Addition und Subtraktion
Potenzen können nur addiert oder subtrahiert werden, wenn es sich um die gleichen Potenzen handelt, d.h. wenn sowohl Basis, wie auch Exponent übereinstimmen. In allen anderen Fällen können wir nichts ausrichten.
Bei der Addition bzw. Subtraktion zweier Potenzen mit gleicher Basis \(a\) und gleichen Exponenten \(n\) können die Vorfaktoren \(c_1\) und \(c_2\) ausgeklammert werden:
\[ c_1 a^n \pm c_2 a^n = (c_1 \pm c_2) \cdot a^n \]
Beispiel
Vereinfache den folgenden Ausdruck:
\[ 3x^2+4x-x^2-2x \]
Wir haben nur zwei Sorten von Potenzen: \(x\) und \(x^2\). Wir ordnen deshalb die Sache etwas um und klammern die jeweilige Potenz aus:
\[ = 3x^2-x^2 \;\; + \;\; 4x-2x \]
\[ = (3-1)x^2 + (4-2)x \]
Jetzt rechnen wir die Klammern aus:
\[ = 2x^2+2x \]
Wir können das noch etwas vereinfachen, indem wir \(2x\) ausklammern. Das ist aber nicht unbedingt nötig:
\[ = \underline{2x \cdot (x+1) } \]
Wir konnten hier die beiden “Potenzensorten” \(x^2\) und \(x^1=x\) je für sich addieren bzw. subtrahieren, aber nicht untereinander verrechnen.
Multiplikation und Division
Zwei Potenzen werden miteinander multipliziert, indem ihre Exponenten addiert werden. Das gilt nur, wenn sie die gleiche Basis haben. Bei der Division wird der Exponent des Divisors subtrahiert.
Beispiel
Berechne die folgende Multiplikation, indem du die Exponenten addierst.
\[ 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 \]
\[ 2^0 \cdot 2^1 \cdot 2^2 = 2^{0+1+2} = 2^3 = \underline{8} \]
Multiplikation zweier Potenzen mit gleicher Basis \(a\):
\[ a^m \cdot a^n = a^{(m+n)} \]
Division zweier Potenzen mit gleicher Basis \(a\):
\[ \frac{a^m}{a^n} = a^{(m-n)} \]
Wenn die Basis in einem Produkt oder einer Division nicht gleich sind, können wir auf zwei weitere Gesetze zurückgreifen, sofern wir gleiche Exponenten haben:
Multiplikation zweier Potenzen mit gleichen Exponenten \(n\):
\[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \]
Division zweier Potenzen mit gleichen Exponenten \(n\):
\[ \frac{\,\,\, a^n \,\,}{b^n} = \Bigl ( \frac{a}{b} \Bigr )^n \]
An dieser Stelle möchte ich dir kurz zeigen, wie einfach du auf die obigen Gesetze kommen kannst. Du schreibst die beiden Potenzen \(a^n\) und \(b^n\) aus. Da wir nicht wissen wie gross \(n\) ist, tun wir einfach so, als wollten wir alle \(n\) Faktoren aufschreiben, kürzen zwischendrin aber mit ”…” ab:
\[ a^n \cdot b^n = (a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot … \cdot a) \quad \cdot \quad (b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot … \cdot b) \]
Zwar stehen hier Klammern, aber es ist ein Produkt von Produkten, d.h. wir können die Klammern einfach aufheben. Auch dürfen wir die Faktoren beliebig umordnen, z.B. so:
\[ a \cdot b \cdot a \cdot b \cdot … \cdot a \cdot b \]
Da wir je \(n\) Stück \(a\) und \(n\) Stück \(b\) haben, haben wir auch \(n\) Pärchen \((a \cdot b)\):
\[ = (a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot … \cdot (a \cdot b) \]
Daraus folgt deshalb:
\[ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \]
Die Herleitung für die Division geht analog.
Beispiel
Berechne das folgende Produkt:
\[ 4^3 \cdot \Big(\frac{1}{8}\Big)^2 \cdot 2^3 \]
Wir erkennen den ersten und dritten Faktor mit dem gleichen Exponenten und schreiben sie deshalb zusammen. Um den zweiten Exponenten kümmern wir uns später.
\[ 4^3 \cdot 2^3 \cdot \Big(\frac{1}{8}\Big)^2 \]
\[ (4 \cdot 2)^3 \cdot \Big(\frac{1}{8}\Big)^2 \]
Wir berechnen die Klammer vorne und ersetzen den Kehrwert mit \(8^{-2}\):
\[ 8^3 \cdot 8^{-2} \]
Jetzt haben wir – glückliche Fügung – den Fall mit der gleichen Basis. Wir bilden deshalb die Summe der Exponenten:
\[ = 8^{3-2} = 8^1 = \underline{8} \]
Potenzieren
Bei der Stärke der Bindung gilt:
\[ \text{Addition (Level 1)} < \text{Multiplikation (Level 2)} < \text{Potenz (Level 3)}\]
Bei der Multiplikation von Potenzen haben wir gelernt:
\[ a^m \cdot a^n = a^{(m+n)}\]
Das Produkt auf der Stufe der Basis wird zu einer Addition auf der Stufe des Exponenten. Wir gehen von der Basis hoch zum Exponenten und die Multiplikation (Level 2) wird dafür um eine Stufe deklassiert zur Addition (Level 1).
Aus dieser Überlegung folgt: Wenn wir auf der Stufe der Basis eine Potenz (Level 3) haben, dann wird sie im Exponenten deklassiert zu einer Multiplikation (Level 2).
Bei einer Potenz einer Potenz werden die Exponenten miteinander multipliziert:
\[ (a^n)^m = a^{(m \cdot n)} = a^{mn} \]
Wir können dieses Gesetz an einem Beispiel veranschaulichen: Wir haben in der Klammer \(n\) Faktoren \(a\), und von diesen Klammern haben wir \(m\) Stück:
\[ (a^n)^m \quad = \quad (a \cdot a \cdot … \cdot a) \, \cdot \, (a \cdot a \cdot … \cdot a) \, \cdot \, (a \cdot a \cdot … \cdot a) \, \cdot \, … \, \cdot \,(a \cdot a \cdot … \cdot a) \]
Jetzt heben wir alle Klammern auf und zählen die \(a\)’s: Wir haben \(m\) Klammern mit je \(n\) Stück, d.h. wir haben total \((mn)\) Stück und somit wird \(a\) genau \(mn\) mal mit sich selber multipliziert. Daraus folgt:
\[ (a^n)^m = a^{mn} \]
Beispiel
Berechne folgende Potenz einer Potenz:
\[ (2^2)^3 \]
\[ (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 = \underline{64} \]
Beispiel
Zeige, dass die Potenz mit Exponent 0.5 einer Umkehrung des Quadrierens entspricht.
Wir nehmen irgendeine Basis \(a\) und quadrieren sie. Wir haben dann \(a^2\).
Jetzt bilden wir die Potenz mit Exponent 0.5:
\[ \big(a^2\big)^{0.5} = a^{2 \cdot \frac{1}{2}} \]
Mit der Regel über die Potenz einer Potenz erhalten wir:
\[ = a^1 = a \]
Damit haben wir wieder die ursprüngliche Basis \(a\), d.h. das Quadrieren wurde durch das Potenzieren mit 0.5 aufgehoben.
Aufgabensammlung
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