Wenn wir die innere und die äussere Teilung einer Strecke mit dem gleichen Verhältnis durchführen, wird die Strecke harmonisch geteilt mit den beiden Teilungspunkten $P$ und $Q$. Die Verhältnisse der Teilstrecken sind:

\[ \frac{\;\overline{AP}\;}{\overline{PB}} = \frac{\;\overline{AQ}\;}{\overline{BQ}} \]

Anwendung

Mit Hilfe der harmonischen Teilung kann die Aufteilung einer Strecke in zwei gleich lange Teilstrecken in die zentralperspektivische Darstellung übertragen werden. Im unten dargestellten Beispiel wird der Quader in der halben Länge aufgeteilt. Perspektivisch erscheint die hintere Hälfte etwas kürzer als die vordere Hälfte, da sie schon weiter hinten ist. Wie viel kürzer? Nun, mit der harmonischen Teilung der Strecke $[AB]$ im Verhältnis $2:1$ erhalten wir die Punkte $P$ und $Q$. Der Erstere gibt uns die Aufteilung der Quaders. Der andere Punkt $Q$ entspricht dem Fluchtpunkt.

Aufgabensammlung

  • Teilung einer Strecke (5001) – Aufg. 5