignisse:

  • $A$ = Die gezogene Kugel ist grün
  • $B$ = Die gezogene Kugel ist blau
  • $C$ = Die gezogene Kugel ist rot

Zeichne einen Ereignisbaum und berechne die Wahrscheinlichkeit mit Hilfe des Axioms 3 von Kolmogorow.


Wir können jede Kugel von 1 bis 8 nummerieren. Das Ziehen der Kugel 1 entspricht dem Elementarereignis $E_1$. Da wir 8 gleichwertige Kugeln haben, gilt:

\[ P(E_i) = \frac{1}{8} \]

Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen addieren sich zur Wahrscheinlichkeit 100%
Wahrscheinlichkeiten von Elementarereignissen addieren sich zur Wahrscheinlichkeit 100%

Die ersten fünf Kugeln sind grün, d.h. für das Ereignis $A$ gilt:

\[ A = E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup E_4 \cup E_5 \]

Da die Elementarereignisse immer disjunkt sind, wie auch hier, können wir Kolmogorow 3 anwenden. Die Wahrscheinlichkeit $A$ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse $E_1$ bis $E_5$:

\[ P(A) = P(E_1) + P(E_2) + P(E_3) + P(E_4) + P(E_5) \]

\[ P(A) = 5 \cdot \frac{1}{8} \; = \; \underline{\frac{5}{8}} \]

Für das Ereignis $B$, eine blaue Kugel zu ziehen, gilt:

\[ B = E_6 \cup E_7 \]

\[ P(B) = P(E_6) + P(E_7) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \; = \; \underline{\frac{2}{8}} \]

Schliesslich haben wir für das Ziehen einer roten Kugel $R$:

\[ R = E_8 \quad \rightarrow \quad P(R) \; = \; \underline{\frac{1}{8}} \]

Wahrscheinlichkeiten von sich gegenseitig ausschliessenden Ereignissen addieren sich zur Wahrscheinlichkeit 100%
Wahrscheinlichkeiten von sich gegenseitig ausschliessenden Ereignissen addieren sich zur Wahrscheinlichkeit 100%

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten sämtlicher Äste eines Ereignisbaums ist 1, wenn dieser Ereignisbaum sämtliche möglichen Fälle abdeckt.

Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das mehrere Elementarereignisse beinhaltet und somit durch mehrere Pfade erreicht wird, entspricht der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Elementarereignisse.

Aufgabensammlung

Wahrscheinlichkeit (5054)

6 Aufgaben (total 19 Teilaufgaben) mit Lösungen (pdf/Video):

  • Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten bei Roulette, Würfelspiel, Münzenwerfen und Tombola
  • Analyse eines Baumdiagramms
  • Wahrscheinlichkeit beim Bogenschiessen

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Lernziele

  • Du weisst, dass die Wahrscheinlichkeit ein theoretischer Wert zwischen 0 und 1 ist, der bei einer sehr grossen Anzahl Versuche durch die relative Häufigkeit annähernd erreicht wird.
  • Du kennst das dritte Axiom von Kolmogorow und kannst es in eigene Worte fassen. Insbesondere weisst Du, warum dieses Axiom für Elementarereignisse so wichtig ist.

Mini-Test

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