Auf wie viele Arten können wir die drei Buchstaben $A$, $B$ und $C$ nacheinander aufschreiben? Wir können uns diese Möglichkeiten notieren und werden schnell herausfinden, dass es sechs Möglichkeiten sind, nämlich:

\[ (A,B,C),\;\; (A,C,B),\;\; (B,A,C),\;\; (B,C,A),\;\; (C,A,B),\;\; (C,B,A) \]

Wir können das aber auch etwas systematischer angehen mit dem sog. Baumdiagramm oder Ereignisbaum:

Das Diagramm liest sich von links nach rechts. Der Startpunkt ganz links nennt sich auch die Wurzel des Baumdiagramms. Als Erstes wählen wir den ersten Buchstaben. Dazu gibt es drei Möglichkeiten und somit drei Hauptäste. Folgen wir dem oberen Hauptast, so beschreibt das die Fälle, in welchen $A$ der erste Buchstabe ist.

Dann geht es um die Wahl des zweiten Buchstabens. Hier haben wir nur noch zwei Buchstaben zur Auswahl, nämlich $B$ oder $C$. Mit der Wahl von $C$ haben wir den zweiten kleineren Ast oder Zweig gewählt, d.h. die gewählte Buchstabenkombination muss $(A,C,B)$ sein, denn für den dritten Buchstaben haben wir keine Wahl mehr. Wir zeichnen deshalb für den dritten Buchstaben keinen Ast mehr, da wir keine Wahl und damit keine weitere Verzweigung mehr haben. Die rechte Seite des Baumdiagramms enthält nun alle Enden und zeigt uns somit, welche und v.a. wie viele Möglichkeiten es gibt.

Die Kombination $(A,C,B)$ ist eine der sechs Möglichkeiten. Sie wird erreicht über den rot eingefärbten Pfad.

Die Anzahl Enden des Baums gibt uns die Anzahl Möglichkeiten, die Buchstaben anzuordnen. Wir können sie natürlich abzählen, aber viel interessanter ist die folgende kleine Rechnung:

\[ 3 \cdot 2 = 6 \]

Für den ersten Buchstaben haben wir 3 Möglichkeiten, d.h. drei Hauptäste. Für den zweiten Buchstaben gibt es je zwei Möglichkeiten, so dass jeder Hauptast sich in zwei kleinere Äste verzweigt. Wir kriegen so total sechs Äste, die uns die Anzahl Möglichkeiten ergibt.

Mit einem Baumdiagramm werden alle möglichen Pfade aufgezeichnet. An jedem Ende steht ein mögliches Ereignis, d.h. die Anzahl Möglichkeiten wird an der Anzahl Enden abgelesen.

Aufgabensammlung

  • Bedingte Wahrscheinlichkeit (5055) – Aufg. 1

    3 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Ereignisbaum und Unabhängigkeit von Ereignissen

  • Permutationen (5052) – Aufg. 1

    3 Teilaufgaben (pdf/Video-Lösung):
    Freunde treffen sich (Textaufgabe)

  • Wahrscheinlichkeit (5054) – Aufg. 5

    1 Aufgabe (pdf/Video-Lösung):
    Baumdiagramm